progetto fibonacci - traduzione-12-3

= 5
(a + b)

=
7
12
a +
9
20
b

pagina iniziale capitolo dodicesimo del Liber abaci - terza parte<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF, folio 73 recto

terza parte cap XII

Terza parte ^[NdT]

In questa parte a margine utilizziamo la scrittura algebrica moderna sottointendendo il simbolo di prodotto

Inizia la parte terza sulla soluzione a quesiti su alberi e simili.

(XII.3.1 ; G: XII.58) C'

è un albero,

del quale sta nascosto sotto terra, corrispondente a 21 palmi: si chiede quale sia la lunghezza di quell'albero. Poiché

3 si trovano nel 12, immagina l' albero diviso in 12 parti uguali, di cui un terzo, e un quarto, cioè 7 parti, corrispondono a 21 palmi: Perciò come 7 sta a 21, così, proporzionalmente, 12 parti stanno alla lunghezza dell'albero. E poiché quando quattro numeri sono proporzionali, la moltiplicazione del primo per il quarto è uguale alla moltiplicazione del secondo per il terzo: allora moltiplicando il secondo termine, 21, per il terzo termine, 12, che sono noti, e dividendo similmente per il primo numero, cioè per 7, si otterrà 36 per il quarto numero incognito, cioè per la lunghezza di quell'albero: oppure poiché 21 è il triplo di 7, prendi il triplo di 12, e avrai similmente 36.

pg.174

(XII.3.2 ; G: XII.60) C'

è poi un altro modo che possiamo usare: poni come incognita un qualsiasi numero noto, che sia divisibile esattamente per le frazioni indicate nel problema: e in base ai dati del problema stesso, ingegnati a ricavare col numero posto, la proporzione che va a finire nella soluzione di quel problema. Per esempio: il numero cercato in questo problema è la lunghezza dell'albero: perciò poni che sia 12, poiché è divisibile esattamente per 3, e per 4, che sono sotto le linee di frazione: sapendo che

3 dell'albero corrisponde a 21, prendi

3 del 12 posto, risulta 7; se per caso fosse risultato 21, avremmo avuto quanto richiesto, cioè quell'albero risulterebbe di 12 palmi. Ma poiché 7 non è 21, va fatta la proporzione: come 7 sta a 21, così la lunghezza posta dell'albero sta a quella richiesta, cioè 12 a 36: perciò ci si abitui a dire: per il 12 che pongo viene 7; cosa devo porre perché venga 21: quindi, bisogna moltiplicare insieme i numeri estremi, cioè 12 per 21; e il totale va diviso per il numero che resta.

Dell'albero da cui se si sottrae

3, resta 12.

(XII.3.3 ; G: XII.62) U

gualmente c'è un albero di cui

3 è nascosto sottoterra, il resto, poi, che è sopra la terra, è di 21 palmi: riduci in dodicesimi quest'albero, ci saranno 12 parti uguali; da esse sottrai

3, cioè sette parti, resteranno 5 parti, che si corrispondono a 21 palmi: perciò come 5 parti stanno a 21, così 12 parti staranno alla lunghezza dell'albero: per cui dividi per 5 la moltiplicazione di 12 per 21, faranno

50 palmi. Oppure nel secondo modo poni che quest'albero sia lungo 12 palmi; da cui tolti i loro

3, cioè 7, resteranno 5 palmi sopra la terra: perciò dirai: per il 12, che pongo, viene 5; cosa dovrò porre perché venga 21: e così moltiplica gli estremi, cioè 12 per 21, e dividi per il numero medio, farà ugualmente

50: se vuoi puoi verificarlo, poiché tolti

12 da qualunque cosa restano

12 della stessa cosa, prendi

12 di

50, che puoi farlo in due modi diversi; prendi prima

12 di 48, cioè

12 di 48, che è 4, moltiplicalo per 5, farà 20: poi sottrai 48 da

50, restano

2: in quinti, saranno 12 quinti; a questi somma ancora i [ suoi ]

12, farà cinque quinti, cioè 1; sommalo con il 20 trovato, farà 21; e questo vogliamo dimostrare: che tolti

3 da

50, resta 21. Oppure, in altro modo: moltiplica

50 per il 5 che è sopra il 12, farà 252; diviso per 12, viene 21. O ancora fa quinti da

50, saranno 252 quinti; da cui togli i suoi

3, cioè 84 e 63, restano 105 quinti di 1 palmo che sono sopra la terra, cioè 21 palmi.

Dell'albero o del numero, che farà 38 se gli sarà sommato

(XII.3.4 ; G: XII.66) U

gualmente se dici che sommati

3 di quell'albero all'albero, corrispondono a 38: poni quindi, come indicato dalla seconda regola detta sopra, che quell'albero sia di 12; prendine

3, cioè 7, e sommalo al 12, farà 19: volendo che questo 19 sia 38, dirai: per il 12 che pongo come lunghezza dell'albero, mi viene in totale 19; cosa devo porre perché mi venga in questo totale il 38: moltiplica così 12 per 38, cioè il primo numero per l'ultimo, e dividi per 19, cioè per il secondo: ma prima dividi il 38 per 19, fa 2: moltiplicalo per 12, fa 24 per la lunghezza di quell'albero. Per esempio:

3 di 24 fa 14; che sommato con 24 fa 38; e questo vogliamo dimostrare. Questo si può dire anche così: c'è un numero, che se gli sommi i suoi

3, fa 38.

Di un albero o un numero, che sale a 51 se gli si somma il resto di

3 di se stesso.

pg.175

(XII.3.5 ; G: XII.68) E ancora c'è un albero, se dopo averno sottratto

3, il resto si somma [ alla lunghezza ] dell'albero stesso, si ottiene 51: si chiede la lunghezza di quell'albero: perciò, chiedendone la lunghezza. Sia posto che essa sia 12; si sottraggano da questo

3, cioè 7, resta 5 che sommato con 12, fa 17; volendo invece che sia 51, dirai: se pongo 12, fa 17; cosa devo porre perché faccia 51: moltiplica 12 per 51, e dividi per 17; o dividi 51 per 17, fa 3; moltiplicalo per 12, fa come lunghezza dell'albero 36. Per esempio: da 36 sottratti

3, che è 21, resta 15 che, sommato con 36 fa 51 come era chiesto. Questo infatti si può dire anche così: c'è un numero che sale a 51 se ad esso sommi il resto del [ suo ]

Dell'albero o numero i cui

4 sono 33 più dell'albero o del numero.

(XII.3.6 ; G: XII.69) A

ncora c'è un albero, di cui, dopo averne presi

4, sottraendone la lunghezza, resterà 33: si chiede di nuovo quale sia la lunghezza di quest'albero: poni dunque che essa sia 20; perché nel 20 si trovano

4: prendi i

4 di questo 20, fa 31; da questo sottrai il numero posto come lunghezza dell'albero, cioè 20, resta 11: volendo che invece resti 33, dirai: dal 20, che pongo come lunghezza dell'albero, viene 11; cosa devo porre affinché venga 33: moltiplica 20 per 33 e dividi per 11: o meglio dividi 33 per 11, fa 3; moltiplicalo per 20, fa 60; e tanti sono i palmi di lunghezza di quell'albero. Per esempio:

4 di 60 sono 45, e

di 60 sono 48; sommati insieme fanno 93; se da questo 93 sottrarrai la lunghezza dell'albero, cioè 60, resta 33, com'è stato chiesto. Infatti questo si può dire anche così: c'è un numero, che, se prendi i suoi

4, fa un numero che lo supera di 33; questo numero è come già detto 60. Ed esposte le regole sugli alberi, ora invece passiamo ad altre questioni simili.

Della ricerca di un numero,

3 del quale, sia la radice dello stesso numero.

(XII.3.7 ; G: XII.72) C'

è un numero, tale che se prendi i suoi

3; e se moltiplichi per se stesso il totale che ne viene, risulta lo stesso numero, cioè è la radice di quel numero: si chiede quale sia quel numero. Perciò poni di nuovo che sia 60; da cui prendi

3, che è 57; moltiplicalo per se stesso, fa 3249; volendo che faccia 60, dici: per 60, che pongo come numero, risulta 3249; cosa porrò perché risulti soltanto 60: moltiplica così 60 per 60, fa 3600; dividi per la regola di 3249 che è

, fa

1; e tale è quel numero. Per esempio: moltiplica l'1 per 19 e aggiungi il 2 che sta sopra il 19; moltiplicalo per l'altro 19, e aggiungi l'1, fa 400 trecentosessantunesimi, che è

1: per capire meglio si scrivano così:

400

361: da esso prendi i

3, che sono

380

361, cioè

19; moltiplicato per se stesso, fa lo stesso

400

361, cioè

1, come chiedevamo. Altrimenti poiché

3, cioè i

20 del numero, moltiplicato per se stesso, fa lo stesso numero, trova il numero che moltiplicato per

20 faccia 1: lo trovi dividendo 1 per

20, cioè dividendo 20 per 19, dalla cui divisione viene

19, che è la radice del numero cercato come dicemmo: questo, moltiplicato per se stesso, fa

400

361 come numero cercato: e lo dimostrerò anche con una figura geometrica.

