Leonardo e la somma di quadrati
di Marcello Ciccarelli
Al termine del capitolo XV del Liber abaci, Leonardo Pisano rinvia al “libro che ho composto
sui quadrati”, per la dimostrazione geometrica che giustifichi la procedura numerica utilizzata per
risolvere i seguenti problemi:
Del ritrovamento di due radici i cui quadrati messi insieme facciano 25
Del ritrovamento di due radici i cui quadrati messi insieme facciano 41
Il libro è
Liber quadratorum, dove svolge il percorso per risolvere il problema postogli da Giovanni
Palermitano, il matematico di corte di Federico II:
trovare i numeri razionali (x, y, z) tali che sia risolto il sistema .
Leonardo risolve i due problemi del capitolo XV come casi particolari di altri problemi.
Il primo come caso particolare del seguente
Problema
Dato
trovare (x, y) tali che q
2
= x
2
+ y
2
.
Per la soluzione del secondo problema Leonardo aggiunge per il numero 41 l’ulteriore condizione:
quattro volte quattro fanno 16, e 5 volte 5 fanno 25, questi messi insieme fanno 41; e si chiede che trovi altre
due
radici i cui quadrati facciano insieme 41. E dunque richiede che per il numero 41 esista l’ulteriore
condizione di una scomposizione nella somma di due numeri quadrati. Quindi il problema
generale è il seguente
Problema
Dato q tale che q = a
2
+ b
2
, trovare altre coppie (x, y) tali che q = x
2
+ y
2
.
Leonardo risolve il problema nella terza parte del Liber quadratorum tenendo conto di quanto
elaborato nelle prime due parti, in particolare del nuovo metodo per generare terne pitagoriche.
Un metodo basato sulla osservazione che ogni numero quadrato, tipo n
2
, si può sempre esprimere
come la somma dei primi n numeri dispari:
(*)
La formula (*) è un’applicazione della formula della somma di n numeri: