LA DIMOSTRAZIONE DI LEONARDO DELLA SOMMA
DI
N
NUMERI QUADRATI
Marcello Ciccarelli
•
Liber Quadratorum
•
La dimostrazione
•
Suggerimenti didattici
Liber Quadratorum
Al termine del cap. XII.1.5 di
Liber abaci
, Leonardo Pisano rinvia al “
libro che ho
composto sui quadrati
”, per la dimostrazione geometrica della formula della somma
dei quadrati, che presenta in questo modo
Se poi vuoi avere la somma dei quadrati di tutti i numeri
che vanno in ordine dal quadrato dell’unità, cioè da uno fino al quadrato
di un altro numero come, diciamo, fino al quadrato di 10, il cui
quadrato è 100; poni da parte il 10, e davanti ad esso poni il numero
seguente, cioè 11; e poni sotto di essi la loro somma, cioè 21: e moltiplica
10 per 11; e per 21, e dividi il totale per 6,
formula che con un simbolismo moderno si può scrivere, per un generico n, in
questo modo
Nota. Leonardo enuncia la formula non considerando un generico
n
ma un numero
esplicito (diciamo 10) e verifica che 10•11•21 = 6(1
2
+2
2
+3
2
+…+10
2
). Ritorneremo
sulla questione.
Il libro al quale si riferisce è
Liber quadratorum
,
del quale si è accennato nella
scheda dedicata alla biografia di Fibonacci. Questo testo è stato scritto in una data
collocabile tra il 1220 e il 1230, decennio nel quale Leonardo cambia interlocutori.
Non più la
gens latina
a cui si rivolge con
Liber abaci
per introdurla ad una più
aggiornata arte del calcolo e della misura, bensì i dotti della corte imperiale e della
curia papale, il fior fiore del sapere del periodo. Forse per guadagnarne il consenso
ed entrare anche lui a corte. È a loro e all’imperatore che sono dedicati le produzioni
di questo periodo e del decennio successivo (che sono anche le ultime, per quanto
se ne sa finora):
Practica
a maestro Domenico;
Liber Quadratorum
all’imperatore;
Flos
al cardinale Capocci
; L’epistola a Maestro
T
eodoro.
Una nuova edizione
di Liber
abaci
a Michele Scotto
.
Forse c’è un’altra pubblicazione in questo periodo
:
il
Commento al X libro degli Elementi di Euclide
, che menziona nel
Flos:
Sul che meditando, pensai che la soluzione di questo problema potesse
venire da quanto è contenuto nel decimo libro [degli Elementi] di
Euclide; e per questo motivo studiai più accuratamente questo decimo
libro... E poiché il decimo libro è più difficile dei precedenti e di alcuni
dei seguenti, cominciai a glossarlo, riducendo la sua comprensione ai
numeri, laddove in esso si dimostra con linee e superfici
1
Il cambio di interlocutori e di tipo di studi lascia presumere che Leonardo abbia
soggiornato, prima e dopo la preparazione del
Practica
, per lunghi periodi a
Palermo. Fra l’altro sembra accertato che abbia letto Euclide in lingua originale
2
. E
1
E. Picutti, Il Flos, ed. Olschki, pag. 299
2
Menso Folkerts Leonardo Fibonacci's knowledge of Euclid's Elements.
solo Palermo sembra offrire all'epoca una simile opportunità per la presenza in città
di molti intellettuali greci. Un altro luogo dove poter leggere Euclide in greco, poteva
essere all'epoca Costantinopoli, ma non si hanno notizie di un eventuale suo
soggiorno lì.
Leonardo si applica dunque ad uno studio approfondito. Probabilmente sotto la
guida di un maestro (Domenicus Hispanus?) e in un ambiente stimolante quale la
corte di Federico II, che riunisce dotti provenienti da ogni luogo. Il re di Sicilia e
imperatore del sacro Romano Impero, seguendo la tradizione dei re normanni, ama
circondarsi di una corte cosmopolita di intellettuali. Gli stessi “cognomi” di alcuni
(
Hispanus, Scottus, Panorminatus, Antioc
) stanno ad indicare come il sovrano
accolga il sapere a prescindere da fede e provenienza. Una corte che annovera come
gemma preziosa Michele Scotto
3
, al quale Leonardo dedica la seconda edizione del
1228 di
Liber abaci
. Un personaggio ancora famoso un secolo dopo, tanto da essere
menzionato da Dante e da Boccaccio, anche se i due, nel citarlo, riducono il suo
sapere a quello di un indovino
4
(era in effetti, tra le altre cose, anche l’astrologo di
corte).