20 x

= x

= x

pg.176

L'equazione
a x = √ x

(XII.3.8 ; G: XII.76) S

i tracci dunque una linea .a.b. per il numero richiesto, sulla quale si costruisca una superficie rettangolare .a.d., tracciando come larghezza una linea .a.t., che sia uguale a 1: perciò la superficie .a.d. è uguale al numero richiesto; .t.a. per .a.b. infatti è uguale ad .a.b., che è il numero richiesto; si prenda dal numero .a.b. il numero .a.e., che sia i

20 del numero .a.b. E poiché si suppone che .a.e. moltiplicato per se stesso venga il numero .a.b., è chiaro che il numero .a.e. è maggiore dell'unità, essendo il numero .a.b. maggiore del numero .a.e.: perciò .a.e. è maggiore dell'unità .a.t. Si costruisca sopra la retta .a.e. il tetragono .e.z. E poiché dai

20 del numero richiesto moltiplicato per se stesso risulta il numero richiesto, allora .a.e. moltiplicato per se stesso risulta uguale ad .a.d. Ma da .a.e. moltiplicato per se stesso, ne viene il tetragono .e.z.; dunque .e.z. è uguale al numero .a.d.: perciò anche il numero .e.z. è il numero richiesto. Ora si tolga il numero .a.I. che è in comune, resterà il numero .I.b. uguale al numero .t.k. Ma .b.I. viene da .e.I. moltiplicato per .I.d. ; perché la superficie .b.I. è un rettangolo; e da .t.I. moltiplicato per .I.k. viene la superficie del rettangolo .t.k.: allora i numeri .t.I. .I.d. .e.I. .I.k. sono proporzionali; ed .e.I. è uguale uno essendo uguale a .a.t.: e come il primo numero .t.I. sta al secondo .I.d. così il terzo .e.I. sta al quarto .I.k.: perciò come .t.I. sta a .t.d., cioè come .a.e. sta ad .a.b., così l'unità .e.I. al numero .e.k., che è uguale al numero .a.e. Ma .a.e. sta ad .a.b. come 19 sta a 20. Perciò .e.I. sta a .e.k. come 19 sta a 20: perciò si moltiplichi l'unità .e.I. per 20, e si divida il prodotto per 19; e farà

19 per il numero .e.k., cioè per il numero .e.a., come si doveva dimostrare.

ae =

ab, at = 1

Se ea

ab allora

eI×Id = tI×Ik

Id = eI

(tI

Id) = eI

(eI

Ik)

ab = eI

ek = 19

quindi

ea = ek =

Della ricerca di un numero la cui radice è quanto rimane di

3 di se stesso.

(XII.3.9 ; G: XII.80) C'

è un numero tale che se gli sottrai [ i suoi ]

3 e poi moltiplichi la differenza per se stessa hai lo stesso numero, cioè quanto rimane è la radice di quel numero. Si chiede quale sia questo numero: poni dunque che sia 60. Poiché nel 60 si trovano

3: prendi allora

3 di 60, cioè 20 e

4 di 60, cioè 15, e

5 di 60, cioè 12, e

6 di 60, cioè 10; e sommali insieme, fa 57, sottrailo da 60, resta 3; moltiplicalo per se stesso, fa 9; si vorrebbe che invece di 9 fosse 60. Perciò dirai: per il 60, che pongo, viene 9; che devo porre affinché venga 60: moltiplica dunque 60 per 60 e dividi per 9, fa 400: ma poiché la regola di 9 è

3 di

3, dividi uno di quei 60 per 3, fa 20, e dividi l'altro 60 per l'altro 3 che resta nella regola del 9, fa similmente 20: questi, moltiplicati fra loro, fanno ugualmente 400. E tale è il numero richiesto. Per esempio: sottrai

3 di 400, cioè 380, resta 20: se lo moltiplichi per se stesso, fa lo stesso 400, com'è necessario. Altrimenti poiché sottratti dal numero cercato i suoi

3, ne resta

20, che è la radice di questo numero, per questo

20 [ di quel numero ] moltiplicato per se stesso, risulta lo stesso numero. Perciò devi trovare il numero che, moltiplicato per

20 di un intero, venga 1: lo troverai se dividerai 1 per

20, dalla divisione risulta 20, che è la radice del numero predetto, e che moltiplicato per se stesso, da come risultato 400 per il numero richiesto: ciò è mostrato anche con la figura geometrica di cui si è scritto sopra.

√ x

La ricerca un altro numero, che se gli aggiungi i suoi

3, è la radice del numero.

(XII.3.10 ; G: XII.83) U

gualmente se si dice: c'è un numero tale che se sommi

3; e moltiplichi il totale raccolto per se stesso, fa lo stesso numero, cioè è la sua radice. Poni dunque che questo numero sia 60, aggiungici i suoi

3, cioè 57, fa 117, moltiplicalo per se stesso, fa 13689, e invece vorrebbero essere 60: perciò dirai: per il 60, che pongo come quantità del numero, viene 13689, cosa porrò affinché venga 60. Moltiplicherai 60 per 60, farà 3600; dividili per la regola di 13689, farà

400

1521, la cui radice, che troverai se avrai diviso 1 per

1: di lì verrà

39 come radice del numero richiesto, che moltiplicato per sé, darà

400

1521, come sopra.

x +

= x

Di un numero che, quando gli si somma il resto dai suoi

3, è uguale alla sua radice.

pg.177

(XII.3.11 ; G: XII.85) E ancora se si dice: c'è un numero tale che se si somma il resto dei suoi

3, e si moltiplica il risultato per se stesso, fa lo stesso numero, cioè è la sua radice: poni pertanto che esso sia 60, da cui sottrai i suoi

3, resta 3; sommalo a 60, fa 63; moltiplicalo per sé stesso, fa 3969, e invece si vorrebbe che fosse 60: perciò moltiplica 60 per 60, farà 3600; dividilo per 3969, fa

400

441, e tale è il numero cercato. O somma

20 a 1, cioè il resto di

3, fa

1; per il quale dividi 1, fa

21: è la radice del predetto numero; che moltiplicato per se stesso, dà come risultato per il numero richiesto:

400

441.

x +

= x

(XII.3.12 ; G: XII.87) E ancora c'è un numero che, se ne prenderai i [ suoi ]

3; e dalla quantità riunita sottrai lo stesso numero; e moltiplichi il resto per se stesso, fai sicuramente lo stesso numero, cioè quel resto risulta la radice del numero: poni che quel numero sia 60, del quale prendi i

3, che è 40, e i

4, che è 45, e i

5, che è 48, e i

6, che è 50, e sommali insieme, fa 183; da cui togli 60, resta 123; moltiplicalo per se stesso, farà 15129. Perciò dirai: se pongo 60, viene 15129, che cosa devo porre affinché venga 60. Moltiplica quindi 60 per 60 e dividi per la regola di 15129, farà

e tale è il numero cercato.

Come trovare gli anni di vita di un giovane.

(XII.3.13 ; G: XII.88) U

n giovane visse per una quantità di tempo tale che se avesse vissuto per quanto visse, e ancora per altrettanto tempo, e per

3 di quanto ha vissuto, e ancora per 1 anno, avrebbe vissuto per 100 anni. Si chiede quanto aveva vissuto. Di certo questo quesito è simile alla regola dell'albero, come a dire se sommi 2 volte la lunghezza dello stesso albero, e ancora [ il suo ]

3 e 1, fa 100: si fa così: sottrai 1 da 100, lo stesso 1 che hai aggiunto agli anni, resta 99: poi poni che il giovane abbia vissuto 12 anni; se avesse vissuto tanto quanto visse, e ancora tanto, e

3 di tanto, avrebbe 43 anni. Quindi dirai: per i 12 anni, che pongo che il giovane abbia vissuto, vengono in totale 43 anni: cosa devo porre perché risultino in totale 99 anni: moltiplica 12 per 99, farà 1188; dividilo per 43, farà

27 anni, e tanto visse quel giovane. È lo stesso se si divide 99 per

x +

12 x + 1 = 100

x =

3 +

Del leone in un pozzo.

(XII.3.14 ; G: XII.90) U

n leone è in un pozzo la cui profondità è di 50 palmi; ma sale ogni giorno

7 di un palmo, e scende di

9. Si chiede in quanti giorni il leone uscirà dal pozzo. Poni che esca dal pozzo in 63 giorni; perché nel 63 si ritrovano

7; e vedi quanto sale e scende quel leone, scendendo in i 63 giorni, sale infatti 63 settimi di un palmo, cioè 9 palmi; e ne scende 63 noni, cioè 7 palmi: sottraili dal 9, restano 2 palmi; e tanto sale in più di quanto scende in 63 giorni. Per cui dirai: se pongo 63 giorni, sale 2 palmi; cosa devo porre affinché salga 50 palmi: moltiplica 63 per 50, e dividi per 2, farà 1575 giorni; e in tanti giorni il leone uscirà dal pozzo.

7 -

= 50

Dei due serpenti

pg.178

(XII.3.15 ; G: XII.92) A

ncora: c'è un serpente alla base di una torre che è alta 100 palmi; e sale ogni giorno

3 di un palmo, e scende ogni giorno di

4. In cima alla torre c'è un altro serpente che scende ogni giorno di

5, e sale di

6. Si chiede in quanti giorni si incontreranno lungo la torre. Supponi che s'incontrino in 60 giorni, dal momento che nel 60 sono contenuti i fattori

3: vedi quindi quanto i serpenti si avvicinano fra loro in quei 60 giorni. In vero il serpente in basso in quei 60 giorni sale 5 palmi di più di quanti ne scende. Il serpente di sopra invece scende 2 palmi in più di quanti ne risale. Quindi si avvicinano di 7 palmi. Perciò bisogna dire: per i 60 giorni, che pongo, i serpenti si avvicinano di 7 palmi, cosa devo porre affinché si avvicinino di 100 palmi. Moltiplica 60 per 100, fa 6000, dividilo per 7, fa

857 giorni; e in tanto tempo si incontreranno. E se chiedi in quale parte della torre si congiungeranno, fai così: moltiplica 5, cioè la salita del serpente in basso, per 100, fa 500; dividilo per 7, farà

71 palmi; e tanto sale il serpente inferiore. E se moltiplichi la discesa del serpente superiore, cioè 2, per lo stesso 100, e dividi il totale per 7, farà

28 palmi per il luogo del loro incontro a partire dall'alto.

12 x = 100 -

30 x

Dei quattro pezzi di panno.

(XII.3.16 ; G: XII.95) U

n uomo compra 4 pezzi di panno per 80 bizanti: compra il primo a un certo prezzo; il secondo a

3 del prezzo di quello di prima, il terzo a

4 del prezzo del secondo, il quarto a

5 del prezzo del terzo. Si chiede quanto è costato ciascun pezzo. Poni che il primo costi 60 bizanti; perché nel 60 si ritrovano

3. Quindi se il primo vale 60; il secondo, valendo i suoi

3, vale 40 bizanti; il terzo vale 30 bizanti, cioè 3/4 del prezzo del secondo. Il quarto poi vale 24 bizanti, poiché è i

5 di 30. Poi somma 60, e 40, e 30, e 24 cioè i prezzi posti dei quattro panni detti sopra, fa 154; visto che si vorrebbe fosse 80, dici: per il 60, che pongo come prezzo del primo panno, fanno nel totale dell'acquisto dei quattro panni 154 bizanti, cosa devo porre perché io ottenga per lo stesso totale solo 80. Moltiplica 60 per 80, fa 4800; dividilo per la regola di 154, che è

, fa

31 bizanti. E tanto è costato il primo panno. Ugualmente per il prezzo del secondo, moltiplica 40 per 80, e dividi di nuovo per

, fa

20 come prezzo del secondo panno. Ugualmente per il prezzo del terzo, moltiplica 30 per 80, e dividi per

, fa come suo prezzo

15 bizanti; infine per il prezzo del quarto, moltiplica 24 per 80 e dividi per

, fa come suo prezzo

15. E sappi che in ciascuna delle quattro moltiplicazioni scritte sopra si può semplificare

x = 80

Altro procedimento sullo stesso argomento.

(XII.3.17 ; G: XII.98) A

ltrimenti per ricondurre questo problema alla regola utilizzata per le società, scrivi le frazioni in ordine così

1 e moltiplica l'1 per il 3; e per il 4; e per il 5, che sono sotto le linee di frazione, fa 60, serbalo. Ancora moltiplica il 2, che è sopra il 3, per 4, che è sotto il 3, fa 8; e per 5, fa 40, serbalo. Ancora moltiplica 2 che è sopra il 3 per 3 che è sopra il 4 fa 6 che moltiplichi per 5, fa 30, serbalo. Di nuovo moltiplica il 2 che è sopra il 3 per il 3, che è sopra il 4, fa 6: moltiplicalo per il 4, che è sopra il 5, fa 24: e somma così i quattro numeri serbati, cioè 60, e 40, e 30, e 24, fa 154. E trova la sua regola che è

; e moltiplica uno per uno ciascuno dei quattro numeri scritti prima [ per 80 ]; e dividi ciascuna moltiplicazione per

, e semplifica

2 cioè la metà di 154 e avrai il prezzo di ciascun panno.

Della terza parte di un numero dalla quarta parte di quel numero per la quinta.

(XII.3.18 ; G: XII.100) S

e si chieda di trovare la terza parte di un intero, che equivalga alla quarta parte per la quinta di un numero, supponi allora che quel numero sia 60 e di esso prendi

4, che è 15; da cui prendi

5, che è 3. Volendo invece che risulti soltanto

3, moltiplica 60 per

3, fa 20, dividilo per 3, fa

6 per quel numero. Altrimenti scrivi in ordine così

3; poi moltiplica 1, che è sopra il 3 per il 4; e per 5, fa 20; dividilo per la moltiplicazione dell'1, che è sopra il 5, per l'1 che è sopra il 4; e per 3, questa moltiplicazione fa 3, ugualmente risulta

3 =

Delle uova.

pg.179

(XII.3.19 ; G: XII.102) U

n uomo comprò [ delle uova a ] 7 uova per un denaro, e le rivendette a 5 uova per un denaro; e guadagnò 19 denari: si chiede quanto egli abbia investito nelle uova: poni che egli abbia investito 5 denari per i quali ebbe 35 uova, che vendette per 7 denari: quindi guadagnò 2 denari per quei 5 denari investiti: se invece di 2 denari si volesse fossero 19 denari. Moltiplica 19 per 5, e dividi per 2, fa

47 denari; e tanto investì quell'uomo. Il modo per trovare questa regola è questo. Sai che da 5 fino a 7, manca 2; per il quale dividi la moltiplicazione di 5 per 19, come dicemmo sopra.

x5 - x = 19

Delle stesse uova.

(XII.3.20 ; G: XII.103) U

gualmente se avesse detto, che comprò 7 uova per 2 denari, e vendette 19 uova per 6 denari guadagnando 21 denari; si chiede quanto investì: scrivi il problema così; e moltiplica 7 per 6, fa 42, ponilo sopra il 7; e moltiplica 19 per 2, fa 38, ponilo sopra il 19: dopo ciò sottrai 38 dal 42, resta 4; moltiplica 38 per 21, fa 789; dividilo per 4, fanno

199 denari; e tanto investì. E se si propone che investì

199 denari, e si chieda il suo profitto, moltiplicherai

199 per 4 e dividi per 38; e hai come profitto 21.

6 ×

7 ×

- x = 21

Dei rotoli secondo la regola delle uova.

(XII.3.21 ; G: XII.104) M

a se poi si propone che per

4 denari si comprano

11 Rotoli, e se ne rivendono

17 per

7 denari, guadagnando 27 denari: scrivi il problema come lo vedi sopra scritto in questa pagina; e moltiplica gli 11 Rotoli per l'8 della loro frazione e somma il 3, fa 91; e moltiplicalo per 2 e somma 1, fa 183, ponilo sopra

11. Ugualmente moltiplica i 4 denari per 2, e somma 1, fa 9; e moltiplicalo per il 7 dell'altra sua frazione, fa 63: a questo somma la moltiplicazione dell'1 che è sopra il 7 per 2, fa 65, ponilo sopra

4. Ancora moltiplica i 17 Rotoli per 5, aggiungi 1 e moltiplica per 9, aggiungici la moltiplicazione del 2 che sta sopra il 9 per il 5, fa 784, ponilo sopra

17. Ancora moltiplica i 7 denari per 10, e somma 7, fa 77, ponilo sopra

7: a questo punto moltiplica il numero posto sopra

17, cioè 784 per il numero posto sopra

4 cioè 65 fa 50960 che poni sopra 784. Poi moltiplica il numero posto sopra

11, cioè 183, per il numero posto sopra

7, cioè 77, fa 14091, ponilo sopra 183: poi bisognerebb3.21e moltiplicare 50960 per le parti minute che sono sotto le linee di frazione di 11 e di 7, cioè per 2, per 8 e per 10: e ancora bisognerebbe moltiplicare 14091 per le parti minute che sono sotto le linee di frazione del 17, e del 4, cioè per 5, per 9, per 2, e per 7; ma si moltiplica 50960 solo per 2, e per 8, cioè per 16, fa 815360 tralascia di moltiplicare per 10 perché ugualmente puoi tralasciare di moltiplicare 14091 per 5, e per 2, per i quali ci fu bisogno di moltiplicarlo, e moltiplica soltanto per 7 e per 9, cioè per 63, fa 887733; da questo sottrai 815360, resta 72373; impegnati a trovarne la regola, che è

211

; per la quale dividi la moltiplicazione di 815360 per 27, cioè per il profitto; questa moltiplicazione fa 22014720, saranno

211

304, e tanto ha investito in quei Rotoli.

183

784

- x = 27

(XII.3.22 ; G: XII.108) A

ltrimenti dividi

11 per

4, fa

2. Ugualmente dividi

17 per

7, fa

2; sottrailo da

2 e dividi la moltiplicazione di

2 per 27 per ciò che resta e avrai il numero cercato.

Del cane e della volpe.

pg.180

(XII.3.23 ; G: XII.109) U

gualmente se si chiede di una volpe che è 50 passi davanti al cane che la insegue: per ogni 9 passi della volpe che fugge ci sono 6 passi del cane che insegue; si chiede in quanto tempo sarà raggiunta. Ebbene questo problema si serve della stessa regola delle uova: cioè se sottrai 6 da 9, resta 3; dividi per 3 la moltiplicazione di 6 per 50, fanno 100 passi; e in altrettanti passi il cane sarà con la volpe nello stesso punto. Se invece si ignora la loro distanza ma si sa che il cane raggiunge la volpe in 100 passi, moltiplica il 3 per il 100 e dividi per il suddetto 6.

6 - x = 50

Di quello che mandò il figlio ad Alessandria.

(XII.3.24 ; G: XII.110) U

n uomo mandò suo figlio ad Alessandria e gli dette 100 bizanti, raccomandando che comprasse con essi pepe e della brasilina

^(PdA)

Il sostantivo indeclinabile berzi è un prestito dall’arabo warsī, usato per indicare la brasilina (brazilin), una tintura rossa assai diffusa nel Medioevo, ricavata dal legno di una pianta indiana (la caesalpinia sappan). [PdA,pag.4]

. Un cantaro di pepe costa 50 bizanti e un cantaro di brasilina costa 30 bizanti; e il peso del pepe è

7 del peso della brasilina. Si chiede quanto ha comprato di pepe e quanto di brasilina. Poni che quello compri 63 cantari di brasilina; perché nel 63 si trovano

7, e vedi quanto valgono quei 63 cantari: valgono dunque 1890 bizanti: fatto ciò prendi i

7 di 63 che è 41; e poni che abbia comprato altrettanti cantari quanti ne avrebbe comprato di pepe, che valgono 2050 bizanti; a questi somma i 1890 bizanti, sono 3940 bizanti. Perciò dirai: per 63 cantari, che ho posto come quantità di brasilina da comprare, vengono in totale 3940 bizanti; cosa devo porre perché risultino in totale 100 bizanti: moltiplica 63 per 100, e dividi per 3940, la cui regola è

197

: ma la moltiplicazione dei 63 cantari per 100 fa 6300, cantari che sono 630000 Rotoli; dividi questi per

197

, fanno

177

197

159 Rotoli; e tanti Rotoli comprò di brasilina. Ugualmente moltiplica 41 cantari per 100, fanno 410000 Rotoli; dividili per

197

, fanno

197

104; e tanto comprò di pepe. Se vuoi sapere quanti bizanti valga il pepe e quanti la brasilina: moltiplica 2050 per 100, e dividi per

197

, e hai come prezzo del pepe

197

52 bizanti. Ugualmente moltiplica 1890 per 100 e dividi per

197

, fa come prezzo della rasilina

191

197

47.

x + 30

y = 100

y =

(XII.3.25 ; G: XII.114) E se il padre di cui sopra raccomandasse al figlio, di fare in modo che

7 della quantità di pepe fossero uguali a

9 della quantità di brasilina, trova prima due numeri, dei quali i

7 dell'uno siano i

9 dell'altro, sono 14 e 27. Infatti

7 di 14 fa quanto

9 di 27. Perciò poni che compri 14 cantari di pepe, e 27 cantari di brasilina; e opera come abbiamo fatto più sopra, e troverai la quantità di entrambe le merci.

x =

(XII.3.26 ; G: XII.115) U

gualmente se

3 del peso di pepe è uguale a

4 del peso della brasilina, trova due numeri tali che

3 di uno siano

4 dell'altro, sono 27 e 35. Infatti

3 di 27 è uguale a

4 e

5 di 35: perciò poni che il figlio compri 27 cantari di pepe, e 35 cantari di rasilina, e opera nel modo scritto sopra.

4 +

y =

4 +

proporzioni.py

pg.181

(XII.3.27 ; G: XII.116) D

i nuovo si suppone che egli abbia comprato con i 100 bizanti di cui sopra del pepe in ragione di 50 bizanti; lacca

^(PdA)

Tutto induce a credere [la merce è comprata ad Alessandria] che la quarta merce acquistata insieme al berzi, al piper e al linum, non sia il latte (lac, lactis), ma la lacca, come del resto lasciano intendere il genitivo lacce (che ricorre anche più avanti) e l’ablativo lacca. Resta da stabilire se siamo in presenza di un sostantivo a declinazione mista (nom. e acc. lac, gen. lacce, abl. lacca) o se piuttosto nell’enunciato del problema non si debba correggere lac‹cam›.

per 40 bizanti, brasilina per 30 bizanti e lino per 20 bizanti. E si suppone che

3 del peso di pepe sia

5 del peso della lacca. E

7 del peso della brasilina, [ sia ]

9 del peso del lino. Bisogna trovare dapprima quattro numeri dei quali i

3 del primo siano

5 del secondo e

7 del terzo [ siano ]

9 del quarto; e hai come primo numero 36, come secondo 30, come terzo 28 e come quarto 27: perciò poni che compri 36 cantari di pepe, che costano 1800 bizanti, 30 cantari di lacca che valgono 1200 bizanti, 28 cantari di brasilina che valgono 840 bizanti e 27 cantari di lino che valgono 540 bizanti: sommati insieme i bizanti delle quattro merci, fanno 4380 bizanti, che si vorrebbe fossero 100 bizanti: perciò moltiplica per 100 bizanti uno ad uno i 36 cantari di pepe, cioè 3600 Rotoli, i 30 cantari di lacca, cioè 3000 Rotoli, i 28 cantari di brasilina, cioè 2800 Rotoli e i 27 cantari di lino, cioè 2700 Rotoli e dividi il totale di ciascuna moltiplicazione per la regola di 4380 che è

e avrai per il peso di pepe

82 Rotoli, per il peso della lacca

68 Rotoli, per il peso di brasilina

63 e come peso di lino

61; e così potremo proporre vari problemi dello stesso tipo che si risolvono nel modo scritto sopra.

x + 40

y + 30

z + 20

w = 100

x =

y =

z =

Della divisione del 10 in tre parti disuguali secondo una proporzione continua.

(XII.3.28 ; G: XII.119) S

e si propone di dividere il 10 in tre parti disuguali tali che la minore moltiplicata per la maggiore faccia quanto la seconda moltiplicata per se stessa; farai così: poni che la prima parte sia un qualche numero, per esempio 1; poi poni che la seconda parte sia un altro numero, diciamo 2; moltiplicalo per se stesso, fa 4; dividilo per 1, fa 4. Adesso hai tre numeri, cioè 1, 2, e 4; di questi il primo moltiplicato per il terzo, cioè 1 per 4, fa tanto quanto il secondo per se stesso, cioè 2 per 2. Dunque somma 1, 2, e 4, fa 7; volendo che sia 10, dirai: per l'1 che pongo come prima di quelle tre parti, la loro somma fa 7, cosa devo porre per quella affinché la somma faccia 10? E così moltiplica l'1 per 10; dividilo per 7, fa come quantità della prima parte

1; moltiplica nello stesso modo la seconda parte, cioè 2 per 10, fa 20 dividilo ancora per 7, fa

2; e tanto è la seconda parte. Ancora moltiplica il 4, che è la terza parte, per 10, fa 40; dividilo per 7, fa come terza parte

5. E così la moltiplicazione di

1 per

5 fa quanto la moltiplicazione di

2 per se stesso; e

1 e

2 e

5 sommati insieme, fanno 10, come si chiedeva. Dunque si può dividere il 10, secondo le condizioni scritte prima, in tre parti innumerevoli e diverse: perché se all'inizio si pongono altri numeri in proporzione continua, diversi da 1, e 2, e 4, il 10 sarebbe diviso in altre parti; delle quali la prima, moltiplicata per la terza, farà sempre quanto la seconda moltiplicata per se stessa.

x + y + z = 10

x : y = y : z

t, y

t, z

Dello stesso in quattro parti.

(XII.3.29 ; G: XII.122) U

gualmente se vuoi dividere il 10 in quattro parti, in modo che la prima moltiplicata per la quarta faccia quanto la seconda per la terza, e la prima per la terza faccia quanto la seconda per se stessa, e la seconda moltiplicata per la quarta faccia quanto la terza per se stessa. Possiamo infatti trovare questa divisione in infinite e varie parti. Perciò mostriamo un solo esempio per molti: poni che la prima parte sia uno, la seconda due volte tanto, cioè 2, la terza due volte la seconda, cioè 4, la quarta due volte la terza, cioè 8: questi quattro numeri sono in proporzione continua. Riunite queste quattro parti, cioè 1, 2, 4, e 8, fanno 15, e invece si vorrebbe facessero 10. Allora dirai: per l'1, che pongo come prima parte, si ottiene 15 come totale delle quattro parti, cosa devo porre per quella parte affinché la somma faccia 10? Moltiplica dunque uno per 10, e dividi per 15, fa

3 di uno intero come prima parte. Ugualmente moltiplica uno ad uno 2, 4, e 8 per 10 e dividili singolarmente per 15, e hai come seconda parte

1, come terza

2, e come quarta

5: oppure ottenuta la prima parte, puoi duplicarla e hai la seconda; duplicarla e hai la terza; duplicarla e hai la quarta. O poiché 10 è

3 di 15, prendi i

3 dei quattro numeri scritti prima e avrai i numeri cercati.

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 10

x₁

x₂

x₃

x₄

Della stessa, in cinque parti.

pg.182

(XII.3.30 ; G: XII.125) I

n questo caso vuoi dividere il 10 in più di quattro parti, per esempio in cinque, secondo una proporzione continua; cioè la prima moltiplicata per la quinta, faccia quanto la seconda per la quarta, e quanto la terza per se stessa; e ancora la prima per la quarta farà quanto la seconda per la terza; e ancora la prima per la terza quanto la seconda per se stessa; e ancora la seconda per la quinta quanto la terza per la quarta, e infine la terza per la quinta quanto la quarta per se stessa. E poni così, come hai fatto prima, 1 come prima parte; come seconda 2; come terza 4; 8 come quarta; 16 come quinta: somma quindi 1, 2, 4, 8, e, 16, fa 31; volendo invece sia 10, moltiplicherai 1 per 10, e dividi per 31, fa

31 come quantità della prima parte: poi moltiplica 2 per 10, e dividi per 31, fa

31 come seconda parte; e così fai per le tre parti rimanenti: per la terza

31, cioè

1, per la quarta

31, cioè

2; e per la quinta

160

31, cioè

5; questi numeri, sommati insieme, fanno 10, come era chiesto.

Di un leone, un leopardo e un orso.

(XII.3.31 ; G: XII.127) U

n leone mangiava una pecora in 4 ore; un leopardo in 5 ore, e un orso in 6 ore: si chiede, se fra loro fosse stata gettata una pecora, in quante ore l'avrebbero divorata. Fai così: per le quattro ore nelle quali il leone mangia la pecora, poni

4; e per le 5 ore del leopardo poni

5, e per le 6 ore dell'orso poni

6: e poiché

4 si trovano nel 60, poni che divorerebbero quella pecora in 60 ore. E ragiona così [ chiedendoti ], quante pecore il leone mangerebbe in quelle 60 ore: poiché in 4 ore ne divora una, è chiaro che ne divorerebbe 15 in 60 ore; e il leopardo divorerebbe 12 perché 12 è un quinto di 60. Similmente l'orso ne divorerebbe 10 poiché 10 è

6 di 60. Quindi in 60 ore essi mangerebbero 15, 12 e 10 pecore, cioè 37. Perciò dirai, in 60 ore, che pongo, essi mangiano 37 pecore; quanto devo porre perché essi mangino solo una pecora? Moltiplica così 1 per 60, e dividi per 37, fa

1 ora. E in tanto tempo essi divorarono questa pecora.

Delle due formiche della quali una segue l'altra.

