Leonardo e la somma di quadrati
di Marcello Ciccarelli
Al termine del capitolo XV del Liber abaci, Leonardo Pisano rinvia al “libro che ho composto
sui quadrati”, per la dimostrazione geometrica che giustifichi la procedura numerica utilizzata per
risolvere i seguenti problemi:
Del ritrovamento di due radici i cui quadrati messi insieme facciano 25
Del ritrovamento di due radici i cui quadrati messi insieme facciano 41
Il libro è
Liber quadratorum, dove svolge il percorso per risolvere il problema postogli da Giovanni
Palermitano, il matematico di corte di Federico II:
trovare i numeri razionali (x, y, z) tali che sia risolto il sistema .
Leonardo risolve i due problemi del capitolo XV come casi particolari di altri problemi.
Il primo come caso particolare del seguente
Problema
Dato
trovare (x, y) tali che q
2
= x
2
+ y
2
.
Per la soluzione del secondo problema Leonardo aggiunge per il numero 41 l’ulteriore condizione:
quattro volte quattro fanno 16, e 5 volte 5 fanno 25, questi messi insieme fanno 41; e si chiede che trovi altre
due
radici i cui quadrati facciano insieme 41. E dunque richiede che per il numero 41 esista l’ulteriore
condizione di una scomposizione nella somma di due numeri quadrati. Quindi il problema
generale è il seguente
Problema
Dato q tale che q = a
2
+ b
2
, trovare altre coppie (x, y) tali che q = x
2
+ y
2
.
Leonardo risolve il problema nella terza parte del Liber quadratorum tenendo conto di quanto
elaborato nelle prime due parti, in particolare del nuovo metodo per generare terne pitagoriche.
Un metodo basato sulla osservazione che ogni numero quadrato, tipo n
2
, si può sempre esprimere
come la somma dei primi n numeri dispari:
(*)
La formula (*) è un’applicazione della formula della somma di n numeri:
.
E quindi la somma di n numeri dispari consecutivi è data da
Leonardo usa la formula (*) per costruire terne pitagoriche. Infatti è sufficiente considerare numeri
d che siano numeri quadrati, tipo (1, 4, 9, 16, …, 81, …, x
2
). In questo caso si ha
E (40, 9, 41) è una terna pitagorica. Generalizzando:
che rappresenta una relazione pitagorica del tipo y
2
+ x
2
= z
2
con
Leonardo trova così tre numeri quadrati
che formano una terna pitagorica. Sostituendo un qualsiasi numero a x, per esempio 15, il numero
quadrato è 225 = 15
2
. La progressione aritmetica dei numeri dispari che precedono 225 è: 1+3+5+…+
223. Si ha dunque:
E così si trova la terna pitagorica (15, 113, 112).
La formula
trovata da Leonardo per i numeri quadrati dispari è valida per ogni numero quadrato. Per i
numeri quadrati pari si passa dai numeri interi ai numeri razionali:
Precedenti storici
Il problema della individuazione di terne pitagoriche era già stato affrontato da Euclide, che usa
questa formula:
con (a, b) numeri primi e a > b.
Da tener presente che le terne pitagoriche sono infinite perché accanto alla soluzione, appena data,
esistono anche le
con k numero naturale qualsiasi.
Nota
Leonardo aveva a disposizione un ulteriore modo per produrre terne pitagoriche che deriva dalla
soluzione che aveva dato al suo problema dei conigli e che aveva dato luogo alla nota sequenza di
Fibonacci (alla quale Leonardo non diede alcuna importanza). Ora data
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., F(n –1), F(n), F(n + 1), ...
si considerino quattro qualsiasi numeri di Fibonacci consecutivi (a, b, c, d) si ha a = c – b e d = b + c.
Pertanto (a, b, c, d) si può scrivere come (c – b, b, c, b + c) e si ottiene una terna pitagorica ponendo
x = (c − b)(c + b) = c
2
– b
2
, y = 2bc, z = b
2
+ c
2
ossia la stessa terna trovata da Euclide.