È in questo ambiente ricco di sollecitazioni che Leonardo rivolge la sua attenzione
ad argomenti oggetto di ricerca matematica. Risultato di questo interesse sono le
produzioni citate: brevi testi nei quali descrive di come ha affrontato i quesiti
proposti da Giovanni Palermitano, il matematico di corte.
Quando il maestro Domenico mi condusse per presentarmi ai piedi della
vostra Altezza, principe gloriosissimo signore Federico, il presente
maestro Giovanni di Palermo mi propose il seguente problema, non
meno pertinente alla geometria che al numero: trovare un numero
quadrato tale che aggiungendogli o togliendogli cinque resti sempre un
numero quadrato
5
.
3
Michele Scotto (1175-1232) fece conoscere al mondo latino il lavoro di Averroè (1126-1198), il
filosofo islamico che “
il gran comento feo” come ebbe a ricordare Dante nel IV canto. Il
commento è quello delle opere di Aristotele.
4
«
Quell'altro che ne' fianchi è così poco,
Michele Scotto fu, che veramente
de le magiche frode seppe 'l gioco
.» (Canto XX, nella bolgia degli indovini)
«
Dovete adunque, - disse Bruno - maestro mio dolciato, sapere che egli non è ancora guari che in
questa città fu gran maestro in nigromantia, il quale ebbe nome Michele Scotto, per ciò che di Scozia
era, …
» (IX novella dell’VIII giornata)
5
Tutte le citazioni in italiano volgare sono tratte dalla traduzione, forse databile 1464, di
Maestro Benedetto da Firenze del testo in latino, in
Il libro dei quadrati di Leonardo Pisano
di E.
Picutti, ed. Olschki. Questa a pag, 283
Problema che con i simboli attuali si presenta in questa forma: trovare i numeri
razionali
x, y, z
tali che sia risolto il sistema
E nel
Liber quadratorum
descrive, appunto, il percorso che lo ha portato a dare
l’esatta soluzione
La dimostrazione
Il primo capitolo di
Liber quadratorum,
si apre con l’omaggio al lavoro di Massolo da
Perugia, “
huomo assaj experto in dette scienzie
”
6
, e prosegue con l’esposizione
della formula della somma dei primi
n
numeri dispari,
io ò chonsiderato sopra l’orrigine di tutti i numeri quadrati e ò trovato
quella venire dalla ordinata asciensione de’ numeri imparj. Inperò che
unità è quadrata e di quella è fatta el primo quadrato, cioè a uno. Al
quale agunto .3. fanno el sechondo quadrato, cioè .4., la cui radicie è
.2.; al quale quadrato se s’agungne il terzo numero imparj, cioè .5., si
creerà el terzo numero quadrato, cioè .9., del quale la radicie è .3.
E chosì sempre, per l’ordinata chongiuntione de’ numeri imparj viene
l’ordinatione de’ numeri quadrati…”
7
.
1+3+5=3
2
1+3+5+7=4
2
…
1+3+5+…+(2n-1) = n
2
Il capitolo prosegue con la trattazione dell’impiego della formula per scomporre un
numero quadrato nella somma di numeri ancora quadrati.
È nel secondo capitolo che compare la formula della somma dei quadrati della
progressione dei numeri naturali. Leonardo la presenta così:
Adunque chon brevità dicendo, dicho che se si chomincia a ragugnere e’
numeri da uno in chontinua agreghatione parj e non parj, el numero
solido che è fatto dall’ultimo e dal primo seguente e dalla loro
agreghatione e’ igualj a .6. chotanti della somma della aguntione di tutti
i quadrati fatti da tutti e’ numeri posti”
8
Con notazione algebrica (che ricordiamo Leonardo non usa)
Per la dimostrazione, Leonardo assegna dapprima alle misure di segmenti
progressivi
AB, BG, …, ZI
9
su una retta, i numeri della progressione (1,2,3,…):
6
Ibidem pag. 196
7
Ibidem p
ag. 211
8
Pag. 230
9
Leonardo usa una notazione ereditata da Euclide, per indicare gli estremi A e B del segmento
AB usa .a., .b., .ab.
per poi affermare
…
Dicho el numero solido che è fatto da’ numeri EZ, ZI, EI …essere
ugualj a .6. quadrati… così io proverrò…
10
.
Comincia la dimostrazione constatando che
(1)
pongho adunque el numero .EZ. sia una radicie, sarà dunque .ZK. una
radicie meno .1. …
11
Sempre aiutandoci con una notazione algebrica, si può porre
EZ=
n
, ZK =
n
-1 e
EI = 2
n
+1 in modo da avere il seguente quadro d’insieme (*) che facilita la
comprensione del ragionamento di Leonardo
NOTA. La relazione (1) che Leonardo si accinge a dimostrare è un’uguaglianza, dal
punto di vista geometrico, dimensionalmente non omogenea. Da una parte, una
somma di prodotti di misure lineari a indicare volumi; dall’altra, una somma di
quadrati a indicare aree. Leonardo rende però l’uguaglianza omogenea consideran-
do l’1 quale misura del segmento unitario. In questo modo un numero
n
può essere
considerato anche come la misura del segmento che misura
n
volte il segmento
unitario 1. Così, una scrittura del tipo 6·
EZ può rappresentare la misura di figure
dimensionalmente diverse: una misura lineare, 6 volte il segmento
EZ; una misura
quadrata, la misura dell’area del rettangolo di lati 6 ed
EZ; una misura del volume
10
ivi Pag. 230
11
ivi Pag. 231 come le ulteriori citazioni del paragrafo
del solido di spigoli 6,1, EZ. E questo permette di utilizzare percorsi aritmo-
geometrici. Il metodo si trova già nella matematica babilonese
12
e poi, più
compiutamente, in al-Khwārizmī
13
Torniamo all’uguaglianza da dimostrare. Una volta posto che
el numero .EZ. sia una radicie, sarà dunque .ZK. una radicie meno .1.
Con simboli algebrici EZ =
n
, ZK =
n
–1, EI = 2
n
+1, KI=2. E poi
...
la multiplicachatione d’uno quadrato meno la radicie nel numeri .ki. ,
cioè in .2., fanno .2. quadrati meno .2. radicie...
Proseguiamo il ragionamento di Leonardo affiancando sempre alla notazione
geometrica quella algebrica
.
Si ha:
EZ•KI•ZK=2(EZ)
2
-2EZ =2(
n
2
-
n
) (1*)
E poi
...
ne proviene due radicie, che multiplichato in .2. radicie e .1. cioè del
numero .ei. fanno .4. quadrati e .2., radicie
...
Ovvero
EZ•KI•EI = 4(EZ)
2
+ 2EZ =2
n
(2
n
+1) = 4
n
2
+2
n
(1**)
NOTA. Le due uguaglianze si possono verificare geometricamente in modo
semplice, assumendo
n
come misura lineare di un segmento e
1•n
come l’area del
rettangolo di lati 1 e
n
. E così per EZ•KI•EI = 4(EZ)
2
+ 2EZ =2
n
(2
n
+ 1) = 4
n
2
+2
n
.
Si ha
12
S. Maracchia, La storia dell’Algebra, Liguori editore 2005, pag. 71-73, 90 e segg.
13
Catastini, Ghione, Rashed, Algebra, Carocci ed. 2016, pag. 83 e segg.
L’uguaglianza è così verificata senza far ricorso a proprietà algebriche.
Analogamente, per
EZ•KI•EI = 2
n
(2
n
+1) = 4
n
2
+ 2
n
= 4(EZ)
2
+ 2EZ si ha
La stessa uguaglianza si può dimostrare anche ricorrendo ad una visione
tridimensionale
Riprendiamo Leonardo che somma le due uguaglianze (1*) e (1**)
EZ•KI•ZK + EZ•KI•EI=6(EZ)
2
e dopo aver sostituito
KI = ZI - ZK può affermare,
cfr (*),
che
adunque el solido che è fatto da numeri .ez.zi.ei. è iguali al solido gli
numeri .ez.zk.ek. e a .6. chotanti del quadrato che è fatto dal numero
.ez….
cioè
EZ•EI•ZI=EZ•ZK•EK+6(EZ)
2
(F)
Questa relazione si può reiterare
similmente si mostra, el solido che è fatto da’ numeri .ez.zk.ek. essere
uguali al solio che è fatto da’ numeri .de.dg.ge. e a .6.chotanti del
quadrato del numero .de…
cioè
EZ•ZK•EK = DE•DG•GE + 6(DE)
2
(2)
DE•DG•GE = BG•AB•AG +6(BG)
2
(3)
BG•AB•AG = 0 + 6(AB)
2
(4)
Sostituendo poi la (2) (3) (4) nella (1*), si ha finalmente:
EZ•EI•ZI = 6[EZ
2
+ DE
2
+ BG
2
+ AB
2
]
NOTA. Leonardo, con il procedimento seguito, dimostra la validità di un algoritmo
che calcola la somma di quadrati consecutivi a partire dall’
esplicito numero dei
quadrati che si vuol sommare. In altri termini, la dimostrazione di Leonardo vale
una volta assegnato
n
, la misura del segmento EZ, ma non per un
generico n
.
D’altra parte, Fibonacci non ha un simbolo o un modo per ragionare e compiere cal-
coli fra generici numeri. È ancora presto per il calcolo sulla "lettera" che sostituisce il
numero. Ha comunque un modo per ragionare su un generico segmento manipola-
bile, però, con le specifiche regole geometriche. Pertanto la dimostrazione dell’algo-
ritmo ha validità generale per tutti i possibili segmenti e per tutti i numeri che misu-
rano quel generico segmento.
In sintesi: mentre non può affermare che se i numeri fossero
n
allora
n
•(
n
+ 1)•(2
n
+ 1) = 6[
n
2
+ (
n
– 1)
2
+(
n
– 2)
2
+ … + 2
2
+ 1
2
può però calcolare la formula della somma di un certo numero di quadrati
consecutivi. E così fa quando afferma che per il numero 10 si ha:
10•11•21 = 6(1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ … + 10
2
)
formula che può anche dimostrare ripetendo 10 volte la formula geometrica
(F) non
appena assegna al
segmento EZ la misura 10. Infatti (F) con notazione algebrica
diventa:
n
•(
n
+ 1)•(2
n
+ 1) = (
n
- 2)•
n
•(2
n
- 2) + 6
n
2
.
E dunque:
10•11•21=9•10•19+6•10
2
= 8•9•17+6•9
2
+6•10
2
per poi proseguire sapendo che 8•9•17=7•8•15+8
2
e così a ‘scendere’ per concludere che:
10•11•21=6(1
2
+2
2
+3
2
+…+10
2
)
Se i quadrati fossero 21 si avrebbe, sempre per la
(F):
21•22•43= 6(1
2
+2
2
+…+21
2
).
Suggerimenti didattici
Come già detto, Fibonacci evita il linguaggio algebrico nell’affrontare la
dimostrazione della formula preferendo il solo percorso geometrico. Ha forse dei
dubbi sulla validità del metodo algebrico? Si direbbe di no, visto che
Liber
quadratorum
è successivo a
Liber abaci
, dove ha dedicato l’ultimo capitolo
all’Algebra e al suo rapporto con la Geometria. In questo capitolo, Fibonacci risolve
un gran numero di problemi mescolando algebra e geometria, che “
insieme si
tengono
”. Cosa che invece non compie nella dimostrazione della formula della
somma dei numeri quadrati.
E allora? Una ipotesi potrebbe essere che ritenga difficoltoso per i suoi interlocutori
seguire il percorso algebrico. In effetti, operare con simboli, che è poi l’essenza del
passaggio dall’aritmetica all’algebra, è piuttosto complicato. E Leonardo ne è
cosciente, tanto da evitarlo quando possibile. E di questa difficoltà si dovrebbe tener
conto anche in classe quando si compie lo stesso passaggio. A tale riguardo,
proprio il percorso usato da Leonardo potrebbe essere un ponte (non il solo)
dall’aritmetica all’algebra. Le dimostrazioni geometriche di formule numeriche
creano un ambiente didattico favorevole al passaggio dal numero al simbolo. E lo
vedremo con alcuni esempi di formule che riportiamo. Formule che si possono
agevolmente dimostrare o verificare con un percorso geometrico e per alcune è
anche possibile una manipolazione costruttiva.
