USO DELLE FRAZIONI ROMANE

NEI CALCOLI DEI GERBERTISTI

MARIAIRENE GUAGNINI

(irene.guagnini@alice.it)

Gerberto d'Aurillac (945 circa – 1003) introdusse per primo nell'Occidente cristiano i nove

numerali arabi, la rappresentazione decimale posizionale dei numeri e le relative tecniche di calcolo

indo-arabe, dopo essere venuto in contatto con la scienza araba durante un soggiorno in Spagna. La

rappresentazione dei numeri avveniva su un nuovo tipo di abaco

, suddiviso in colonne recanti le

intestazioni di unità, decine, centinaia ecc., in cui le cifre erano rappresentate mediante gettoni

recanti il simbolo corrispondente in notazione araba (o greca o, talvolta, con scrittura latina

Tuttavia la mancanza di un simbolo per lo zero, che veniva risolta da Gerberto lasciando vuota la

colonna corrispondente dell'abaco, non permetteva la scrittura dei numeri e infatti Gerberto e

coloro che proseguirono i suoi studi matematici (detti Gerbertisti) scrissero sempre i numeri in

notazione latina. Tuttavia la rappresentazione dei numeri sull'abaco mediante gettoni produsse un

grande progresso nello svolgimeno dei calcoli, perché permise ai Gerbertisti di utilizzare le

tecniche di calcolo indo-arabe, che sfruttano la rappresentazione decimale posizionale.

Le cifre rappresentate sui gettoni

La rappresentazione dei numeri sull'abaco

Per quanto riguarda le frazioni, Gerberto e i suoi seguaci, così come gli studiosi medievali dei

secoli precedenti, continuarono a usare le once e le minuzie, cioè le frazioni degli antichi Romani.

Esse corrispondevano a particolari suddivisioni dell'unità, legate ai valori delle monete e alle

misure di pesi, lunghezze, aree, volumi. Per queste frazioni venivano utilizzati simboli e regole di

calcolo completamente diversi da quelle attuali e, nel Medioevo, il loro studio era considerato

particolarmente difficile, anche se necessario per le applicazioni in Geometria, Musica e

Astronomia.

E' interessante esaminare quello che i Gerbertisti scrissero riguardo le once e le minuzie (in un

periodo che spazia dalla fine del X al XII secolo), perché nei loro scritti, per la prima volta, vennero

1 Vedere GUAGNINI, L'abaco di Gerberto d'Aurillac, pp. 1-3.

2 Vedere, per esempio, immagine a p. 19.

descritti nel dettaglio i procedimenti di calcolo.

Più nel generale, gli scritti dei Gerbertisti rivestono un interesse storico perché mostrano lo stato

dell'arte dell'aritmetica nei due secoli immediatamente precedenti la comparsa del Liber abaci di

Fibonacci.

In un altro scritto si sono esaminate nel dettaglio varie tecniche di calcolo usate dai Gerbertisti,

limitandosi all'ambito dei numeri naturali (privati dello zero)

. Qui completo la ricerca presentando

le tecniche di calcolo specifiche per le once e le minuzie.

Ho cercato, nel limite delle mie possibilità, di non sovrapporre nozioni 'moderne' ai concetti dei

secoli X-XII. In particolare nel testo ho indicato le frazioni romane a volte con i loro nomi, a volte

con i simboli attuali, mantenendo però il senso originale

. Invece, per non appesantire inutilmente

l'esposizione, nelle spiegazioni compaiono i simboli +, – , ×, : , = (posteriori di vari secoli).

Vengono presentati calcoli effettivamente svolti dai Gerbertisti

nei loro trattati sul computo,

spesso anche con l'aiuto dei testi originali

. Utilizzerò prevalentemente il quarto libro del Liber

abaci di Bernelino, allievo di Gerberto, e il De minutiis di un abacista anonimo, che ebbero

entrambi una larga diffusione, oltre ad alcuni esempi proposti da Oddone, Gerlando, Turchillo e da

un altro autore anonimo

LE ONCE - DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETA'

Unum ergo, quicquid illud sit, sive pes sive libra, si per XII divido, duodecimam unam unciam,

duas sextantem, tres quadrantem, quatuor trientem, quinque quincuncem, sex semissem,

septem septuncem, octo bisse, novem dodrantem, decem dextantem, undecim deuncem,

duodecim assem nomino

Nel testo precedente vengono presentate le once. Un'oncia, che corrisponde alla dodicesima parte

dell'unità. In questo contesto l'unità è chiamata asse, quindi un'oncia corrisponde alla dodicesima

parte dell'asse.

I multipli dell'oncia hanno ognuno un proprio nome, che richiama una proprietà matematica della

frazione stessa.

Sextans dicitur quasi assis sexta; nam duabus unciis constat

Due dodicesimi dell'asse, cioè due once si chiama sestante perché è la sesta parte dell'asse.

Quadrans dicitur quasi assis quarta; nam tribus unciis constat

Tre dodicesimi dell'asse, cioè tre once, si chiama quadrante perché è la quarta parte dell'asse.

3 Vedere Guagnini, L'abaco di Gerberto, pp. 5-15.

4 Per esempio, la metà dell'unità verrà indicata o con il nome di semiasse (traduzione del termine latino semis) o come

6/12 (6 once, cioè 6 dodicesimi dell'unità).

5 Non ricostruiti a posteriori da matematici moderni; vedere, a questo riguardo, alcuni esempi in MAHER, MAKOWSKY,

Literary Evidence for Roman Arithmetic with Fractions, pp. 380-383.

6 L'unica eccezione è il secondo esempio a p. 19, di mia invenzione, ma svolto con la tecnica proposta da Bernelino.

7 I testi completi sono facilmente reperibili in internet, vedere sitografia.

8 Abacista anonimo, De minutiis, in BUBNOV, Gerberti Opera Mathematica (972-1003), p. 229. “Se divido per 12

un'unità qualsiasi, un piede o una libbra, chiamo la dodicesima parte oncia, due [dodicesimi] sestante, tre

[dodicesimi] quadrante, quattro [dodicesimi] triente, cinque [dodicesimi] quinconce, sei [dodicesimi] semiasse,

sette [dodicesimi] settonce, otto [dodicesimi] bisse, nove [dodicesimi] dodrante, dieci [dodicesimi] destante, undici

[dodicesimi] deoncia, dodici [dodicesimi] asse.”

9 Bernelino, Liber abaci, in OLLERIS, Oeuvres de Gerbert-pape sous le nom de Sylvestre II, p. 388. “Si chiama sestante

la sesta parte dell'asse; infatti è formato da due once.”