Torniamo alla soluzione proposta da Leonardo per i due problemi.
Problema
Dato q
2
trovare (x, y) tali che q
2
= x
2
+ y
2
.
Si consideri una terna pitagorica (n, m, p) e sull’ipotenusa AB = p del triangolo rettangolo ABC si
consideri BT = q e TH perpendicolare a BC.
Le misure dei segmenti TH e BH risolvono l’equazione q
2
= x
2
+ y
2
. I triangoli ABC e TBH sono
simili e il loro rapporto di similitudine è dato da
pertanto
Vi sono più soluzioni stante la possibilità di considerare più terne pitagoriche (n, m, p).
Problema
Dato q tale che q = a
2
+ b
2
trovare altre coppie (x, y) tali che q = x
2
+ y
2.
.
Il motivo per il quale Leonardo ha dovuto considerare l’ulteriore ipotesi che esista per q già una
scomposizione nella somma di due quadrati è dovuta al fatto che il problema non è risolvibile con
la procedura dell’esercizio precedente. Infatti, nel triangolo BTH si avrebbe come misura di
(con i nostri simboli) che non è un numero intero o razionale.
Pertanto il rapporto di similitudine non è un numero razionale o intero come nel problema
precedente. Ancora non esisteva una forma di scrittura che esprimesse tale rapporto tanto che era
sistematicamente trattato geometricamente.
Leonardo risolve il problema considerando una terna pitagorica (n, m, p) ovvero n
2
+ m
2
= p
2
e pone
p
2
q = h. Scompone poi h nella somma di due quadrati, h = AC
2
+ BC
2
.
Ora può considerare il
triangolo rettangolo ABC la cui ipotenusa misura .
Sul triangolo
rettangolo ABC prende poi .
I triangoli ABC e BTH sono simili e il loro rapporto di similitudine vale . Pertanto:
pTH = AC; pBH = BC
dunque
In definitiva, il problema è risolto non appena si scomponga h nella somma di due quadrati a
radice razionale AC e BC. Per ottenere questa scomposizione Leonardo fa riferimento alle seguenti
formule:
dividendo per p
2
si ottengono tre decomposizioni di q in somma di due quadrati a radice razionale.
Esempio
Consideriamo il numero 41, lo stesso usato da Leonardo per il problema numerico. Leonardo
considera la decomposizione di 41 nella somma di due quadrati a radice razionale: 41 = 4
2
+ 5
2
quindi a = 4 e b = 5. Per trovare altre decomposizioni si scelga una terna pitagorica (3, 4, 5) e si
sostituisca alle tre identità già effettuate. Si ha: 1025 = 5
2
× 41 = 32
2
+ 1
2
= 8
2
+31
2
= 20
2
+ 25
2
.
Da queste decomposizioni si ricavano tre soluzioni al problema:
Precedente storico
Lo stesso problema era già stato affrontato da Diofanto che l’aveva risolto con una modalità solo
algebrica (Picutti, p. 291). Dato q = a
2
+ b
2
= x
2
+ y
2
, Diofanto poneva x = t + a e y = mt – b. Sostituendo
da cui:
.
Esempio
13 =
e m = 2 si ha
che risolvono il problema in quanto
Il problema della scomposizione di un numero q nella somma di due quadrati verrà poi
definitivamente risolto da Fermat
:
un numero primo è scomponibile nella somma di due quadrati quando è
della
forma 4n+1.
L’unica eccezione è il numero 2 che può essere scritto come somma di due quadrati: 2 =
pur non essendo del tipo 4n+1.
Gli esempi di Diofanto 13 = 4∙3 + 1 e di Leonardo 41 = 4∙10 + 1 sono appunto del tipo 4n +1.
Il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati è anche noto come Teorema di Natale di Fermat in
quanto oggetto di una lettera con data 25 dicembre inviata da Fermat a padre Marin Mersenne.
Picutti E., Il libro dei quadrati di Leonardo Pisano, Olschki, Firenze, 1979
