Dare e avere (XII.7.41)
Franco Ghione
!"##$%$&'()Quattro uomini hanno dei denari, e di questi il primo dà al secondo quanto ha lo stesso
secondo e la sua metà. Il secondo dà al terzo quanto ha il terzo, e in più il suo terzo, il terzo dà al
quarto uomo quanto ha il quarto, e la sua quarta parte. Un quarto uomo dà al primo quanto gli è
rimasto dopo la donazione che ha fatto al secondo uomo, e in più un quinto di essa; e tutti hanno
avuto la stessa quantità.
D
1
= x
2
+
1
2
x
2
=
3
2
x
2
è quanto il I uomo dà al II
D
2
= x
3
+
1
3
x
3
=
4
3
x
3
è quanto il II uomo dà al III
D
3
= x
4
+
1
4
x
4
=
5
4
x
4
è quanto il III uomo dà al IV
D
4
= x
1
− D
1
( )
+
1
5
x
1
− D
1
( )
=
6
5
x
1
− D
1
( )
è quanto il IV uomo dà al I
Ogni uomo da e riceve secondo queste relazioni e alla fine degli scambi si ritrovano con
a
1
S
,
a
2
S
,
a
3
S
,
denari rispettivamente
x
1
− D
1
+ D
4
= a
1
S
x
2
− D
2
+ D
1
= a
2
S
x
3
− D
3
+ D
2
= a
3
S
x
4
− D
4
+ D
3
= a
4
S
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
Poiché
D
4
=
6
5
x
1
− D
1
( )
la prima equazione diventa
x
1
− D
1
( )
+
6
5
x
1
− D
1
( )
= a
1
S
ovvero
x
1
− D
1
=
5a
1
11
S
mentre la quarta diventa
x
4
+ D
3
= a
4
S +
6
5
x
1
− D
1
( )
= a
4
S +
6
5
5
11
a
1
S
ovvero
x
4
+ D
3
=
11a
4
+ 6a
1
11
S
Sostituendo ora i valori delle donazioni D
1
, D
2
, D
3
otteniamo il sistema
!
x
1
−
3
2
x
2
=
5a
1
11
S!!!!!!!!!
x
2
+
3
2
x
2
= a
2
S +
4
3
x
3
!!
x
3
+
4
3
x
3
= a
3
S +
5
4
x
4
!!
x
4
+
5
4
x
4
=
11a
4
+ 6a
1
11
S
!!!
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Il sistema è in forma diagonale e si risolve dal basso. Scriviamo la soluzione in modo da recuperare
l’algoritmo esposto da Fibonacci
9
4
x
4
= b
1
S
11
!!!!!,!b
1
=11a
4
+ 6a
1
!!!,!!!! x
4
= 4b
1
S
11× 9
!
7
3
x
3
= 5b
1
S
11× 9
+ a
3
S = b
2
S
11× 9
!!!,!!!b
2
= 5b
1
+11× 9a
3
!!!,!!! x
3
= 3b
2
S
11× 9 × 7
5
2
x
2
= 4b
2
S
11× 9 × 7
+ a
2
S = b
3
S
11× 9 × 7
!!,!!b
3
= 4b
2
+11× 9 × 7a
2
!!,!!! x
2
= 2b
3
S
11× 9 × 7 × 5
x
1
= 3b
3
S
11× 9 × 7 × 5
+
5a
1
11
S!= b
4
S
11× 9 × 7 × 5
!!!,!!!b
4
= 3b
3
+ 5× 9 × 7 × 5a
1
!!
Ponendo S =
11× 9 × 7 × 5
abbiamo la soluzione
x
1
= b
4
x
2
= 2b
3
x
3
= 3b
2
× 5
x
4
= 4b
1
× 5 × 7
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
!
!
b
1
= 6a
1
+11a
4
b
2
= 5b
1
+11× 9a
3
b
3
= 4b
2
+11× 9 × 7a
2
b
4
= 3b
3
+ 5 × 9 × 7 × 5a
1
!