10 Ivi, p. 388. “Si chiama quadrante la quarta parte dell'asse; infatti è formato da tre once.”

Triens dicitur quasi assis tertia; nam IIII unciis constat
11
.
Quattro dodicesimi dell'asse, cioè tre once, si chiama triente perché è la terza parte dell'asse.
Quincunx dicitur quasi quinque unciis consta
12
.
Cinque dodicesimi dell'asse  si chiama quinconce perché è formato da cinque once.
Semis dicitur quasi medietas assis; nam VI unciis constat
13
.
Sei dodicesimi dell'asse, cioè sei once, si chiama semiasse perché è la metà dell'asse.
Septunx dicitur, quasi septem unciis constans
14
.
Sette dodicesimi dell'asse  si chiama settonce perché è formato da sette once.
Bisse dicitur quasi bis triens, vel triente demptus; VIII enim unciis constat
15
.
Otto  dodicesimi dell'asse,    cioè  otto once,  si  chiama  bisse,   perché corrisponde  al doppio del
triente. Si ottiene anche sottraendo all'asse un triente.
Dodrans dicitur quasi quadrante demptus. Nam tribus sublatis, VIIII unciis constat
16
.
Nove dodicesimi dell'asse, cioè l'asse con tolte tre once, si chiama  dodrante, perché di ottiene
sottraendo dall'asse  un quadrante.
Dextans vel decunx dicitur quod X unciis stet vel constet
17
.
Dieci dodicesimi dell'asse  si chiama destante perché è formato da dieci once e quindi si ottiene
sottraendo dall'asse un sestante.
Deunx dicitur quod uncia minuitur; nam ab asse uncia separatur
18
.
Undici dodicesimi dell'asse si chiama deoncia perché di ottiene sottraendo dall'asse un'oncia.
Sescuncia dicitur quasi uncia et semuncia
19
.
A queste frazioni veniva aggiunta anche la  sesconcia, che corrisponde a un'oncia e mezzo ed è
quindi un ottavo dell'asse.
Nella   tabella  successiva   sono  indicate   le   principali   proprietà   delle   once   e   i  loro   simboli.  In
particolare nella seconda e terza colonna si trovano alcuni dei simboli risalenti all'epoca romana,
mentre nella quarta colonna compaiono quelli utilizzati in epoca medioevale.
Osservazione
 Il simbolo del semiasse compare all'interno di quello del sesterzio romano: HS (abbreviazione di
IIS). Infatti un  sesterzio  (semistertius
20
) inizialmente  corripondeva a IIS = 2 + 6/12 = 2 assi e
mezzo. 
11 Ivi,  p. 388. “Si chiama triente la terza parte dell'asse; infatti è formata da quattro once.”
12 Ivi,  p. 388. “Si chiama quinconce perché è formato da cinque once.”
13 Ivi,  p. 388. “La metà dell'asse si chiama semiasse; infatti è formato da sei once.”
14 Ivi,  p. 388. “Si chiama settonce perché è formato da sette once.”
15 Ivi,  p. 387.  “Si chiama bisse il doppio del triente, [l'asse] tolto un triente; infatti è formato da otto once.”
16 Ivi,  p. 387. “Si chiama dodrante [l'asse con] sottratto un quadrante. Infatti, tolte tre [once dall'asse], è formato da
nove once.”
17 Ivi,  p. 387. “Si chiama destante o deconce perché è composto e formato da dieci once.
18 Ivi,  p. 387. “Si chiama deoncia [l'asse con] sottratto un'oncia; infatti un'oncia lo separa dall'asse.”
19 Ivi,  p. 387. “Si chiama sesconcia la somma di un'oncia e una semioncia”.
20 “un semiasse nel terzo [asse]”
3

asse oncia scrupolo chalco

Asse

1 12 288 2304

Deoncia

11/12 ; 1/2 +1/3 + 1/12 11 264 2112

Destante

10/12; 1/2 + 1/3 10 240 1920

Dodrante

9 /12; 1/2 + 1/4 9 216 1728

Bisse

8/12; 1/2+ 1/6 8 192 1536

Settonce

7/12; 1/3 + 1/4 7 168 1344

Semiasse

6/12; 1/2 6 144 1152

Quinconce

5/12; 1/4+ 1/6 5 120 960

Triente

4/12; 1/3 4 96 768

Quadrante

3/12; 1/4 3 72 576

Sestante

2/12; 1/6 2 48 384

Sesconcia

1/12 + 1/24; 1/8 1+ metà 36 288

Oncia

1/12 1 24 192

Tavola 1

LE MINUZIE

Unciae medietas semuncia dicitur, tertia duella, quarta sicilicus, sexta sextula, octava dragma,

duodecima dimitia sextula, vigesima quarta scripulus, quadragesima octava obolus, nonagesima

sexta cerates, centesima novagesima secunda calcus

21 Abacista anonimo, De minutiis, p. 235. “La metà dell'oncia si chiama semioncia, la terza parte duella, la quarta

sicilico, la sesta sestula, l'ottava dramma, la dodicesima metà della sestula [emisecla N.d.T], la ventiquattresima

All'interno delle frazioni romane, un'oncia veniva suddivisa in ulteriori parti uguali. Ognuna delle

frazioni così generate aveva un proprio simbolo e un proprio nome, che vengono presentati nella

tabella sottostante, insieme alle loro principali equivalenze. Vengono indicate, tra parentesi, anche

due frazioni che compaiono raramente, bissiliqua e tremisse.

asse oncia scrupolo chalco

Semioncia 1/24 metà 12 96

Duella 1/36 un terzo 8 64

Sicilico/siclo 1/48

un quarto

6 48

Sestula 1/72 un sesto 4 32

Dramma 1/96 un ottavo 3 24

Emisescla 1/144 12

parte 2 16

(Tremisse 1/216 18

parte 1 + 1/3 10 +2/3)

Scrupolo 1/288 24

parte 1 8

Obolo 1/576 48

parte metà 4

(Bissiliqua 1/864 72

parte un terzo 2 + 2/3)

Cerate 1/1152 96

parte un quarto 2

Siliqua

1/1728 144

parte un sesto 1+1/3

Chalco 1/2304 192

parte un ottavo 1

Tavola 2

scrupolo, la quarantottesima obolo, la novantaseisima cerate, la centonovantaduesima chalco.”

22 La siliqua era una moneta romana coniata per la prima volta da Costantino nell'anno 323, il cui peso era 1/6 di

quello dello scrupolo. La frazione corripondente venne poi aggiunta a quelle utilizzate in precedenza.

ALCUNE OSSERVAZIONI PRELIMINARI

● Le once e le minuzie corrispondono a particolari frazioni unitarie, quelle del tipo 1/n con n

appartenente all'insieme{2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 36, 48, 72, 96, 144, 288, 576, 1152, 1728, 2304}. I

denominatori sono quindi del tipo 2

× 3

e, in particolare, fra essi compaiono 12, 12

e 12

rispettivamente nell'oncia, nell'emisescla e nel chalco.

● La minore delle frazioni romane è il chalco, ma, se necessario, per esprimere i risultati finali di

calcoli erano utilizzate anche parti intere di minuzie come, per esempio, metà del chalco, la terza

parte del chalco, o anche la terza parte del cerate (vedere a p. 9).

● Addizionando in maniera opportuna due o più frazioni unitarie si possono ottenere altre frazioni

(compresi i multipli dell'oncia non riducibili ad un'unica frazione unitaria)

Di seguito vengono riportati alcuni esempi, presi quasi tutti da testi originali di epoca romana o

medievale

Parte dimitia et tertia (A) Un mezzo e un terzo 1/2 + 1/3 5/6 destante

Parte dimitia et quarta (A) Un mezzo e un quarto 1/2 +1/4 3/4 dodrante

Parte dimitia et sexta (A) Un mezzo e un sesto 1/2 + 1/6 2/3 bisse

Triententem [et] quadrantem (B) Un terzo e un quarto 1/3 + 1/4 7/12 settonce

/ / 1/4 + 1/6

1/12 + 1/3

5/12 quinconce

Parte dimitia et tertia et duodecima (A) Un mezzo e un terzo e un dodicesimo 1/2 + 1/3 + 1/12 11/12 deoncia

Uncia et semuncia (B) Un'oncia e una semioncia 1/12 + 1/24 1/8 sesconcia

Parte tertia et vigesimaquarta (A) Un terzo e un ventiquattresimo 1/3 + 1/24 3/8

Parte dimitia et quarta et octava (A) Un mezzo e un quarto e un ottavo 1/2 + 1/4 + 1/8 7/8

[Simboli] (D) Una semioncia e un sicilico 1/24 + 1/48 1/16

Parte quinta et decima (A) Un quinto e un decimo 1/5 + 1/10 3/10

22/7 Appross. di π

XXV et quinque septimas

25 e cinque settimi 25 + 5/7

● Gli esempi delle ultime tre righe mostrano che venivano prese in considerazione anche parti

dell'unità che non si potevano esprimere combinando fra loro once e minuzie. In particolare il

numero 22/7 (anche nella forma 3 + 1/7) era utilizzato in epoca romana e nel Medioevo per

approssimare il valore di π.

A tale riguardo Gerberto d'Aurillac scrive:

Si pluribus in misurando partibus indiget diligens [... ] seu per minutias usitatas sive intellectuales

multimodis habere poterit

23 Particolari frazioni unitarie erano già utilizzate nell'antico Egizio, anche per scomporre frazioni proprie. Per

approfondimenti sulle frazioni egizie e sull'utilizzo delle frazioni unitarie da parte di Fibonacci vedere: GHIONE, La

disgregazione e le frazioni egizie. Scomposizione di una frazione (propria) in frazioni unitarie.

