La prova del 9

Franco Ghione
Dato un numero naturale a, denotiamo con [a] il resto della divisione di a per 9. Sarà

a = [a]  +  n  x  9   e    0 ≤ [a] < 9

e [a] può essere solo uno dei seguenti 9 numeri: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

La cosa molto interessante di questa nozione è che, se a e b sono due numeri naturali, allora

(1)
[a x b] = [[a] x [b]]
Ad esempio
[15 x 12] = [180] = [20 x 9] = 0 e
[15]=6, [12]=3 e [[15] x [12]] = [6 x 3] = [2 x 9] = 0 come doveva.

o anche
[1.246 x 402] = [500.892] = 6 dato che 500.892 = 6 + 55.654 x 9
[1246] = 4 , dato che 1246 = 4 + 138 x 9 e
[402] = 6 dato che 402 = 6 + 44 x 9
[[1.246]  x  [402]] = [4 x 6] = [24] = 6 come doveva.
Per verificare se il numero c è il prodotto di a x b si può applicare la prova del 9 cioè verificare se [c] è uguale [a x b] = [[a] x [b]] . Questo è un test che, se da un risultato positivo, dice poco sulla correttezza della moltiplicazione ma, se da un risultato negativo, la moltiplicazione è sicuramente sbagliata.
Dato che [a] e [b] sono numeri minori di 9 è molto semplice eseguire la moltiplicazione [a] x [b] . La difficoltà potrebbe però consistere nel calcolo di [c] , di [a] e di [b] , cosa che richiede di eseguire la divisione di questi numeri per 9.  Ciò è in realtà molto semplice dato che
(2)
[a + b] = [[a] + [b]]

e, nel caso dei resti rispetto a 9,
(3)
[a] = [an + an-1 + ... + a1 + a0]

dove a0, a1, ..., an-1, an sono le cifre decimali del numero a.
Ad esempio:
[180] = [1+8+0] = 0;
   [500.892] = [5+8+9+2]  = [24] = 6 ;
   [1246] = [1+2+4+6] = 4 ;   [402] = [4+2] = 6
Le formule (1) e (2) si dimostrano usando le proprietà associativa, commutativa e distributiva della somma rispetto al prodotto.
Sia
a = [a]  +  n  x  9 ,     b = [b]  +  m  x  9

eseguendo il prodotto otteniamo

a x b = ( [a] + n x 9 ) x ( [b] + m x 9 ) =  [a] x [b] + p x 9

da cui
[a x b]  =  [[a] x [b] + p x 9]  =  [[a] x [b]]

Se invece eseguiamo la somma otteniamo

a + b = ( [a] + n x 9 ) + ( [b] + m x 9 ) =  [a] + [b] + p x 9

che, levando i multipli di 9, si riduce alla (2).

Infine la formula (3) deriva dall’applicazione combinata della proprietà (1) e (2). Infatti

[a ] = [ a0  + a1 10   + a2 102   + ...  + an 10n  ] = [ a0  + a1  + a2  + ...  + an ]

dato che [10]=1 , [102] = [[10] x [10]] = [1 x 1] = 1, ... , [10n] = 1n = 1.