Sottolineiamo che per il passaggio dalla formula numerica all’interpretazione
geometrica è importante porre attenzione al duplice ruolo che può svolgere il
simbolo numerico. Nelle formule numeriche lo si impiega, ovviamente, come
molteplicità aritmetica, ma nelle dimostrazioni geometriche lo si può impiegare
anche come una misura geometrica rispettivamente lineare, quadrata e cubica. Per
far questo è sufficiente considerare l’1 quale misura unitaria del segmento di
riferimento o come area del quadrato di lato 1 o volume del cubo di spigolo 1. L’uso
del doppio registro può aiutare lo studente a operare un distacco dall’idea del
numero esclusivamente come molteplicità, propria del pensiero aritmetico. Per
evidenziare il passaggio, nella scrittura delle formule abbiamo usato caratteri diversi
proprio per evidenziare questo duplice significato del simbolo numerico.
Le tre formule algebriche che interpretiamo geometricamente sono: la formula della
somma di
n
numeri naturali, quella di
n
numeri quadrati (quelli di Leonardo) e quella
di
n
numeri cubici. Cominciamo però con la
Verifica geometrica della formula cardine della dimostrazione di Leonardo
EZ•EI•ZI=EZ•ZK•EK+6(EZ)
2
(1*)
Questa relazione geometrica, utilizzata da Leonardo per giungere alla formula della
somma di
n
numeri quadrati, ha una rappresentazione geometrica derivabile
dall’identità algebrica:
(
a
+
b
)•(2
a
+
b
)=(
a
–
b
)•(2
a
–
b
)+6•
a
•
b
. (*)
Formula che si può dimostrare geometricamente senza ricorrere ad alcuna proprietà
algebrica, in questo caso sarebbe necessaria la distributiva. È sufficiente considerare
sei rettangoli di dimensioni ‘
a
’ e ‘
b
’ e disporli secondo la seguente figura e la
formula (*) è verificata.
Per arrivare alla formula di Leonardo, basta poi assumere
b =1
e (*) diventa
(
a
+ 1)•(2
a
+ 1) = (
a
- 1)•(2
a
- 1)+ 6•
a
relazione che, una volta moltiplicati entrambi i membri per
a
, restituisce proprio
l’uguaglianza di Leonardo:
a
•(
a
+ 1)•(2
a
+ 1) = (
a
- 1)•
a
•(2
a
- 1)+ 6•
a
•
a
.
Costruzione della formula
14
La formula
a
•(
a
+ 1)•(2
a
+ 1) = (
a
- 1)•
a
•(2
a
- 1)+ 6•
a
•si può anche ‘costruire’
una volta assegnato il valore di a. Per
a
= 4, la formula diventa:
4•(4 + 1)•(2•4 + 1) = (4 - 1)•4•(2•4 - 1)+ 6•4•4 = …=6•1
2
+6•2
2
+6•3
2
+6•4
2
.
Per la costruzione si parte da gruppi costituito ognuno da 6 figure solide tutte
aventi uno spigolo di misura 1.
4•(4 + 1)•(2•4 + 1) = 6•(1•1
2
) + 6•(1•2
2
) + 6•(1•3
2
) + 6•(1•4
2
)
14
Tutti i disegni che seguono sono opera del prof. Bruno Di Marco
Poi quelle del primo gruppo hanno una base quadrata di lato 1; quelle del secondo
una base quadrata di lato 2, …di lato 3,… di lato 4. Ora si dispongono le figure del
primo gruppo,
6
•(1•1
2
) in modo da formare un solido di base 1 e 3 e altezza 2. (
cfr
figura
).
Poi si contorna questo primo solido con il gruppo dei 6 solidi a base quadrata di lato
2 ottenendo un nuovo solido di lati 2, 3, 5. E così via fino ad ottenere con gli ultimi
6 quadrati di lato 4 un solido di lati 4, 5, 9 il cui volume è la somma di tutti i
quadrati con i quali si è composto l’intero volume.