24 Esempi tratti da: (A) DE LAMA, Tavola alimentaria Velejate, pp. 41-42; (B) Bernelino, Liber abaci, (D) Vittorio

d'Aquitania, Victorii Calculus (vedere figg. 2- 3 p. 9). Per il testo del Victorii Calculus vedere nota 36.

25 “Diametrum, exempli gratia XIV, ducas vigesime bis, fient CCCVIII; sumas partem septimam, fit XLIV, quod es circulus”.

Geometria incerti auctoris in Bubnov, Gerberti Opera Mathematica, p. 356. “Moltiplica il diametro, per esempio

14, per 22, risulterà 308; prendi la settima parte, risulta 44, che è la circonferenza”.

26 Approssimazione (poco accurata) della radice quadrata di 675. Vedere Bubnov, Gerberti Opera Mathematica, p. 44.

27 Gerberto, Geometria in Bubnov, Gerberti Opera Mathematica, p. 64. “Se tu diligente, mentre misuri, hai la

necessità di diverse parti qualsiasi [cioè di frazioni qualsiasi N.d.T.], potrai adoperare diversamente sia le minuzie

usuali che quelle che sorgono alla mente”.

Gerberto afferma esplicitamente che in geometria si possono usare sia le frazioni romane

sia le

altre frazioni che “sorgono alla mente”. Queste ultime erano scritte per esteso

e, a differenza delle

frazioni romane, non avevano un proprio simbolo né furono oggetto di studi particolari riguardo ai

calcoli aritmetici.

INTRODUZIONE AI CALCOLI CON LE FRAZIONI ROMANE

I procedimenti di calcolo con le frazioni oggi in uso, che hanno il pregio della semplicità e della

generalità, si basano sulla rappresentazione delle frazioni come rapporto fra numeratore e

denominatore

. Non si possono quindi applicare alle once e alle minuzie, che hanno una

rappresentazione di tutt'altro tipo.

Per operare con le frazioni romane era necessario fare ricorso a tavole di calcoli molto estese, che

consistevano in lunghi elenchi di risultati di calcoli già svolti. A queste si affiancavano anche tavole

di conversione di once e minuzie.

Non stupisce quindi che, nell'Alto Medioevo, l'apprendimento dell'aritmetica e, in particolare, delle

frazioni fosse molto difficoltoso, come testimonia, ad esempio, Sant’Aldelmo di Malmesbury (VII

sec.), riferendosi a studi compiuti in età adulta:

De ratione vero calculationis quid commemorandum, cum tantae supputationis imminens

desperatio colla mentis compresserit, ut omnes praeteritum lectionis laborem parvi penderem

[... ] Tandem superna gratia fretus difficillima rerum argumenta et calculi supputationes, quas

partes numeri appellant, lectionis instantia repperi

Su come venissero usate le tavole di calcolo sia in epoca romana che in epoca alto medievale

conosciamo pochissimo perché allora l'arte dei calcoli era trasmessa direttamente da maestro ad

allievo. Successivamente, a partire dalla fine del x secolo, i Gerbertisti scrissero dei manuali

riguardanti l'aritmetica pratica, da cui possiamo trarre molte informazioni sul loro modo di operare

con interi e con le frazioni

. In particolare Bernelino, allievo di Gerberto, presentò in un suo

manuale, il Liber abaci, in modo organico e completo, le conoscenze aritmetiche insegnate dal suo

maestro. Nell'introduzione della quarta parte del Liber abaci, interamente dedicata ai calcoli con le

frazioni romane, troviamo:

Nunc itaque ad unciarum minuntiarumque tractatum veniamus, in quo si quid me veritas

praeterierit minime mireris, cum [...] nullius praeter Victorii opus habeam exemplar, qui, dum

brevis studuit fieri, factus est obscurissimus

Bernellino cita l'uso delle tavole di Vittorio d'Aquitania che giudica di difficile comprensione

perché troppo sintetiche, ma che tuttavia furono usate per vari secoli.

28 Gerlando le indica come latini minucias (frazioni latine), evidentemente per distinguerle dalle altre frazioni; GER-

LANDO, Trattato sull'abaco, in Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche T X, p. 604.

29 Ad esempio, 5/7 era indicato con quinque septimae o V septimae (“ cinque settime [parti]).

30 L'introduzione nell'Occidente cristiano della rappresentazione delle frazioni mediante numeratore e denominatore

avvenne nei primi anni del XIII secolo ad opera di Fibonacci, vedere FIBONACCI, Liber abaci, capitolo quinto.

31 ALDELMO, Epistola ad Leutherium, p. 477. “Che dire della scienza del calcolo che ricordo? La disperazione quasi

raggiunta per un così grande numero di calcoli pesò sulla mia mente tanto che le precedenti fatiche di studio

sembrano insignificanti. [… ] Infine, confidando nella grazia divina e con uno studio assiduo, venni a conoscere i

più difficili dei principi naturali, quelle che si chiamano parti dei numeri [cioè frazioni N.d.T.] e i loro calcoli”.

32 Fibonacci sembra riferirsi alle loro tecniche di calcolo quando, nella parte iniziale del Liber abaci, cita “l’algoritmo

e gli archi di Pitagora”; vedere FIBONACCI, Liber abaci, capitolo primo, I.3.

33 Bernelino, Liber abaci, p. 386. “Ora quindi veniamo al trattato delle once e delle minuzie; non ti meravigliare

minimamente se in esso la verità mi sfuggirà, poiché [… ] non ho nessun esempio oltre all'opera di Vittorio che, a

causa della ricerca della brevità, è diventata pressoché incomprensibile”.

LE TAVOLE DI CALCOLO DI VITTORIO D'AQUITANIA

3000 1000

2700 900

2400 800

2100 700

1800 600

1500 500

1200 400

? 300

600 200

300 100

270 90

240 80

210 70

180 60

150 50

120 40

90 30

60 20

30 10

27 9

24 8

21 7

18 6

15 5

12 4

9 3

6 2

3 1

12 + 9/12 11/12

2 + 6/12 10/12

2 + 3/12 9/12

2 8/12

1 + 9/12 7/12

1 + 6/12 6/12

1+ 3/12 5/12

1 4/12

9/12 3/12

6/12 2/12

4/12 + 1/24 1/12 + 1/24

3/12 1/12

1/12 + 1/24 1/24

1/12 1/36

1/24 + 1/48 1/48

1/24 1/72

1/48 1/144

Le più antiche tavole di calcolo a noi

pervenute contenenti frazioni romane

sono quelle attribuite a Vittorio

d'Aquitania, indicate generalmente con

il nome di Victorii calculus. Risalgono

al quinto secolo ed erano ancora

utilizzate nei secoli IX-XII.

Il Victorii Calculus presenta 49

coppie di colonne. Nella figura a lato

vediamo la seconda di queste coppie e

la sua traduzione. Nella colonna di

destra c'è una sequenza di numeri

decrescenti comprendenti le centinaia

da mille a cento, le decine da 90 a 10,

le unità da 9 a 1, le once e varie

minuzie, in quella a sinistra i loro

valori moltiplicati per 3

La sequenza di numeri moltiplicandi è

ripetuta, a destra, in tutte le 49 coppie,

mentre in ciascuna delle colonne di

sinistra si trovano valori di quei numeri

moltiplicati per 2, per 3 e per tutti i

seguenti numeri interi fino a 50.

Le tavole sono precedute da

un'introduzione in cui Vittorio presenta

le frazioni romane e spiega la struttura

delle tavole. Queste spiegazioni furono

giudicate tuttavia di difficile

comprensione perché troppo sintetiche,

come testimoniano Bernelino (vedere

citazione alla pagina precedente) e

Abbone di Fleury

Alcune osservazioni

Con l'uso di queste tavole e

applicando la proprietà distributiva

della moltiplicazione rispetto

all'addizione è possibile moltiplicare

rapidamente numeri interi e misti per

numeri interi da 2 a 5000.

Mancano tuttavia i prodotti di

frazioni e calcoli riferiti alle altre

operazioni aritmetiche.