(XII.3.32 ; G: XII.129) D

ue formiche erano distanti 100 passi su un piano e andavano verso uno stesso luogo: la prima faceva ogni giorno

3 passi, ma tornava indietro di

4; l'altra ne faceva

5 e tornava indietro di

6: si chiede in quanti giorni si trovarono allo stesso punto: poni 60 giorni, in cui la prima fa 60 terzi di un passo, cioè 20 passi; e torna indietro di 15 passi, cioè

4 di 60; e così in 60 giorni essa fa 5 passi in più del suo tornare indietro; e l'altra, negli stessi 60 giorni, fa

5 di 60, cioè 12 passi, e torna indietro di

6, cioè di 10 passi; e così fa 2 passi più de suo tornare indietro: sottratti questi dai 5 passi, restano 3 passi; e di tanto le formiche si avvicinano in 60 giorni: volendo che siano 100, moltiplica

3 di 60 per 100; e hai 2000 giorni per il loro incontro.

Due navi che si devono congiungere tra loro.

(XII.3.33 ; G: XII.131) D

ue navi distano tra loro di un certo spazio, la prima nave compie questo percorso in 5 giorni; l'altra in 7 giorni: si chiede, se cominciassero il cammino alla stessa ora, in quanti giorni esse si incontrerebbero. Moltiplica 5 per 7, fa 35; e poni, [ per incontrarsi ], tanti giorni; in essi la prima nave fa il suo percorso sette volte, l'altra invece 5 volte: perciò somma 7 con 5, fa 12; e poiché entrambe le navi devono compiere solo una volta quel cammino, moltiplica 1 per 35, e dividi per 12, fa

2; e in altrettanti giorni saranno ricongiunte. E se vuoi sapere in quale parte, dividi 7, e 5 per 12, fa

12 di tutto il percorso dalla parte della prima nave e

12 dalla parte della seconda. E se si suppone che la prima nave avanza sette volte verso il luogo dell'altra nave e l'altra torni indietro 5 volte in un giorno, dividi 1 per 12, fa 1 ora per la loro unione, che avverrà nella parte predetta.

Di una caraffa che ha quattro fori sul fondo.

pg.183

(XII.3.34 ; G: XII.133) C'

è una caraffa che ha quattro fori, dal primo si svuota in 1 giorno; dal secondo in 2 giorni, dal terzo in 3 giorni, dal quarto in 4 giorni; si chiede in quante ore si svuota, se i quattro fori vengono aperti insieme: poni 12 giorni per il suo svuotamento. In questi giorni la caraffa si svuoterebbe 12 volte dal primo foro, essendo 12 giorni il duodecuplo di 1 giorno: similmente in quei 12 giorni la caraffa si svuoterebbe dal secondo foro sei volte; dal terzo 4 volte; dal quarto 3 volte; e così in 12 giorni la caraffa si svuoterebbe 25 volte; come a dire che in 12 giorni si svuotano 25 caraffe, e si chiede in quanto tempo si svuota una caraffa. Moltiplica quindi gli estremi, cioè 12 per 1, e dividi per il medio, fa

25 di un giorno: se vuoi esprimerlo in ore, moltiplica il 12 che sta sopra la linea di frazione, per le ore di un giorno, cioè per 12, fa 144; dividi per 25, servono

5 ore per lo svuotamento della caraffa.

Della stessa caraffa sopra la quale ci sono 4 canali.

(XII.3.35 ; G: XII.135) E si supponga che sopra la stessa caraffa ci siano 4 canali che versano acqua, con il primo dei quali la caraffa si riempie in 6 ore; con il secondo in 9 ore; con il terzo in 24; con il quarto in 27; e si chiede, posto che la caraffa sia vuota, che l'acqua scorra nei canali simultaneamente e i fori siano aperti, in quante ore si riempirà la caraffa: poni che si riempia negli stessi 12 giorni, in cui dai fori si svuotano 25 caraffe: poi conta le ore di questi 12 giorni, sono 144, dividile per le ore del primo canale, cioè per 6, fa 24; e tante caraffe si riempiono con il primo canale: perché quanto le 144 ore sono multiple di 6 ore, tanto le 24 caraffe sono multiple di 1 caraffa: nello stesso modo dividi le 144 ore per le ore dei canali rimanenti, cioè per 9, per 24, e per 27, fanno 16 caraffe, 6, e

5: sommati questi con le 24 caraffe del primo canale, fanno

51 caraffe e tante sono le caraffe riempite da questi quattro canali nei 12 giorni posti: tolte da queste le 25 caraffe che si vuotano per i fori, restano

26 caraffe, che si vuole fosse 1 caraffa. Moltiplica perciò i 12 [ giorni ] per le di ogni giorno, cioè 144, per 1; e dividi per il secondo numero, cioè per

26, fanno

5 ore, e in tanto tempo si riempirà quella caraffa.

Di una botte che ha quattro fori uno sopra l'altro.

pg.184

(XII.3.36 ; G: XII.137) U

gualmente: una botte

^(PdA)

Tra i neologismi si annoverano anche i nomi di alcuni contenitori: buttis o buctis è attestato per la prima volta in un papiro dell’anno 564 (Pap. Marini 80). [PdA,pag.8]

ha 4 fori fatti uno sopra all'altro alla distanza corrispondente a un quarto del contenuto della botte stessa; aprendo il primo foro, quello più in alto, si svuota la quarta parte della botte in un giorno; una volta svuotata questa parte, se apri il secondo, la botte si svuota dal primo al secondo, cioè un altro quarto in due giorni. E ancora, svuotati due quarti, se apri il terzo, si svuota un altro quarto della botte, dal secondo foro al terzo, in tre giorni. Di nuovo se apri il quarto foro si svuota un altro quarto della botte in 4 giorni. Si chiede in quanto tempo si svuota tutta la botte se tutti i quattro fori della botte vengono aperti insieme. Poiché si suppone che mentre si svuota uno di essi nessun vaso possa interferire con gli altri, dobbiamo calcolare singolarmente lo svuotamento di ciascun foro. Dapprima supponiamo che la botte contenga barili a piacere, diciamo 48, la quarta parte di questi, che è 12, corrisponde al contenuto di ciascun foro: poi passiamo allo svuotamento del primo, cioè del foro superiore: poniamo che tra quei quattro fori la botte si svuoti fino al foro superiore in un giorno cioè in 12 ore: quindi si veda quanti barili si sarebbero svuotati in quelle 12 ore per ciascun foro: dal primo si svuotano effettivamente 12 barili in quelle 12 ore. Perché è stato messo come posizione che da esso si svuota un quarto di tutta la botte in un giorno solo. E visto che dal secondo foro si svuota un'altra quarta parte in due giorni, in 12 ore se ne svuotano 6 barili: nello stesso modo dal terzo foro si svuotano 4 barili nelle stesse 12 ore. E dal quarto si svuotano 3 barili. Sommati dunque 12, 6, 4, e 3 barili fanno 25, e tanti sono i barili svuotati dai 4 fori in 12 ore. Perciò moltiplica 12 per 12; fa 144, dividilo per 25, farà

5 ore; e in altrettante ore si svuoterà la botte fino al foro più in alto. Ora si vada allo svuotamento del secondo quarto: e poni ancora che quello si svuoti similmente in altre 12 ore. In queste, come abbiamo detto prima, si svuotano 6 barili dal secondo foro, dal terzo 4 barili; e dal quarto 3 barili. Perciò, da questi tre fori si svuotano 13 barili; moltiplica 12 per 12 e dividerai per 13, faranno

11 ore come svuotamento di quella seconda parte: poi poni che il terzo quarto si svuoti ancora in 12 ore, nelle quali si svuotano 4 barili dal terzo foro; e dal quarto 3, cioè da entrambi [ i fori ] si svuotano 7 barili. Perciò moltiplica ancora 12 per 12, e dividi per 7, farà

20 ore per lo svuotamento del terzo quarto. Dal quarto foro si svuota la quarta parte rimanente in quattro giorni. Perciò somma i 4 giorni, le

5 ore,

11 ore e

20 ore, fanno 7 giorni e

1 ora; e in tanto tempo si svuota quella botte.

Altro della botte.

(XII.3.37 ; G: XII.144) E se invece si dice che tutta la botte si svuota nei giorni indicati prima, da ciascun foro fino al proprio livello; supponi ancora che la botte contenga 48 barili, poi vedi in quanto tempo si svuota la botte fino al primo foro. Aperti ovviamente tutti i fori. Poni quindi che si svuoti in 12 ore, in cui dal il primo [ foro ] si svuotano 12 barili, dal secondo se ne svuotano altrettanti in 12 ore, poiché in due giorni si svuotano 24 barili: anche dal terzo nelle 12 ore poste si svuotano altri 12 barili; poiché in tre giorni da esso se ne svuotano 36 : anche dal quarto in quelle 12 ore si svuotano altri 12 barili, che sommati con i barili svuotati degli altri tre fori, fanno 48, che si vuole che siano 12. Quindi moltiplica 12 per 12, e dividi per 48, fanno 3 ore; e in questo tempo si svuota fino al primo foro. Ugualmente se poni altre 12 ore per lo svuotamento del secondo quarto, trovi che dagli altri tre fori si svuotano 36 barili: perciò moltiplica 12 per 12, e dividi per 36, fanno 4 ore; per il tempo in cui si svuota il secondo quarto. Ugualmente avendo posto 12 ore per lo svuotamento del terzo quarto, in cui da entrambi i fori si svuotano 24 barili, moltiplica 12 per 12 e dividi per 24, fanno 6 ore per lo svuotamento del terzo quarto. Del quarto foro non c'è nulla da dire; poiché è chiaro che da esso in 12 ore si svuota tutto il resto, cioè 12 barili. Perciò somma le ore di svuotamento dei detti quattro quarti, cioè 3, e 4, e 6, e 12, fanno 25 ore; e in tante ore si svuota quella botte

Ancora sulla botte.

pg.185

(XII.3.38 ; G: XII.148) E si dice che dalla sommità della botte fino al foro superiore c'è