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
Ecco l’algoritmo di Fibonacci:
a
4
a
3
a
2
a
1
quarto
terzo
secondo
primo
4b
1
×7×5
3b
2
×5
2b
3
b
4
5/11
4/9
3/7
2/5
b
1
=(11-5)a
1
+11a
4
b
2
=(9-4)b
1
+ 11×9 a
3
b
3
=(7-3)b
2
+ 11×9×7 a
2
b
4
=(5-2)b
3
+ 9×7×5×5 a
1
Un problema sul prodotto di matrici XII.7.46
Ci son 4 uomini che hanno denari X
0
=(x
1
, x
2
,x
3
, x
4
) sono i loro denari. Ognuno da agli altri tre
uomini dei denari ordinatamente cominciando dal I uomo : chi aveva p riceve in più dall’i-esimo
uomo a
i
p
Le matrici relative alle 4 donazioni sono quindi
A
I
=
1 − a
1
− a
1
− a
1
0 1+ a
1
0 0
0 0 1+ a
1
0
0 0 0 1+ a
1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
,
A
II
=
1+ a
2
0 0 0
− a
2
1 −a
2
− a
2
0 0 1+ a
2
0
0 0 0 1+ a
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
A
III
=
1+ a
3
0 0 0
0 1+ a
3
0 0
− a
3
− a
3
1 −a
3
0 0 0 1+ a
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
,
A
IV
=
1+ a
4
0 0 0
0 1+ a
4
0 0
0 0 1+ a
4
0
− a
4
− a
4
− a
4
1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
Dopo le varie donazioni i denari dei 4 uomini saranno rispettivamente:
X
I
= A
I
X
0
,
X
II
= A
II
X
I
= A
II
A
I
X
0
,
X
III
= A
III
X
II
= A
III
A
II
A
I
X
0
,
X
IV
= A
IV
X
III
= A
IV
A
III
A
II
A
I
X
0
dove
X
I
= (x
1
I
, x
2
I
, x
3
I
, x
4
I
)
e così per le altre incognite. Il problema consiste nel risolvere il sistema
A
IV
A
III
A
II
A
I
X
= S
dove S = (S
1
, S
2
,S
3
, S
4
).
Osserviamo che la somma Σ dei denari di tutti gli uomini dopo ogni donazione è la stessa perché i
soldi donati sono tolti ai soldi del donatore e sono aggiunti a quelli dei beneficiati. Quindi
Σ = S
1
+ S
2
+ S
3
+ S
4
.
Ecco come Fibonacci risolve il sistema. Invece di calcolare
X
IV
= (x
1
IV
, x
2
IV
, x
3
IV
, x
4
IV
)
e risolvere il
sistema ottenuto Fibonacci ragiona sul contenuto del problema.
Guardiamo l’ultima equazione; poiché nelle tre donazioni precedenti i denari del IV uomo sono
solo aumentati con le donazione degli altri tre, l’ultima equazione diventa:
S
4
= x
III
4
− a
4
(x
1
III
+ x
2
III
+ x
3
III
) = x
4
III
− a
4
(Σ − x
4
III
) = (1+ a
4
)x
4
III
− a
4
Σ
quindi:
! x
III
4
=
S
4
+ a
4
Σ
1+ a
4
ma essendo la quarta l’ultima donazione abbiamo:
x
III
4
= (1+ a
3
)(1+ a
2
)(1+ a
1
)x
4
da cui il valore di x
4
:
x
4
=
S
4
+ a
4
Σ
(1+ a
4
)(1+ a
3
)(1+ a
2
)(1+ a
1
)
.
Andiamo ora a vedere il valore di x
3
dopo la terza donazione:
x
II
3
− a
3
(x
1
II
+ x
2
II
+ x
4
II
) = x
3
II
− a
3
(Σ − x
3
II
) = (1+ a
3
)x
3
II
− a
3
Σ
Come prima
x
II
3
= (1+ a
2
)(1+ a
1
)x
3
, ma a questo dobbiamo aggiungere quello che il III uomo ha
ricevuto dal IV cioè
a
4
x
3
III
, quindi abbiamo
(1+ a
4
) (1+ a
3
)(1+ a
2
)(1+ a
1
)x
3
− a
3
Σ
( )
= S
3
da cui
x
3
=
S
3
+ (1+ a
4
)a
3
Σ
(1+ a
4
)(1+ a
3
)(1+ a
2
)(1+ a
1
)
Procediamo analogamente per le altre incognite
Dopo la seconda donazione abbiamo
x
2
II
= x
I
2
− a
2
(x
1
I
+ x
3
I
+ x
4
I
) = (1+ a
2
)x
2
I
− a
2
Σ
, ma
x
I
2
= (1+ a
1
)x
2
quindi
x
2
II
= (1+ a
2
)(1+ a
1
)x
2
− a
2
Σ
a questo dobbiamo aggiungere quello che il II uomo ha ricevuto dalla donazione del III (
a
3
x
2
II
)cioè
ciò che si aggiunge moltiplicando per A
III
x
2
III
= (1+ a
3
) (1+ a
2
)(1+ a
1
)x
2
− a
2
Σ!
( )
= (1+ a
3
)(1+ a
2
)(1+ a
1
)x
2
− (1+ a
3
)a
2
Σ
e ancora dobbiamo aggiungere la donazione del IV uomo (
a
4
x
2
III
) cioè ciò che si aggiunge
moltiplicando per A
IV
in definitiva
x
2
IV
= (1+ a
4
) (1+ a
3
)(1+ a
2
)(1+ a
1
)x
2
− (1+ a
3
)a
2
Σ
( )
e quindi
x
2
=
S
2
+ (1+ a
4
)(1+ a
3
)a
2
Σ
(1+ a
4
)(1+ a
3
)(1+ a
2
)(1+ a
1
)
Ragionando nello stesso modo troviamo
x
1
=
S
1
+ (1+ a
4
)(1+ a
3
)(1+ a
2
)a
1
Σ
(1+ a
4
)(1+ a
3
)(1+ a
2
)(1+ a
1
)
_