34 Bern, Burgerbibliothek, cod. 250, fol. 2r, col. 2.

35 Abbone di Fleury, Excerpta in calculum Victorii commentario, in Bubnov, Gerberti Opera Math., pp. 197-203.

AGGIUNTE ALLE TAVOLE DI VITTORIO (SEC. VIII-IX)

A partire dal secolo IX, e quindi ben prima dell'epoca di Gerberto e dei Gerbertisti, si trovano nei

manoscritti le tavole di Vittorio d'Aquitania arricchite da nuovi calcoli

Per quanto riguarda le frazioni romane in questa nuova parte troviamo somme di frazioni,

differenze di frazioni, quadrati numeri misti (vedere esempi nelle figg. 1-3) e altri calcoli.

Fig. 1

(1/12 + 1/24) + (1/12 + 1/24) = 3/12

(1/12 + 1/24) + 1/12 = 2/12 + 1/24

(1/12 + 1/24) + 1/24 = 2/12

Fig. 2

1/12 – 1/72 = 1/24 + 1/36

1/12 – 1/48 = 1/24 + 1/48

1/12 – 1/36 = 1/24 + 1/72

1/12 – 1/24 = 1/24

Fig. 3

(1 + 3/12)

= 1 + 3/12 + 1/24 + 1/48

(1 + 6/12)

= 2 + 3/12

(1 + 9/12)

= 3 + 3/12 + 1/48

Il nuovo testo presenta anche alcune giustificazioni dei risultati, ma le spiegazioni risultano di

difficile comprensione, come possiamo vedere nel seguente esempio.

Esaminiano il commento relativo al calcolo della seconda riga della fig. 3 (nella trascrizione del

testo i simboli sono stati sostituiti dai corrispondenti termini italiani).

In secundo loco dicis ASSE SEMIASSE in se ASSE ASSE QUADRANTE. Tolle […] prioris numeri

plenitudinem de subsequenti, id est ASSE SEMIASSE, remanet SEMIASSE QUADRANTE. Ista vice

SEMIASSE mitte super ASSE, id est ipsius medietatem, QUADRANTE autem super SEMIASSE, illius

similiter medietatem

Il testo sembra affermare che (1 + 1/2) × (1 + 1/2) = 2 + 1/4 perché 2 + 1/4 – (1 + 1/2) = 1/2 + 1/4 =

= 1 : 2 + 1/2 : 2.

Tuttavia questo, più che un calcolo diretto di (1 + 1/2) × (1 + 1/2), sembra la verifica del suo

risultato, in quanto

(1 + 1/n) × (1 + 1/n) = (1 + 1/n) + (1 + 1/n) × 1/n 

(1 + 1/n) × (1 + 1/n) – (1 + 1/n) = 1 : n + 1/n : n.

36 Il testo latino si trova in FRIEDLEIN, Der Calcus des Victorius, pp. 58-72 e tavole finali. Per altre informazioni sulla

nuova parte aggiuntiva vedere anche PANIAGUA, Polemio Silvio y los additamenta al Calculus de Victorio de

Aquitania, pp.152-153.

37 Bern, Burgerbibliothek, cod. 250, fol. 8r, col. 2.

38 Ivi, fol. 7r, col. 3.

39 Ivi, fol. 8v, col. 2.

40 “Nella seconda riga si dice che 1 + 1/2 moltiplicato per se stesso è 2 + 1/4. Togli per intero il primo numero dal

seguente, cioè 1 + 1/2, rimane 1/2 + 1/4. Metti questo semiasse sopra l'asse, è la sua metà, e anche il quadrante

sopra il semiasse, è similmente la sua metà”.

LE NUOVE TAVOLE DEI GERBERTISTI

Bernellino e altri Gerbertisti completarono le tabelle precedenti elencando tutti i prodotti di coppie

di frazioni romane.

Alcuni esempi:

Sicilico moltiplicato per le minuzie minori di esso

1/48 × 1/72 = (1/1152)/3

1/48 × 1/96 = (1/2304)/2

1/48 × 1/144 =(1/2304)/3

De sicilico.

Sicilicum in duellam tertia oboli.

Sicilicus in semunciam cerates.

[… ]

Sicilicus in quadrantem scripulus et obolus

Sicilico

1/48 × 1/36 = (1/576)/3

1/48 × 1/24 = 1/1152

[… ]

1/48 × 3/12 = 1/288 + 1/576

COME CALCOLARE IL PRODOTTO DI DUE FRAZIONI ROMANE

I Gerbertisti esplicitarono anche i procedimenti di calcolo.

Il primo che lo fece fu Bernelino, che nel Liber abaci presentò una sequenza di esempi-guida

riguardanti la moltiplicazione di once e minuzie. I procedimenti sono di vario tipo a seconda dei

casi esaminati e ovviamente molto diversi dal procedimento attuale, che si basa sulla manipolazione

dei numeratori e dei denominatori dei due fattori.

Bernelino enuncia innanzitutto la regola fondamentale della moltiplicazione di frazioni:

quando si moltiplica un'oncia o una minuzia per una qualsiasi altra oncia o minuzia, il

moltiplicando viene modificato come il moltiplicatore modifica l'asse

Per esempio, se si moltiplica una quantità (un'oncia o una minuzia) per un'oncia, risulta la parte

dodicesima di tale quantità perché un'oncia è la dodicesima parte dell'asse; se si moltiplica per una

deoncia, alla quantità iniziale viene sottratto un dodicesimo del suo valore, perché una deoncia

sottrae un dodicesimo all'asse.

Bernellino affronta poi vari casi

Primo esempio.

Utpote quæritur quod semis in se fit, quadrans respondebitur; nam sicut semis assis est medietas

sic si sua requiratur quadrans [respondebitur]. [... ] facilius per numeros demonstratur hoc modo:

quoniam semis est medietas assis, binarium et semissem pari comparatione adime eorum

medietas item, hoc est quadrantem et unitatem, quæ cum amplius nec secundare nec tertiare

possit, ducendi finis occurrit. Est igitur, ut dictum est, semis in se quadrans

41 London, British Library, Add MS 17808, fol. 71v, col. 2.

42 Abacista anonimo, De minutiis, p. 237. “Sul sicilico. Sicilico per duella, terza parte dell'obolo. Sicilico per semi-

oncia, cerate. […] Sicilico per quadrante, scrupolo e obolo”.

43 Bernelino, Liber abaci, p. 390.

44 Ne riporto solo alcuni. Tutti gli esempi di Bernelino si trovano in Bernelino, Liber abaci, pp. 390-393.

45 Bernelino, Liber abaci, p. 390. “Se ci si domanda quanto dà il semiasse moltiplicato per se stesso, si risponde un

quadrante; infatti, così come il semiasse è la metà dell'asse, così se si cerca la sua metà si avrà un quadrante. [… ] si

può dimostrare più facilmente con i numeri in questo modo: poiché il semiasse è la metà dell'asse, sostituisci il due e

il semiasse con l'uguale rapporto dalle loro metà, cioè il quadrante e l'unità. Questi non si possono più dividere nello

Il risultato del prodotto di un semiasse per un semiasse è un quadrante, perché occorre calcolare la

metà della metà dell'asse.

Per raggiungere il risultato, si può anche utilizzare un metodo più generale. Il semiasse

(moltiplicatore) è la metà dell'asse, quindi bisogna dividere il primo semiasse per 2. Questo viene

fatto applicando la proprietà invariantiva della divisione e dividendo i due termini per 2:

semiasse × semiasse = semiasse : 2 = quadrante : 1 = quadrante

[ 6/12 × 1/2 = 6/12 : 2 = 3/12 : 1 = 3/12 ]

Secondo esempio.

Il procedimento dell'esempio precedente si può applicare anche alle minuzie. Calcoliamo il

prodotto di semioncia per semioncia (cioè 1/24 × 1/24).

Si semuncia in se ducatur, cum ipsa sit assis XXIIII pars, ejus XXIIII, hoc est ololum respondeas.

Hoc autem numerorum ratione tali cadit ordine. Quia semuncia vicesima quarta est assis, XXIIII et

semunciam pari comparatione adime. Eorum medietates iterum, hoc est XII et sicilicum; rursus

horum medietatem, hoc est VI et dragmam; horum rursus tertias, hoc est ii et scripulus, quia

dragma in duo non scinditur æqua. Hos iterum secunda, hoc est unum et obolum. Vide ergo quia

eadem est proportio unitatis ad obolum quota fuit vicesima quarta ad semunciam.