NOTA. Il metodo costruttivo si potrebbe utilizzare anche per una dimostrazione
intuitiva della dimostrazione della formula per induzione: ogni nuova costruzione
"poggia" su quella precedente una volta verificato che per
a
=1 la formula è vera
perché 1•(2)•(3)=2•(1•1
2
).
Dimostrazione geometrica di altre formule
Le formule che prendiamo in considerazione sono quelle della somma delle seguenti
successioni:
La somma di
n
numeri naturali
La formula
si può dimostrare rappresentando
geometricamente la successione. In questo caso, si assume, come equivalente
geometrico dell’1, non il segmento unitario, ma l’area unitaria del quadrato
Q
di lato
1. E così la successione
S
(
n
) di
n
numeri naturali rappresenta l’area della figura
ottenuta dalla successione di
n
quadrati:
S
(
n
) = (1
Q
+ 2
Q
+ … +
nQ
).
Disponendo i quadrati
Q
in una successione di gradoni si ha la seguente figura:
L’area della figura equivale alle aree dei quadrati la cui somma è
S
n
. Per il calcolo si
può osservare che l’area della figura è data da quella del triangolo rettangolo di
cateti
n
,
n
, cioè
n
2
2
, e dall’area delle parti al di sopra della linea tratteggiata. Queste
parti misurano
n
volte
1
2
Q
cioè . Dunque .
La somma di
n
numeri quadrati
In questo caso si assume quale equivalente geometrico del numero 1, il volume
unitario di un cubo di lato 1. E la successione si può scrivere come
S
(
n
)
2
= (1
C
+4
C
+9
C
+…+
n
2
C
) che rappresenta una piramide (
M
) a gradoni, come
quelle mesoamericane.
Indicato con
V
(
M
) il volume della piramide
M
risulta che
V
(
M
) =
S
(
n
)
2
.
Per il calcolo di
V
(
M
), si consideri la piramide (E), questa di tipo egiziana. Essa ha la
base quadrata composta da
n
2
gradoni e altezza
n
con il vertice in un vertice del
primo cubo.
Il volume
V
(
M
) è dato dal volume
V
(
E
) più il volume
V
(
P
) delle parti non comprese
nella piramide (
E
). È dunque:
S
(
n
)
2
=
V
(
M
) =
V
(
E
) +
V
(
P
).
Il volume di
V
(
E
) è presto fatto:
V
(E)=
n
3
3
mentre per il calcolo di
V
(
P
) bisogna
considerare che è composto dalla somma di due parti. Una di esse vale
2
3
C, l’altra
1
2
C. Dunque
.
Le parti
2
3
C
sono nello stesso numero
n
dei livelli dei gradoni dunque .
Per il calcolo di
si osservi che le parti
1
2
C
variano al variare dei livelli e
cominciano a formarsi solo dal secondo gradone, quindi (
n
- 1) volte.
Si ha pertanto:
E
quindi
Sostituendo
che restituisce la formula cercata
6(1
2
+2
2
+3
2
+…+
n
2
) =
n
(
n
+1)(2
n
+1)
Un altro metodo geometrico per dimostrare la formula di
S
(
n
)
2
Questo
15
metodo considera i numeri quadrati
k
2
quali misure di area di rettangoli
che hanno un lato di misura costante uguale a 1 e l’altro uguale al quadrato del
numero di posto
k
.
La formula scritta in questo modo:
S
(
n
)
2
= (1•1
2
, 1•2
2
, 1•3
2
, …,1•
n
2
)
è rappresentata dalla figura FG, evidenziata in neretto.
L’area di FG, cioè
S
(
n
)
2
, insieme alla successione dei rettangoli
R
1
,
R
2
,
R
3
, …,
R
k
,
,…,
R
n
-1,
forma il rettangolo di lati
n
,
n
2
la cui area è
n
3
.
Quindi
(S*)
Per il calcolo di
è necessario esplicitare l’area del rettangolo
R
k
.
