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Per determinare le soluzioni di problemi di II grado (a coefficienti positivi) sia al-Khwārizmī sia Fibonacci utilizzano algoritmi, procedure cioè “atomiche, non ambigue, finite, che terminano con un unico risultato”.
In questa sezione vengono proposte a confronto le rappresentazioni geometriche di questi algorimi, considerando che in esse è contenuto il riferimento alle Proposizioni II-5 e II-6 degli Elementi di Euclide:
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Proposizione II-5
se un segmento AC e diviso in due parti uguali nel punto M e in due parti diseguali nel punto B allora AB×BC + MB2= MC2[ la figura a “ 7 ” data dalla somma del rettangolo di lati AB e BC col quadrato di lato MB è equivalente al quadrato di lato MC ]
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Proposizione II-6
se aggiungiamo per dritto a un segmento AB un segmento BC e dividiamo in due parti uguali il segmento AB nel punto M, allora la figura a “ T ” data dalla somma del rettangolo di lati AC e BC col quadrato di lato MB è equivalente al quadrato di lato MC, cioè AC×BC +MB2= MC2.
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Seguendo Leonardo Pisano il termine di secondo grado x2 è denominato censo, mentre il termine di primo grado, bx, che è la radice x2, cioè del censo, viene chiamato radice
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censi più radici uguale a numero x2 + bx = c
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algoritmo di al-Khwārizmī:
- Dividi a metà il numero delle radici
- Moltiplica la metà per se stessa
- Somma il risultato al numero
- Estrai la radice
- Sottrai a questa quantità la metà delle radici
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algoritmo di Fibonacci:
- Calcola il quadrato della metà delle radici
- Somma a questo il numero
- Fai la radice di quanto ottenuto
- Sottrai a questa quantità la metà delle radici
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censi più numero uguale a radici x2 + c = bx
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algoritmo di al-Khwārizmī:
- Dividi a metà il numero delle radici
- Moltiplica la metà per se stessa
- Sottrai il numero dal risultato
- Estrai la radice
- Sottrai questa quantità dalla metà delle radici
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algoritmo di Fibonacci [ x < a/2 ]:
- Calcola il quadrato della metà delle radici
- Togli a questo il numero
- Fai la radice di quanto ottenuto
- Togli questa quantità dalla metà delle radici
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algoritmo di Fibonacci [ x > a/2 ]:
- Calcola il quadrato della metà delle radici
- Togli a questo il numero
- Fai la radice di quanto ottenuto
- Aggiungi questa quantità alla metà delle radici
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censi uguale a radici più numero x2 = bx + c
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algoritmo di al-Khwārizmī:
- Dividi a metà il numero delle radici
- Moltiplica la metà per se stessa
- Somma il risultato al numero
- Estrai la radice
- Aggiungi questa quantità alla metà delle radici
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algoritmo di Fibonacci:
- Calcola il quadrato della metà delle radici
- Somma a questo il numero
- Fai la radice di quanto ottenuto
- Aggiungi questa quantità alla metà delle radici
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