Poiché la semioncia è la 24

parte dell'asse, la semioncia (moltiplicatrice) divide per 24 la

semioncia moltiplicanda. Sfruttando opportunemente le relazioni fra le minuzie (tabella 2) si

ottiene

semioncia × semioncia = semioncia : 24 = 96 chalchi : 24 = 4 chalchi : 1 = 4 chalchi = obolo

(ossia 1/24 × 1/24 = 1/24 : 24 = 96 × 1/2304 : 24 = 4 × 1/2304 : 1 = 1/ 576)

Viene proposto anche un altro procedimento, simile a quello della seconda parte del primo

esempio.

Semioncia : 24 ; dividiamo i due termini per 2 e otteniamo sicilico : 12; dividiamo ancora i due

termini per 2 e otteniamo dramma : 6; poiché non possiamo dividere la dramma per 2, dividiamo

per 3 e otteniamo scrupolo : 2; dividiamo ancora per 2 e troviamo infine obolo : 1. Si ottiene così:

semioncia × semioncia = semioncia : 24 = sicilico : 12 =

= dramma : 6 = scrupolo : 2 = obolo : 1 = obolo

(cioè 1/24 : 24 = 1/48 : 12 = 1/96 : 6 = 1/288 : 2 = 1/576 : 1 = 1/576)

Risulta quindi

semioncia × semioncia = obolo

( 1/24 × 1/24 = 1/576)

Terzo esempio.

Non sempre si possono applicare i procedimenti precedenti e quindi si introduce un'altra tecnica

stesso modo né per due né per tre: la moltiplicazione è finita. E quindi, come detto, il semiasse moltiplicato per se

stesso dà un quadrante.”

46 Ivi, p. 390. “Se si moltiplica una semioncia per se stessa, poiché essa è la ventiquattresima parte dell'asse, dai come

risposta il suo ventiquattresimo, cioè l'obolo. E ciò si ottiene anche mediante calcoli numerici nel modo seguente.

Poiché la semioncia è la ventiquattresima parte dell'asse, sostituisci 24 e semioncia con un uguale rapporto. Le loro

metà [sono] 12 e un sicilico, nuovamente le loro metà, 6 e una dramma, poi le loro terze parti, 2 e uno scrupolo,

poiché la dramma non si può dividere in due parti uguali. Dividi ancora per 2, si ha 1 e un obolo. Vedi quindi che il

rapporto fra l'unità e l'obolo è uguale a quanto era la ventiquattresima parte della semioncia.”

mediante un ulteriore esempio: si propone la ricerca del prodotto di deoncia per deoncia (cioè 11/12

× 11/12).

XI, namque in integris numeris secundas aut tertias nusquam recipit. Omnis uncia sive minutia, ut

superius conclusum est, totam partem illius in qua ducitur quærit quota ipsa est assis; deunx

igitur, qui ab asse assis duodecima superatur, si in se ducatur, dextans et emisescla

respondebitur. Deunx enim quota pars assis est tota pars est dextans et emisescla deuncis. Et

CCXLII tota CCLXIIII parte ab eisdem superantur, quota CCLXIIII CCLXXXVIII parte ab eisdem superantur.

Qui CCXLII sumpti per compositam divisionem dextantem faciunt et emisesclam

Non si può applicare subito il procedimento precedente per una deoncia corrisponde a 11 once e

11 non è divisibile né per 2 né per 3. Allora si ricorre agli scrupoli e alla proprietà fondamentale

della moltiplicazione di frazioni. Una deoncia (moltiplicanda) è formata da 264 scrupoli

e la sua

dodicesima parte è 22 scrupoli. Al moltiplicando la deoncia moltiplicatrice toglie quindi 22

scrupoli. Risultano 242 scrupoli.

Occorre però esprimere questo risultato in forma standard, cioè mediante once e minuzie. Un'oncia

è formata da 24 scrupoli, quindi dividiamo 242 per 24. Si ottiene 242 = 24 × 10 + 2, quindi 242

scrupoli sono 10 once e 2 scrupoli, pari a un'emisescla.

Deoncia × deoncia = 264 scrupoli × deoncia =

= (264 – 264/12 scrupoli) = 242 scrupoli =

= (24 × 10 + 2) scrupoli = 10 × 24 scrupoli + 2 scrupoli =

= 10 × oncia + 2 scrupoli = destante + emisescla.

Quarto esempio.

Si ricorre a un analogo procedimento per calcolare il prodotto di deoncia per destante (cioè

11/12 × 10/12).

Si deunx in dextantem ducatur, dodrans et sextula respondebitur. Nam deunx quota pars est

assis, tota pars etiam est dodrans et sextula dextantis. Et quota CCLXXXVIII parte CCLXIIII

superantur, tota CCXL parte CCXX ab eisdem superantur.

Una deoncia equivale a 264 scrupoli. La sua dodicesima parte è 22. Il destante toglie 2 once

all'asse, cioè due volte la dodicesima parte. Allora nella moltiplicazione proposta il destante

(moltiplicatore) toglie alla deoncia (moltiplicando) due volte la sua dodicesima parte, cioè 2 × 22 =

44 scrupoli. Risultano 220 scrupoli. Per esprimere questo risultato in forma standard, dividiamo 220

per 24. Si ottiene 220 = 9 × 24 + 4, quindi 220 scrupoli sono 9 once e 4 scrupoli.

Deoncia × destante = 264 scrupoli × destante =

= (264 – 2 × 264/12 scrupoli) = 220 scrupoli =

= (9 × 24 + 4) scrupoli = 9 × 24 scrupoli + 4 scrupoli =

= 9 × oncia + 4 scrupoli = dodrante + sestula.

47 Ivi, p. 390. “11, per esempio, non ammette come divisori né 2 né 3. Ogni oncia o minuzia, come si è detto prima,

acquista una parte del numero moltiplicando quanto è la sua parte dell'asse, quindi la deoncia, che è superata

dall'asse di un dodicesimo di asse, moltiplicata per se stessa, produce un destante e un'emisescla. Infatti il rapporto

fra la deoncia e l'asse è uguale a quello di destante più emisescla e deoncia. E il rapporto fra 242 e 264 è uguale a

quello di 264 e 288”.

48 Deoncia = asse – oncia = 288 scrupoli – 24 scrupoli = 264 scrupoli (vedere tabella 2).

49 Ivi, p. 390. “Se si moltiplica deoncia per destante, si risponde dodrante e sestula. Infatti il rapporto fra deoncia e asse

è uguale al rapporto fra la somma di dodrante e sestula e destante . E il rapporto di 288 e 264 è uguale a quello di

240 e 220.”

Quinto esempio.

Il procedimento richiede un aggiustamento per calcolare il prodotto di semioncia per settonce

(cioè 1/24 × 7/12) , perché il settonce non si può dividere ne' per 2 ne' per 3 (nell'ambito delle

minuzie).

Septunx nusquam recipit secundas aut tertias in integris, ut ita dicam, numeris. Quapropter sic

fieri ut prius ducatur in trientem, exinde in quadratem, qui simul juncti perficiunt septuncem.

Semuncia igitur in septuncem ducta fit sextula et dragma, vel sicilicus et scripulus. Nam

semuncia in trientem ducta, sextula respondebitur. Nunc autem ductam in quadrantem

respondebis dragmam.

Poiché settonce = triente + quadrante (7/12 = 4/12 + 3/12) , si ha

semioncia × settonce = 1/24 × 7/12 =

= semioncia × (triente + quadrante) = = 1/24 × (4/12 + 3/12) =

= semioncia × triente + semioncia × quadrante = 1/24 × 4/12 + 1/24 × 3/12

I due prodotti si calcolano con i procedimenti visti negli esempi precedenti e si ottengono

rispettivamente sestula e dramma, quindi

semioncia × settonce = sestula + dramma

(cioè 1/24 × 7/12 = 1/72 + 1/96)

Una regola per moltiplicare le once.

Troviamo anche, nel testo di Bernelino, una regola pratica per moltiplicare le once fra di loro: si

moltiplicano i due numeri delle once e si divide questo prodotto per 12. Si possono ora presentare

due casi.