Si può
osservare
che un lato misura
k
e l’altro [(
k
+1)
2
–
k
2
] = (2
k
+1), quindi
R
k
=
k
•(2
k
+1) = 2
k
2
+
k
. Ora si può calcolare la sommatoria
15
http://www.batmath.it/matematica/avista/somma_quadr/somma_quadr.htm
K
2
1
1 | 2 | … .. | k-1 | k |
4
1
Sostituendo alla (S*):
e si perviene a: .
Nota
il calcolo dell’area del generico rettangolo
R
k
si può trovare anche in altro modo.
Nel caso
n
= 4 si ha questa figura
alla quale corrisponde la formula
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ 4
2
= 4•4
2
- (
R
1
+
R
2
+
R
3
)
Calcoliamo ora le aree dei rettangoli
R
1
=1•3= 1• (1•2+1)
R
2 =
2•5=2• (2•2+1)
R
3
= 3•7=3• (2•3+1)
Per
R
k
si avrà dunque che
R
k
=
k
•(2
k
+1)
La somma di n numeri cubi
Ricordiamo la formula
(SS*)
Vediamo una sua particolare ‘traduzione’ geometrica. Per
n
= 5 la formula è
che si può rappresentare in questo modo
Dimostrazione geometrica
La formula (SS*) si può dimostrare in più modi, tutti molto interessanti per eventuali
applicazioni didattiche. Cominciamo con un procedimento che può essere usato
anche per introdurre la dimostrazione per induzione.
Osservando la figura si verifica subito che
S
1
2
= 1
3
. Dopo si può proseguire
osservando che
S
(1+2)
2
= 1
3
+ 2•1+2•1+2•2= 1
3
+ 2
3
=
S
1
2
+ 2
3
;
S
(1+ 2 + 3)
2
= 1
3
+ 2
3
+ 3•3 + 3•3 + 3
2
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
=
S
1+2
2
+ 3
3
Si osserva che ogni dimostrazione, per un certo numero
n
, utilizza la validità della
formula per il numero precedente. In altri termini: la formula è vera per
S
n
2
quando
lo è per
S
(
n
– 1)
2
poiché
S
(1+2+3+…+
n
)
2
=
S
(1+2+3+…+
n
-1)
2
+
n
3
.
Ancora sulla stessa formula
Questo procedimento è analogo a quello impiegato da Leonardo per la somma dei
numeri quadrati
16
. Indicando, nel seguente disegno, con
S
(
n
– 1)
e
S
(
n
)
le somme dei
primi
n
-1 e
n
quadrati dei numeri naturali si ha questa configurazione
Osservando la figura si deduce che
S
(
n
)
2
=
S
(
n
– 1)
2
+Gnomone DCBEFG
La misura dell’area dello gnomone è data da
Dunque S(n)
2
=S(n-1)
2
+ n
3
(SSS*)
Con un procedimento reiterativo a "scendere", come quello di Leonardo, si ha poi
sostituendo a (SSS*)
16
Ibidem, pag. 304
Costruzione della formula
La formula può dar luogo a più forme numeriche sempre rispettando l’omogeneità
dimensionale:
(A)
(B)
(C)
Le scritture (A), (B), (C) si possono utilizzare per costruire il gioco di un puzzle dove
la somma
rappresenta una scatola da riempire. Vediamo un
esempio. Per
n
= 4 la “scatola” da riempire è un parallelepipedo di volume
. Dunque altezza 1 e base quadrata di lato 10 = (1+2+3+4).
Il volume della ‘scatola’ è
V
(4)=
1
• (1+2+3+4)
2
=100. La “riempitura” può essere
fatta con pezzi di diverse misure. La più semplice prevede 100 pezzi, tutti con
volume unitario come suggerisce la scrittura (A):
1• (1+2+3+4)
2
=1•1
3
+ 8∙1
3
+27•
1
3
+ 64•
1
3
=100 •1
3
Osserviamo che 1
3
è, ora, considerato un ‘oggetto geometrico’ che sommiamo
n
volte; dunque un simbolo sul quale compiamo un’operazione aritmetica. Un’altra
‘riempitura’ della scatola è quella proveniente dalla scrittura (B) con parallelepipedi
di altezza 1 e superfici quadrate variabili. Infine la scatola si può riempire sempre
con ‘oggetti geometrici’, questa volta tutti con la stessa base quadrata di area 1 e
altezza variabile; quelli corrispondenti alla scrittura (C).