3 di tutto il contenuto della botte; da questo foro fino al secondo ce n'è

4; e da questo fino al terzo ce n'è

5 e da questo fino al foro inferiore c'è il resto del contenuto della botte; e la botte si svuota attraverso il foro superiore [ dalla cima ] fino ad esso in 1 giorno; attraverso il secondo da quello superiore fino ad esso in 2 giorni; attraverso il terzo dal secondo fino ad esso in 3 e attraverso il foro inferiore la botte si svuota dal terzo foro fino ad esso in 4 giorni. Supponi che la botte contenga 60 barili; allora fino al foro superiore ci sono 20 barili, cioè un terzo di 60. E tra il secondo foro e il superiore ci sono 15 barili, cioè un quarto di 60. E tra il terzo fino al secondo ci sono 12 barili, cioè un quinto di 60. Questi 12 e 15, e 20 barili, sommati insieme, danno 47 barili come contenuto della botte fino al terzo foro: da questi 47 fino al 60 ci sono 13 barili tra il foro inferiore e il terzo. Quindi poni 1 giorno per lo svuotamento della botte fino al foro superiore, in cui si svuotano dal primo foro 20 barili; dal secondo

7, cioè

2 di 15; dal terzo 4, cioè un terzo di 12; dal quarto

3, cioè un quarto di 13: dunque dai quattro fori si svuotano in 1 giorno 20 barili, e

7, e 4, e

3, cioè in totale

34 barili, che si vorrebbe fossero 20, cioè il contenuto del foro superiore: perciò moltiplica 1 giorno per i 20 barili, e dividi per

34, fa

139 di un giorno per lo svuotamento dal foro superiore. Ugualmente poni 1 giorno per lo svuotamento dei 15 barili del secondo foro, in cui dal secondo foro si svuotano, come abbiamo detto

7 barili; dal terzo 4; da quello più in basso

3, cioè, in totale,

14, che si vorrebbe fossero 15: per questo moltiplica 1 per 15, e dividi per

14, fa

1 giorno per lo svuotamento di 15 barili. E ancora poni 1 giorno per lo svuotamento dei 12 barili dal terzo foro, giorno in cui da questo foro si svuotano 4 barili; da quello più in basso

3, cioè da entrambi

7, che si vorrebbe fossero 12: perciò moltiplica 1 per 12, e dividi per

7, fa

1 per lo svuotamento dal terzo foro. Dal foro inferiore infine, si svuota il resto in 4 giorni, come è posto. Perciò somma i 4 giorni, e

1, e

139, e hai 7 giorni, e

135

139

2 ore per lo svuotamento di tutta la botte.

Un altro modo per la botte.

(XII.3.39 ; G: XII.153) E se si dice di voler svuotare tutta la botte attraverso ciascun foro fino al proprio livello, negli stessi giorni posti prima, parti dalla stessa supposizione che la botte contenga 60 barili; e che attraverso il primo foro si svuotano 20 barili in un giorno, attraverso il secondo 20 e 15, cioè 35 barili, in due giorni; attraverso il terzo 20, e 15, e 12, cioè 47 barili in 3 giorni; attraverso quello più in basso si svuotano 60 barili, cioè tutta la botte in 4 giorni. Perciò poni per lo svuotamento dei 20 barili dal foro superiore 1 giorno, in cui si svuotano dal primo foro 20 barili, dal secondo

17, cioè la metà di 35, dal terzo

15, cioè

3 di 47, da quello più in basso 15, cioè la quarta parte di 60; e così sono in totale

68 barili, che si vorrebbe fossero 20: perciò moltiplica 1 per 20, e dividi per

68, fa

120

409 di un giorno. Ugualmente per lo svuotamento dei 15 barili dal secondo foro, poni 1 giorno, nel quale dal secondo foro si svuotano

17 barili; dal terzo

15; dal quarto 15, cioè in totale

48 barili, che si vorrebbe fossero 15: perciò moltiplica 1 per 15, e dividi per

48, fa

289 di un giorno. Ancora, per lo svuotamento dei 12 barili dal terzo foro, poni 1 giorno, in cui da esso si svuotano

15 barili; dall'ultimo, 15, cioè da entrambi

30, che si vorrebbe fossero 12: per questo moltiplica 1 per 12, e dividi per

30, fa

23 di un giorno. Ugualmente poni per lo svuotamento dei 13 barili del foro inferiore 1 giorno, nel quale si svuotano 15 barili, che si vorrebbe fossero 13: perciò moltiplica 1 per 13 e dividi per 15, fa

15 di un giorno, che sommato con

23 e con

120

409 dà come risultato 1 giorno e

144

409

10 ore per lo svuotamento di tutta la botte.

pg.186

(XII.3.40 ; G: XII.156) A

ncora c'è una botte che ha in basso 10 fori, e dal primo si svuota in 1 giorno; dal secondo in

2 di un giorno. Dal terzo in

3; dal quarto in

4, e così via in ordine, fino a che dal decimo foro la botte si svuota in

10 di un giorno. Si chiede: se i fori fossero aperti insieme, in quanta parte del giorno si svuota tutta la botte. Poni lo svuotamento della botte in un solo giorno, in cui dal primo foro la botte si svuoterebbe una volta; dal secondo due volte, perché si svuota in mezza giornata; e dal terzo si svuoterebbe tre volte; dal quarto quattro; dal quinto cinque, come a dire che si svuoterebbero 5 botti; dal sesto foro si svuoterebbero 6 botti; dal settimo 7; dall'ottavo 8; dal nono 9; dal decimo 10: quindi in 1 giorno, da tutti i fori si svuoterebbero tante botti, quante ce ne sono nella somma di tutti i numeri da 1 a 10, cioè 55: perciò dirai: per 1 giorno, che pongo, si svuotano 55 botti, cosa dovrò porre perché si svuoti una botte: moltiplica 1 per 1, e dividi per 55, fa

55 di un giorno per lo svuotamento di tutta la botte.

Di quattro uomini che affittano una nave.

(XII.3.41 ; G: XII.158s) Q

uattro uomini noleggiarono

^(PdA)

Per trasferirsi con le merci da una località all’altra i mercatores si servono spesso di navi prese ad naulum e pagano perciò a un nauclerius (il dominus navi) il corrispettivo per il viaggio e il trasporto del carico: dal sostantivo naulum (cf. it. nolo), attestato nel latino classico (per es. Iuv. 8.97) e a sua volta prestito dal greco ναῦλον — nàulon (ναῦς — nàus, navis), con l’aggiunta del suffisso denominale volgare -idiare (cf. gr. -ίζειν — -ìzein), viene coniato il verbo naulegiare (cf. it. noleggiare). [PdA,pag.7]

una nave per caricarla di frumento, e ciascuno di loro ne caricò un quarto: il primo avrebbe dato al padrone della nave per il nolo

3 del suo frumento; il secondo

4, il terzo

5, il quarto

6. Il padrone della nave ebbe da essi per il loro noleggio 1000 moggi: si chiede la quantità di tutto il carico della nave. Poni che il carico di un quarto della nave, cioè la parte di ciascuno, sia 60 moggi, per cui il carico di tutta la nave sarebbe di 240 moggi. E poiché il primo dette

3 del suo carico, il secondo

4, il terzo

5, il quarto

6, prendi

3 di 60, sono 57 moggi, che si vorrebbe fossero 1000. Perciò dirai: per 240 moggi che pongo come carico di tutta la nave, vanno al padrone della nave 57 moggi, cosa devo porre perché egli abbia 1000 moggi: moltiplica 240 per 1000, e dividi per 57, faranno

4210 moggi come carico di tutta la nave.

Dello stesso.

(XII.3.42 ; G: XII.160) E se si suppone che, dato il nolo al proprietario della nave, gli rimangano 1000 moggi. Sottrai 57 dal 240, gli restano 183 moggi, che si vorrebbe fossero 1000: moltiplica 240 per 1000, e dividi per 183, faranno

1311 moggi come carico di tutta la nave.

Di un uomo assunto a contratto

(XII.3.43 ; G: XII.161) U

n tizio assume a contratto un uomo. Gli avrebbe dato ogni mese tre somme di denaro: la seconda sarebbe stata di 2 denari maggiore della prima; e la terza di 2 denari maggiore della seconda, cioè di 4 denari maggiore della prima. E in più gli avrebbe dato 10 denari. Accadde però, che egli lavorò solo 6 giorni, per i quali il padrone del cantiere gli dette la metà della prima somma, un terzo della seconda e un quarto della terza somma; e fu saldato secondo ciò che gli spettava per quanto aveva lavorato. Si chiede quali furono quelle somme. Poiché i 6 giorni in cui aveva lavorato sono un quinto del mese; gli spettavano rispetto ai 30 giorni, per il suo lavoro,

5 di tutte e tre le somme suddette; e anche dei 10 denari, per i quali il signore gli dette la metà della prima somma, un terzo della seconda e un quarto della terza. E' chiaro che, se dalla seconda somma si sottrae 2, e dalla terza 4, entrambe le somme sono uguali alla prima. Per cui, una volta sottratto il 2 dalla seconda, il 4 dalla terza; se prendiamo la metà della prima, un terzo della seconda, e un quarto della terza; prendiamo solo

della prima somma: quindi dobbiamo prendere anche

3 dei 2 denari con cui la seconda somma supera la prima e

4 dei 4 con cui la terza supera la prima: cioè

1. Insomma il padrone ha dato a quell'uomo

della prima somma, e inoltre

1 denaro.

pg.187

(XII.3.44 ; G: XII.163) E

d è stato come se gli avesse dato

5 di tutte e tre le somme e dei 10 [ denari ]: infatti sottratto di nuovo 2 dalla seconda somma e 4 dalla terza, e preso

5 della prima somma, della seconda e della terza, è come se avessimo preso solo i

5 della prima somma: quindi resta da prendere

5 dei 2 denari che, come scritto sopra, che furono sottratti al secondo numero; dei 4 che furono sottratti dal terzo; e dei 10, cioè in tutto di 16, farà

3; quindi l'operaio avrebbe preso

5 della prima somma e in più

3 denari; per i quali ebbe

2 di quella prima somma, e in più

1 denaro: allora sottrai

1 da

3, resta

1: quindi

2 di quella prima somma corrisponde a

1 più dei

5 della stessa somma. Perciò si deve trovare quella quantità da cui, sottratti i suoi

5 dai suoi

2 , resti

1. Poni che quella quantità sia 60, da cui presi i

5, cioè 36; e sottratti da

2 di 60, cioè da 65, resta 29, che si vorrebbe fosse

1: moltiplica così 60 per

1, fa 92, dividilo per 29, fa

3 come prima somma: sommato a questa 2, hai

5 come seconda somma, a cui sommato di nuovo il 2, hai

7 come terzo numero.

x +

3 =

x +

Del numero a cui si somma

3 e 12 e da cui si sottrae

5 e 12, e nulla resta.