(1) Se la divisione è esatta, il quoziente (quoto) è il numero di once corrispondenti al risultato

finale.

Esempio: semiasse × semiasse = 6 once × 6 once ; 6 × 6 = 36 ; 36 : 12 = 3 ; risultato finale 3 once,

cioè quadrante.

(2) Se la divisione non è esatta, il quoziente è il numero di once corrispondenti al risultato finale,

mentre il resto moltiplicato per 2 corrisponde al numero degli scrupoli.

Esempio:

semiasse × settonce = 6 once × 7 once ;

6 × 7 = 42 ;

42: 12; Q = 3 (once) e R = 6 ;

6 × 2 = 12 scrupoli = semioncia.

Quindi

semiasse × settonce = 3 once + 1 semioncia.

50 Ivi, p. 391. “Il settonce non ammette in alcun modo una divisione per 2 o per 3 all'interno dei numeri cosiddetti

interi. Pertanto di deve procedere così, prima si moltiplica per un triente e poi per un quadrante, che sommati danno

un settonce. […] Una seminoncia moltiplicata per un settonce dà una sestula e una dramma, o un sicilico e uno

scrupolo. Infatti una semioncia per un triente dà una sestula, mentre moltiplicata per un quadrante dà una dramma.”

Nel testo non ci sono giustificazioni. Possiamo giustificare la regola in questo modo

n once × m once = n/12 × m/12 = (nm)/144 =

= (q × 12 + r)/144 = q/12 + r/144 =

= q/12 + (2r)/288 = q once + 2r scrupoli.

Prodotto di una frazione per un numero intero

La regola fondamentale viene estesa anche al prodotto di una frazione per un numero intero,

come mostra il seguente esempio.

Si unciam in XXIIII ducas, [ ... ] XXIIII totam partem quota est uncia assis, id est XII, requiras, quae

erit binarius

Per calcolare il prodotto di 24 per un'oncia, si segue il ragionamento visto prima per il prodotto di

frazioni. Poiché l'oncia è la dodicesima parte dell'asse, si deve calcolare la dodicesima parte di 24,

che è 2. Il risultato del prodotto richiesto è quindi 2.

L'autore esplicita anche altri casi. Ad esempio:

[ ... ] Sextans autem, quia sexta est assis, in quemcumque numerum sive minutiam ducatur,

ejusdem, in quem ducitur, sextam requirit; [ ... ] bisse, quia duae tertiae, duas tertias; dodrans,

quia tres quartae, tres quartas; dextans, quia decem duodecimae, decem duodecimas; deunx,

quia undecim duodecimae, undecim duodecimas

ALTRE TABELLE DI CALCOLO

Nonostante le spiegazioni e le regole date nei vari trattati dei Gerbertisti, le tabelle di calcolo con

frazioni rimasero ancora in uso nei secoli XI-XII, anzi vennero perfezionate. Ad esempio, in alcuni

manoscritti troviamo le tavole di Ermanno di Reichenau

che presentano prodotti fra numeri interi

e frazioni o i risultati di moltiplicazioni di once e di divisioni di minuzie. (vedere le due figure

seguenti

). Ovviamente la necessità di utilizzare le tabelle rendeva i calcoli più lunghi e complessi.

51 Abacista anonimo, De minutiis, p. 233. “Se moltiplichi un'oncia per 24, cerca la parte di 24 uguale a quella che è

l'oncia dell'asse, cioè la dodicesima, che sarà 2.”

52 Abacista anonimo, De minutiis, p. 233.“[... ] Inoltre il sestante, che è la sesta parte dell'asse, moltiplicato per

qulunque numero o minuzia, richiede la sesta parte della quantità per la quale viene moltiplicato, [...] la bisse, che è

due terzi dell'asse, due terzi di essa, , il dodrante, che è tre quarti [dell'asse] , tre quarti; il destante, che è dieci

dodicesimi, dieci dodicesimi di essa; la deoncia, che è undici dodicesimi , undici dodicesimi di essa”.

53 Hermanus Contractus (1013-1052), in italiano Ermanno il Contratto (a causa di una grave malformazione fisica).

Stimato studioso, lasciò molti scritti su varie materie.

54 Karlsruhe, Badische Landesbibliothek, 504, fol. 87v, e fol. 88r, sec. XI-XII.

A sinistra, parte iniziale di una tavola di divisioni di frazioni attribuita a Ermanno di Reichenau

A destra, in alto, parte iniziale di una tavola di moltiplicazione di once (seguito nella pagina successiva).

Esempio di trascrizione.

(Sesta riga in

alto a sinistra)

Scrupolo : chalco = 8; scrupolo : siliqua = 6;

scrupolo : cerate = 4; scrupolo : bissiliqua = 3;

scrupolo : obolo = 2.

Oppure 1 scrupolo = 8 chalchi = 6 silique =

= 4 cerate = 3 bissiliqua= 2 oboli

55 Può essere interpretata anche come una tavola di equivalenze.

A sinistra, in basso, prosecuzione della tavola di divisioni di frazioni (inizio nella pagina precedente).

A destra, in alto, prosecuzione della tavola di moltiplicazione di frazioni (inizio nella pagina precedente).

CALCOLO DEL PRODOTTO DI NUMERI MISTI

CON L'ABACO

La conoscenza dei prodotti di due frazioni o di un numero intero per una frazione permette di

svolgere agevolmente i prodotti di numeri misti con l'abaco.

Sull'abaco di Gerberto sono presenti tre colonne per la rappresentazione delle once delle

minuzie

Tres lineas earum minutiarumque dispositioni prædiximus servandas, quarum prima calcos

haberet, scripulos secunda, tertia autem uncias

Le colonne sono poste a destra, prima quella delle unità. La prima, da destra, è riservata ai

chalchi, la seconda agli scrupoli e la terza alle once

. Anche se nei testi dei Gerbertisti non vengono

citati, evidentemente c'erano dei gettoni con i simboli delle once e delle minuzie.

Si rappresenta numero moltiplicando nella prima traccia e il numero motiplicatore nella quarta e

poi si procede in modo analogo a quello utilizzato per i numeri interi

Esempio.

XII et dextans per duos asses et semissem hoc modo multiplicentur. Bis unus II, in deceni

secundo. Bis II, IIII, in singularis eodem. Bis dextans, as, in singulari secundo; bisse autem in

unciarum eodem.[... ] Nunc per semissem. Semis in denarium, hoc est in decem asses. Quinarius

in singularis secundo. Semis in binarium, hoc est in duos asses; unitas ibidem. Semis in

dextantem, quincunx in secundo tramite unciarum

Il procedimento indicato corrisponde alla seguente sequenza:

(12 + destante) × (2 + semiasse) = (10 + 2 + destante) × (2 + semiasse) =

= 10 × 2 + 2 × 2 + destante × 2 + 10 × semiasse + 2 × semiasse + destante × semiasse =

= 20 + 4 + (1 + bisse) + 5 + 1 + quinconce = 31 + 8 once + 5 once = 32 + oncia

oncia

destante

scrupolo chalco

moltiplicando

bisse

quinconce

dieci × 2

2 × 2

destante × 2

dieci × semiasse

2 × semiasse

destante × semiasse

3 2 oncia Risultato finale

2 semiasse moltiplicatore

Schema della moltiplicazione (12 + destante) × (2 + semiasse) eseguita con un abaco

56 Anche l'abaco romano aveva colonne per le frazioni. Un esempio è dato dall'abaco di Kircher, che si trova al Museo

Nazionale Romano. Iniziando da destra, le prime due colonne di questo abaco sono dedicate alla rappresentazione

delle frazioni romane: la prima è riservata a semioncia, sicilico e duella, mentre la seconda è per le once; vedere: DE

PALMA (a cura di), I racconti di Numeria, pp. 31-32.

57 Bernelino Liber abaci, p. 397. “Fissiamo tre colonne riservate alla disposizione delle minuzie, la prima delle quali

contenga i chalchi, la seconda gli scupoli, la terza invece le once”.

58 Da esempi successivi proposti da Bernelino si deduce che semioncia, duella, sicilico, sestula, dramma, emisescla,

scrupolo erano poste nella colonna degli scrupoli, mentre obolo, cerate, siliqua, chalco erano poste in quella dei

chalchi.

59 Vedere GUAGNINI, L'abaco di Gerberto d'Aurillac, pp. 6-9.

60 Ivi, p. 397. “Si moltiplichi 12 e destante per 2 e semiasse nel seguente modo. 2 per 1, 2 nelle decine della seconda

traccia. 2 per 2, 4 nelle unità della stessa. 2 volte destante, asse nelle unità della seconda traccia e inoltre bisse nelle

once della stessa. Ora per semiasse. Semiasse per 10, cioè per 10 assi, 5 nelle unità della seconda traccia. Semiasse

per 2, cioè per due assi, 1 nello stesso posto. Semiasse per destante, quinconce nelle once della seconda traccia”.

DIVISIONE DI UN NUMERO INTERO PER UN NUMERO MISTO

USANDO L'ABACO

Più complessa è l'operazione di divisione.

Primo esempio

L'autore

mostra come dividere 120 per 11 e deoncia (cioè per 11 + 11/12), utilizzando il metodo

della divisione 'con differenza'

. Questo metodo, molto usato dai Gerbertisti, è spesso piuttosto

lungo, ma presenta calcoli molto semplici da svolgere

Si inizia approssimando il divisore alla decina successiva, cioè 20 = 2 decine, e calcolando la

differenza d fra 20 e il divisore D.

D = 11+ 11/12 ; d = 8 + 1/12

Poi si svolge la seguenti sequenza di calcoli:

12 decine : 2 decine = 6 = Q

primo quoziente parziale;

6 × d = 48 + 6/12 = R

primo resto parziale;

4 decine : 2 decine = 2 = Q

secondo quoziente parziale;

2 × d + 8 + 6/12 = 16 + 2/12 + 8 + 6/12 = 24 + 8/12 = R

secondo resto parziale;

2 decine : 2 decine = 1 = Q

terzo quoziente parziale;

1 × d + 4 + 8/12 = 8 + 1/12 + 4 + 8/12 = 12 + 9/12 = R

terzo resto parziale;

Poiché R

è maggiore di D ma minore di 20, si sottrae da esso direttamente il divisore:

– D = 12 + 9/12 – (11 + 11/12) = 11 + 12/12 + 9/12 – (11 + 11/12) = 10/12 fine divisione;

1 = Q

quarto quoziente parziale; R = 10/12 resto della divisione;

Q = Q

+ Q

= 6 + 2 + 1 + 1 = 10.

In conclusione 120 = 10 × (11 + 11/12) + 10/12.

Il procedimento ha la seguente giustificazione:

120 : D = (6 × 20) : D = (6 × (D + d)) : D = (6D + 6d) : D = 6 + (6d) : D =

= 6 + ( 48 + 6/12) : D = 6 + (40 + 8 + 6/12) : D = 6 + (2 × 20 + 8 + 6/12) : D =

= 6 + (2 × (D + d) + 8 + 6/12) : D = 6 + (2 D + 2d + 8 + 6/12) : D =

= 6 + 2 + (2d + 8 + 6/12) : D = 6 + 2 + (16 + 2/12 + 8 + 6/12) : D =

= 6 + 2 + (24 + 8/12) : D = 6 + 12 + (20 + 4 + 8/12) : D =

= 6 + 2 + (D + d + 4 + 8/12) : D = 6 + 2 + 1 + (d + 4 + 8/12) : D =

= 6 + 2 +1 + (8 + 1/12 + 4 + 8/12) : D = 6 + 2 +1 + (12 + 9/12) : D =

= 6 + 2 + 1 + (D + 10/12) : D = 6 + 2 + 1 + 1 + (10/12) : D = 10 + (10/12) : D.

Q = 10 e R = 10/12

61 Abacista anonimo, De minutiis, p. 243.

62 La 'divisione con differenza', detta anche 'divisione ferrea', è spiegata in GUAGNINI, L'abaco di Gerberto d'Aurillac,

pp. 9-14. Vedere, in particolare, il terzo caso a p. 13.

63 Vedere CAJORI, A History of Mathematics, pp. 122-123.

C X

divisore

1 e 11/12

differenza

8 e 1/12

videndo

Prima

divisione

per 2, 6

4 8 e 6/12

2^divisio-

ne, 2

6 e 2/12

4 e 8/12

3^divisio-

ne, 1

8 e 1/2

2 e 9/12

 1

 2

 6

Immagine dello schema della divisione 120 : (11 + 11/12) tratta da un manoscritto

Secondo esempio

Vediamo come applicare il procedimento precedente (divisione 'con differenza') nel caso in cui il

divisore presenti sia once sia minuzie. Si vuole calcolare 98 : (18 + 11/12 + 1/48).

Si inizia approssimando il divisore alla decina successiva, cioè 20 = 2 decine, e calcolando la

differenza d fra 20 e il divisore D.

D = 18+ 11/12 + 1/48; d = 1 + 1/24 + 1/48

Poi si svolge la seguenti sequenza di calcoli:

9 decine : 2 decine = 4 = Q

primo quoziente parziale;

18 + 4 × d = 18 + 4 + 2/12 + 1/12 = 22 + 3/12 = R

primo resto parziale;

2 decine : 2 decine = 1 = Q

secondo quoziente parziale;

2 + 3/12 + 1 × d = 2 + 3/12 + 1 + 1/24 + 1/48 = 3 + 3/12 + 1/24 + 1/48 = R

La divisione è finita perché R

< D.

Q = Q

+ Q

= 5, R = 3 + 3/12 + 1/24 + 1/48

In conclusione 98 = 5 × (18+ 11/12 + 1/48) + 3 + 3/12 + 1/24 + 1/48.

64 Karlsruhe, Badische Landesbibliothek, 504, fol. 84r, sec. XI-XII.

USO DELLE ONCE E DELLE MINUZIE NELLA

DIVISIONE FRA DUE NUMERI INTERI

In alcuni scritti si trova anche l'uso delle once e delle minuzie per approssimare il risultato di

divisioni di numeri interi

Primo esempio: 3:7

Il primo testo che esaminiamo propone la divisione di 94657 per 7

. Utilizzando unicamente i

numeri interi ottiene come resto 3. L'autore prosegue poi nella divisione per 7 utilizzando once e

minuzie nel seguente modo:

R = 3 = 3 assi = 6 semiassi; non si può dividere 6 per 7, allora si segue un'altra strada:

3 assi = 9 trienti, si divide per 7, Q

= 1 triente, R

= 2 trienti;

2 trienti = 8 once, si divide per 7, Q

= 1 oncia, R

= 1 oncia;

1 oncia = 4 sicilico; non si può dividere, allora si procede con un'altra equivalenza:

1 oncia = 8 dramme, si divide per 7, Q

= 1 dramma, R

= 1 dramma;

1 dramma = 12 cerate, si divide per 7, Q

= 1 cerate, R

= 5 cerate,

5 cerate = 10 chalchi, si divide per 7, Q

= 1 chalco, R

= 3 chalchi, fine della divisione.

In conclusione

3 = 7 × (5 once + 1 dramma + 1 cerate + 1 chalco) + 3 chalchi

( 3 = 7 × ( 5/12 + 1/96 + 1/1152 + 1/2304) + 3/2304 )

Secondo esempio: 1:11

Gerlando propone il seguente problema: suddividere 100 marchi fra 11 maestri

Da 100 marchi diviso 11 si ottiene Q

= 9 marchi e R

= 1 marco.

Volendo proseguire la divisione, si trasforma il resto in 12 once.

Da 12 once diviso 11 si ottiene Q

= 1 oncia e R

= 1 oncia.

Si traforma il resto di un oncia in 12 emisescle.

Da 12 emisescle diviso 11 si ottiene Q

= 1 emisescla e R

= 1 emisescla.

Si trasforma il resto di un'emisescla in 12 silique.

Da 12 silique diviso 11 si ottiene Q

= 1 siliqua e R

= 1 siliqua.