(XII.3.45 ; G: XII.166) C'

è un numero tale che se gli sommi [ il suo ]

3 e 12; e dalla quantità raccolta sottrai [ il suo ]

5 e 12, non resta nulla. Si chiede quale sia quel numero: per prima cosa bisogna chiedersi quale sia il numero, dal quale se si sottrae

5 e 12, non resta nulla. Per questo poni 30, da cui sottrai

5, cioè 17, resta 13. Volendo invece che sia 12; moltiplica 12 per 30, fa 360; dividilo per 13, fa

27: a questo punto di nuovo dirai: c'è un numero che se gli sommi

3 e 12, fa

27: perciò sottrai 12 da

27, resta

15: poi poni che questo numero sia 12 al quale somma i suoi

3, fa 19; volendo invece che siano

15, moltiplica 12 per

15 e dividi per 19, fa

9 e tale è quel numero. Per esempio, prendi

3 di

9; mostriamo come prenderlo: moltiplica 9 per 19 e somma 17; moltiplica per 13 e somma 4, fa 2448; a questo somma i suoi

3, cioè 1428, fa 3876; dividilo per

. Prima per 19 che per 13; perché 3876 si divide esattamente per 19, fa

15 a cui somma 12, fa

27; poi sottrai

5, che è

15, resta 12; e quando lo sottrai non resta nulla come si è posto prima.

x +

x + 12 = S

S -

S + 12

= 0

Del numero a cui si somma

7 e 60.

(XII.3.46 ; G: XII.169) U

gualmente c'è un numero, tale che se gli sommi [ i suoi ]

7, e 60 denari; e dalla somma avuta togli [ il suo ]

3, e 60 denari, non resta nulla: trova dunque il numero dal quale, sottratto

3, resta 60: quel numero è

175; sottraigli 60, resta

115; ora si deve trovare il numero, al quale se si somma

7, fa

115, che troverai così. Poni che sia 63; da cui prendi

7, cioè 27 e

9, che è 7, fa 34; sommalo con 63, fa 97, volendo che siano

115. Moltiplica 63 per

115 e dividi per 97, fa

75 come quantità del numero cercato.

Ugualmente altri quesiti simili.

(XII.3.47 ; G: XII.171) A

ncora c'è un numero tale che se gli sommi i suoi

5 e in più due altri numeri qualunque uguali fra loro, e

3 di uno di questi numeri; e dalla quantità raccolta sottrai [ i suoi ]

7, e tre numeri uguali agli stessi 2 che hai sommato prima, e

5 di uno di quei numeri, non resta nulla: dapprima, certo, si deve trovare quali sono quei numeri che devono essere sommati all'inizio e sottratti alla fine. Li troverai così: vedi quale è il numero in cui si trovano

3 e

5: questo numero è 45, e tanto supponi per quel numero. E poiché si propone che alla fine si sottragga tre volte quel numero e

5 di esso, moltiplica 45 per 3, fa 135: a questo somma

5 di 45, cioè 14, fa 149: poi trova con la regola del secondo albero quale sia il numero, da cui sottratti [ i suoi ]

7 resta 149: se saprai trovarne la regola secondo le stesse considerazione fatte sull'albero, troverai che è

679: da questo togli il doppio di 45, e in più

3 di 45, cioè 114, resta

565: ora vedi con la regola del terzo albero, qual è quel numero che, se gli sommi

5 fa

165 e quel numero è

127

179

248: e così praticherai tutte le regole di tal genere.

x +

x + 2

a +

a = S

S -

S + 3

a +

= 0

Problema posto da un maestro di Costantinopoli.

(XII.3.48 ; G: XII.174) S

omma

3 di un numero, e da lì sottrai [ il suo ]

3; e dividi ciò che resta in due parti tali che se moltiplichi una parte per

2 e un'altra per

2, saranno uguali. Fai così: poni un numero tale che da

3 di esso si possa sottrarre esattamente

3, quel numero è 81: da questo prendi

3, cioè 36; e poi sottraigli

3, cioè 16, resta 20; ora bisogna dividerlo in due parti tali che, moltiplicata una di esse per

2, faccia tanto quanto l'altra moltiplicata per

2. Perciò, poiché in questo tema si segue la regola degli alberi, poni che una parte sia 18; moltiplicalo per

2, fa 17: quindi vedi con la regola del primo albero qual è quel numero del quale 17 sia [ il suo ]

2; e quel numero è

26; sommalo con 18, fa

44, che si vorrebbe fosse 20. Moltiplica 18 per 20 e dividi per

44, fa

8 come quantità di una parte; da esso fino a 20, mancano

11 che sono l'altra parte.

Il numero può essere scelto
opportunamente

A + B = 20

A =

Della coppa il cui fondo è la terza parte di tutta la coppa e il coperchio ne è la quarta.

(XII.3.49 ; G: XII.176) C'è una coppa, di cui il fondo pesa un terzo di tutta la coppa stessa ; e il coperchio

^(PdA)

cooperculum si era trasformato in cuperclium, da cui l’it. coperchio [PdA,pag.3]

, invece pesa un quarto, il resto pesa 15 libbre: si chiede il peso di tutta la coppa. Questo tema è simile a quello dell'albero, i cui

3 sono nascosti sottoterra; e sopra la terra ci sono 15 palmi. Per esempio: visto che il fondo della coppa è

3, e il coperchio è

4 di tutta la coppa insieme sono

3 di tutta la coppa, ciò che resta pesa 15 libre. Perciò poiché si chiede il peso di tutta la coppa, bisogna porre, secondo la regola dell'albero, che essa pesi un numero, tale che in esso si ritrovino precisamente le frazioni del problema, cioè

3; questo numero è 12. Perciò poni che la coppa pesi 12 libbre; in questo modo il fondo, essendone la terza parte, pesa 4 libbre; e il coperchio, essendone

4, pesa 3 libbre. Dunque tra fondo e coperchio pesano 7 libbre: da esse fino a 12 mancano 5 libbre come peso del resto della coppa, che si vorrebbe fosse di 15 libre: ma non lo è. Moltiplica dunque 12 per 15, e dividi per 5; e così fa 36 come peso di tutta la coppa.

f = 1 4 a		c = 1 3 a
a - ( f+c ) = 15

Altro sulla coppa.

pg.189

(XII.3.50 ; G: XII.179) E se dici che il fondo pesa

3 della parte di mezzo più il coperchio, il coperchio pesa

4 della parte di mezzo più il fondo, e la parte di mezzo pesa 15: se vuoi riportare questo problema alla regola dell'albero, fai così: visto che il fondo pesa

3 della parte di mezzo più il coperchio; se il coperchio e la parte di mezzo pesano 3, il fondo pesa 1; dunque il fondo è

4 di tutta la coppa. Per la stessa ragione poiché il coperchio è

4 della parte di mezzo più il fondo; se la parte di mezzo con il fondo pesano 4, il coperchio pesa 1, dunque il coperchio è

5 di tutta la coppa; e così tra fondo e coperchio sono

4 di tutta la coppa: perciò si deve trovare il numero nel quale si trovino

4, è 20, che viene dalla moltiplicazione di 4 per 5: da esso sottrai

4, cioè 9, resta 11. Moltiplica 20 per 15, fa 300; dividili per 11, fa

27 come peso di tutta la coppa. Ma se vuoi trovare ciascuna di quelle parti, poiché il fondo è

4 di tutta la coppa, prendi

4 di 20, che è 5, e moltiplicalo per 15, fa 75; dividilo per 11, fa come peso del fondo

6 libre. Ugualmente poiché il coperchio è

5 di tutta la coppa, prendi

5 di 20, che è 4; moltiplicalo per 15, fa 60; dividilo per 11, fa come peso del coperchio

5 libre.

Se z =

3 ( x + y ) allora
z =

4 ( x + y + z)

Ancora della coppa.

(XII.3.51 ; G: XII.182) A

ncora c'è una coppa, il cui fondo è

3 del coperchio, e della parte di mezzo. Il coperchio invece è

5 della parte di mezzo e del fondo. La parte di mezzo della coppa pesa 6 libre. Si chiede il peso del fondo e del coperchio; visto che il fondo è

3 del resto: allora se il resto pesa 12 libre, il fondo pesa 7 libre, dunque tutta la coppa peserà 19 libre: perciò il fondo pesa

19 di tutta la coppa; nello stesso modo il coperchio, essendo

5 del resto, è

41 di tutta la coppa. Per cui scrivi in ordine

19; e moltiplica il 7, che sta sopra il 19, per il 41, fa 287. Ugualmente moltiplica l'11, che sta sopra il 41, per 19, fa 209; sommalo con il 287, fa 496: e moltiplica 19 per 41, fa 779; da questo sottrai 496, resta 283: moltiplica 779 per 6, fa 4674; dividilo per 283, fa

146

283

16 come peso di tutta la coppa: e se moltiplichi 287 per 6 e dividi per 283, troverai

283

6 come peso del fondo. Ugualmente se moltiplichi 209 per 6 e dividi per 283, trovi

122

283

4 libre come peso del coperchio.