La divisione è terminata poiché non sono più possibili ulteriori trasformazioni utili del resto: 1

siliqua corrisponde a 1 chalco + 1/2 chalco e il chalco è la frazione romana più piccola

Sommando i vari quozienti parziali si ottiene

Q = 9 + oncia + emisescla + siliqua, R = siliqua

100 = 11 × (9 + oncia + emisescla + siliqua) + siliqua

( 100 = 11 × (9 + 1/12 + 1/144 + 1/1728) + 1/1728 )

65 In essi viene usato il metodo detto della 'divisione aurea', che è sostanzialmente il procedimento di divisione che

ancora oggi viene insegnato alla scuola elementare.

66 Anonimo, Exemplum simplicis auree, in Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche, T.

X, Roma 1877, pp. 617-618.

67 Gerlando, Trattato sull'abaco, pp. 604-607.

68 Come osservato in precedenza (p. 6) i Gerbertisti usavano anche parti delle minuzie più piccole, ma qui non ha

senso farlo perché è richiesto il numero di monete da dare ad ogni maestro.

Terzo esempio: 1:1000

Oddone

presenta un problema che coinvolge numeri più grandi e che richiede una serie di

trasformazioni più complesse. Si devono suddividere milleuno monete d'argento fra mille soldati.

Da 1001 monete d'argento : 1000 si ottiene Q

= 1 moneta d'argento e R

= 1 moneta d'argento.

Volendo proseguire la divisione, si trasforma il resto in 12 once.

Quindi trasforma 10 once in 240 scrupoli, poi 200 scrupoli in 1200 silique

M C X I

1 once 2 once

2 scrupoli 4 scrupoli

1 silique 2 silique

Ora si possono dividere le 1000 silique per 1000 e si ha Q

= 1 siliqua.

= 200 silique + 40 scrupoli + 2 once.

Anche riducendo tutti i termini alla minuzia minore, il chalco, non si riesce a raggiungere la

colonna delle migliaia, quindi la divisione è finita.

Q = 1 moneta d'arg. + 1 siliqua, R = 200 silique + 40 scrupoli + 2 once

1001 = 1000 × (1 + 1 siliqua) + 200 silique + 40 scrupoli + 2 once

( 1001 = 1000 (1 + 1/1728) + 200/1728 + 40/288 + 2/12) )

Oddone tuttavia non sembra completamente soddisfatto del procedimento usato nelle divisioni,

perché aggiunge:

Si vero portiones divisoribus nequeunt coaequari, quidquid de partibus remanet, ultra non poterit

dividi. Nec mirandum est, aliquid de minutiis superesse, cum alias artes in multis videam

vacillare. Quamvis enim grammatica amplioribus sit discussa philosophis, tamen ut cæteræ artes

aliquid habet imperfectionis, scilicet & in generibus & in personis. Cum enim coelum in singulari

generis sit neutri, in plurali fit masculini. Et ut paucis concludam, qui in septem artibus vult

studere, plurima perfectione carentia poterit invenire; nam sicut est antiquum proverbium: nihil est

omni parte beatum

Il fatto che si ottenga un resto nella divisione, pur ricorrendo alle once e alle minuzie, sembra ad

Oddone un difetto della teoria, al pari di tanti altri che si trovano studiando le arti liberali. Un altro

abacista, Turchillus, affronta diversamente questo problema.

69 Forse identificabile con Odo, abate di Saint-Maur-des-Fossés dal 1006 al 1029; cfr. RYAN, The Anonymous Musicae

artis disciplina: A Critical Edition, pp. 32-33.

70 ODDONE, Regulae domno Oddonis super abacum, in Gerbert, Martin, Scriptores ecclesiastici de musica sacra, p.

302. “Tuttavia, se le frazioni [il resto parziale N.d.T.] non sono in grado di raggiungere il livello del divisore,

qualunque frazione rimanga non si può procedere nella divisione. Non ci si deve stupire che rimanga qualche

minuzia, perché in molti vedono vacillare [anche] le altre arti [cioè le arti liberali del trivio e del quadrivio:

grammatica, retorica, dialettica, aritmetica, geometria, astronomia, musica N.d.T.]. Infatti, per quanto la grammatica

sia discussa dai più illustri filosofi, nondimeno, come le altre arti, ha dei difetti, senza dubbio relativamente ai generi

e alle persone. Infatti mentre cielo è al singolare di genere neutro, al plurale diventa di genere maschile. E, in breve,

chi vuole dedicarsi allo studio delle sette arti, potrà trovare molte imperfezioni; proprio come dice il proverbio:

“niente è perfetto in ogni sua parte”.

Quarto esempio: 200 : 2500

Turchillus, nello spiegare ai lettori come si dividono fra loro due interi, inizia nel modo usuale, ma

poi aggiunge una regola nuova: se non si riescono a trovare conversioni opportune utilizzando le

frazioni romane, si possono usare nelle divisioni anche tutte le altre frazioni.

Mostra quest'ultimo caso con un esempio

Si devono suddividere 200 marchi in 2500 parti uguali.

200 marchi corrispondono a 32000 denari.

32000 denari: 2500 dà Q

= 12 denari e R

= 2000 denari.

1 denaro corrisponde a 2 'oboli'

quindi R

= 4000 'oboli'.

4000 'oboli' : 2500 dà Q

= 1 'obolo' e R

= 1500 'oboli'.

1 'obolo' corrisponde a 2 quadranti quindi R

= 3000 quadranti.

3000 qudranti : 2500 dà Q

= 1 quadrante e R

= 500 quadranti.

500 quadranti : 2500 = 1/5 quadrante perché non si riesce a trasformare in maniera adeguata un

quadrante e in questo modo non c'è resto. Quindi Q

= 1/5 quadrante.

In conclusione:

200 marchi : 2500 = 12 denari + 1 'obolo' + 1 quadrante + 1/5 quadrante.

(32000 : 2500 = 12 + 1/2 + 1/4 + 1/20)

Questo esempio è più avanzato rispetto ai tre precedenti anche per un altro motivo. Come osserva

Turchillus, in questa divisione il divisore supera il dividendo ed è perciò necessario sfruttare fin

dall'inizio delle equivalenze; il quoto è quindi minore dell'unità del dividendo (cioè di 1 marco).

QUAL E' L'ORIGINE DEI PROCEDIMENTI ESAMINATI?

Ci si può domandare se i procedimenti che abbiamo fin qui esaminato siano stati scoperti

autonomamente dai Gerbertisti o da precedenti studiosi medievali oppure se fossero già usati

nell'antichità e siano stati trasmessi durante i secoli fino all'epoca di Gerberto.

Non si può rispondere con certezza perché non abbiamo testimonianze su come gli Antichi

Romani svolgessero i calcoli aritmetici. Si possono quindi fare solo delle supposizioni e discuterle

sulla base di tutte fonti tardo antiche e medievali disponibili.

Entrambe le possibilità avrebbero comunque delle conseguenze interessanti.

Nuovi procedimenti aritmetici scoperti (o riscoperti) nell'Alto Medioevo dimostrerebbero che si

compie un errore affermando che in tale periodo nell'Occidente cristiano lo studio della matematica

si basasse unicamente su testi latini tardo antichi

Se, invece, i procedimenti con le once e le minuzie risalissero al periodo romano, essi ci

fornirebbero nuove e utili informazioni sull'aritmetica romana. A favore di una trasmissione delle

conoscenze aritmetiche durante i secoli abbiamo: gli scritti di vari studiosi medievali che

riprendono testi tardo antichi

; la similitudine fra l'abaco romano e l'abaco di Gerberto; il

permanere nel tempo dell'antica tecnica dell'indigitazione

e dell'uso delle Tavole di Vittorio

d'Aquitania.

71 TURCHILLUS, Reguncule super abacus, in Bullettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche e fisiche, T.

XV, pp. 153-154.

72 Così viene indicato nel testo il semiasse.

73 CAJORI, A History of Mathematics, p. 117.

74 FRIEDLEIN, Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen und Römer, pp. 35-66.

75 Vedere: GHIONE, Calcolare con le mani.

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Karlsruhe, Badische Landesbibliothek, 504, https://digital.blb-karlsruhe.de/blbhs/content/pageview/1161799;

London, British Library, Add MS 17808,

http://www.bl.uk/manuscripts/Viewer.aspx?ref=add_ms_17808_fs001r.