Se z =	1 3 + 1 4	( x + z )
allora
12 z = 7 ( x + y )
z = 7 19 ( x + y + z )

Di quattro uomini che hanno denari.

(XII.3.52 ; G: XII.184) Q

uattro uomini avevano dei denari. E i denari del primo erano

3 dei denari degli altri tre: i denari poi del secondo erano

5 degli altri tre, quelli del terzo erano

7 degli altri tre, quelli del quarto erano 27. Si chiede quanti denari aveva ciascuno degli altri. Questo problema rientra nella stessa regola della coppa, così: visto che i denari del primo uomo sono

3 dei denari degli altri tre uomini, egli ha

19 di tutto il totale di quei quattro. Perciò anche il secondo ha

41 della stessa somma. E siccome il terzo ha

7 degli altri, se gli altri tre hanno 56 denari, lui ne ha

7 di quelli, cioè 15; tra tutti hanno 71 denari; di cui lui ha

71. E allora compara questo problema a quello dell'albero, ovvero al numero dal quale sottratti i

19, resta 27. Fai così: moltiplica il 7, che sta sopra il 19, per 41, e per 71, fa 20377 ponilo sopra

19. Di nuovo moltiplica 11, che sta sopra il 41, per 71; e per 19, farà 14839 ponilo sopra

41. Di nuovo moltiplica il 15, che sta sopra il 71 per 41, e per il 19, fa 11685, ponilo sopra il

71: somma così 20377 con 14839, e con 11685, fa 46901; sottrailo dalla moltiplicazione di 19 per 41, e per 71, cioè da 55309, resta 8408; da questo ricava la regola che è

1051

. Poi moltiplica 20377 per 27, fa 550179; dividilo per

1051

, fa

457

1051

65 denari, e tanto ebbe il primo uomo. Ugualmente moltiplica 14839 per 27, farà 400653; dividilo per

1051

, faranno

684

1051

47 denari, e tanti ne possiede il secondo. Ancora moltiplica 11685 per 27, farà 315495; dividilo per

1051

, farà

549

1051

37 denari; e tanti ne ebbe il terzo.

x₁ =	1 3 + 1 4	( x₂ + x₃ + x₄ )
x₂ =	1 5 + 1 6	( x₃ + x₄ + x₁ )
x₃ =	1 7 + 1 8	( x₄ + x₁ + x₂ )
x₄ = 27

Se A = k

A =

k+1

(

A + B

)

Di due uomini che hanno denari, dei quali uno chiede all'altro una certa quantità
e propone di superarlo in una certa proporzione.

pg.190

(XII.3.53 ; G: XII.188) D

ue uomini hanno denari e uno di essi disse all'altro: se tu mi dessi uno dei tuoi denari, sarei uguale a te. L'altro risponde: e se tu mi dessi uno dei tuoi denari avrei 10 volte tanto quanto hai tu. Si chiede quanto aveva ciascuno di essi. Perché si riporti questo problema alla regola dell'albero, bisogna vederlo così: poiché il primo, avuto una quantità dai denari dell'altro, propone di essere uguale a quello; allora non c'è dubbio che egli, avuto quel 1 denaro, abbia la metà di tutto il totale dei denari di ambedue. Perciò scriverai

2. Ugualmente poiché l'altro avuto 1 dai denari del primo, annuncia che egli ha dieci volte tanto di quanto egli ne ha: allora se egli all'inizio aveva 10, e il primo aveva 1, allora insieme ne hanno 11; e poiché il secondo ne ha 10, si può certamente affermare che egli abbia i

11 di tutto il totale di entrambi. Dunque uno ha

2 di tutta la somma e l'altro

11, avuto, naturalmente, il denaro richiesto. Perciò dirai: c'è un albero i cui

2, e

11, superano l'altezza dell'albero di 2 palmi, cioè di quelli che essi chiedono a vicenda. Secondo la regola di quell'albero bisogna moltiplicare l'1, che sta sopra il 2, per 11, fa 11; e 10 che sta sopra l'11, per il 2, fa 20: sommalo con 11, fa 31; e 2 per 11, fa 22; sottraili da 31, resta 9, che si vorrebbe fosse 2: perciò moltiplica il 2, cioè la somma di entrambi i denari, per 11, fa 22; dividili per 9, fa

2; e tanto ha ottenuto il primo, avuto il denaro dall'altro uomo. Quindi il primo ha

1 denaro. Ancora moltiplica lo stesso 2 per 20, fa 40; dividilo per 9, saranno

4 denari, e tanto ebbe l'altro, ottenuto il denaro dall'altro: dunque egli ebbe

3 denari.

	x₁ + 1 = x₂ - 1
	x₂ + 1 = 10 ( x₁ - 1 )

	x₁ + 1 = 1 2 ( x₁ + x₂ )
	x₂ + 1 = 10 11 ( x₁ + x₂ )

Della stessa cosa.

(XII.3.54 ; G: XII.192) A

ltrimenti, secondo la ricerca di alcuni. Poiché il secondo, avuto 1 denaro dai denari del primo, sostiene di avere dieci volte tanto il primo; sottrai 1 da 10, resta 9: uno ha

1 e l'altro

3. E se dicessi che egli avesse dodici volte tanto il primo, similmente sottrarrai 1 da 12, resta 11; e così uno ha

1 e l'altro

3, e così potresti fare con qualunque richiesta simile.

x₁

p x₂

da cui

Problema sulla stessa cosa a noi proposto da un maestro a Costantinopoli.

Uomini che
hanno denari

pg.191

(XII.3.55 ; G: XII.193) U

gualmente se sia proposto che uno di quelli chieda all'altro 7 denari; e ottenga il quintuplo di esso. E il secondo chieda al primo 5 denari; e abbia il suo settuplo. Perché la soluzione di questo problema sia ricondotta alla regola del secondo albero, e anche perché appaia più chiara agli occhi; la somma di quei denari sia la linea .a.b., della quale .a.g. sia la parte del primo: e perciò .g.b. sarà la parte del secondo, e si segni in .g.b. il punto .d. ; e .g.d. sia 7, e in .a.g. si segni il punto .e.; e sia .e.g. uguale a 5. E poiché il primo chiede al secondo sette denari, cioè il numero .g.d.; e la sua parte è il numero .a.g.; se si aggiunge ad esso il 7 stesso, si avrà il numero .a.d. , che si pone sia il quintuplo del resto dei denari del secondo uomo, cioè del numero .d.b. : quindi se il numero .a.d. si divide in cinque parti uguali, ciascuna parte sarà uguale al numero .d.b. : perciò .d.b. è la sesta parte di tutto il numero .a.b., cioè della somma dei denari di entrambi gli uomini. E ancora, se ai denari del secondo uomo, cioè al numero .b.g. si aggiungono i 5 denari dei denari del primo uomo, cioè il numero .g.e., questo secondo uomo avrà il numero .b.e. ; e al primo resterà il numero .e.a. E poiché il secondo, avuti i 5 denari dai denari del primo, ha il suo settuplo, il numero .b.e. sarà il settuplo del numero .e.a. : perciò .e.a. è

8 di tutto il numero .a.b.: mostrato anche che il numero .b.d. è

6 del numero .a.b., allora i numeri .b.d. e .e.a. sono

6 di tutto il numero .a.b.: perciò se dal numero .a.b. si tolgono i suoi

6, cioè i numeri .b.d. e .e.a., resterà il numero .e.d., che è 12; poiché .e.g. è 5 e .g.d. è 7: e perciò, secondo la regola dell'albero, poni come numero .a.b. 24, di cui

6, cioè 4, sarà il numero .b.d. : e ancora

8 del quale, cioè 3, sarà il numero .e.a. : perciò se dal numero posto per .b.a., cioè da 24, si sottraggano il numeri posti per .b.d. e .e.a., cioè 4 e 3, rimarrà 17 per il numero .e.d. che è 12: perciò come 17 sta a .d.e., cioè a 12, così il 24 sta al numero .a.b., e così il 4 al numero .b.d. , e il 3 al numero .e.a. : perciò se moltiplicheremo il 24 per il 12 e divideremo per 17, avremo il numero .a.b. : similmente se moltiplicheremo il 4 per 12 e divideremo per il 17, farà

2 per il numero .b.d. : a cui sommato 7, cioè .d.g., farà .b.g., cioè

9 dei denari del secondo uomo. Ugualmente divisa per 17 la moltiplicazione di 12 per 3, farà

2 come numero .a.e. : a cui sommato il 5, cioè .e.g. , fa come numero .a.g.

7, e tanto ebbe il primo.

	x₁ + 7 = 5 ( x₂ - 7 )
	x₂ + 5 = 7 ( x₁ - 5 )

6 .d.b. = .a.b.
8 .a.e. = .a.b.

Sullo stesso argomento in base alla regola retta.

(XII.3.56 ; G: XII.198) D

unque nel risolvere i quesiti vi è una certa regola, che si dice retta, della quale gli arabi fanno uso: e il metodo di quella regola è assai lodevole, perché con essa possono essere risolti infiniti problemi: se in questo problema vuoi seguire questa regola, poni che il secondo uomo abbia una cosa, e 7 denari, che gli chiede il primo: e intendi per la cosa una qualche quantità ignota che vuoi trovare: e poiché il primo ha il quintuplo di esso, avuti i 7 denari, ne segue, necessariamente, che egli ha cinque cose meno sette denari: poiché quando egli avrà avuto 7 denari dal secondo, allora avrà cinque cose intere; e al secondo resterà una cosa; e così il primo avrà il suo quintuplo: perciò se della parte del primo uomo si sommano 5 al secondo, che lui gli chiede; e così il secondo avrà la cosa, e 12 denari; e al primo rimarranno cinque cose meno 12 denari: e così il secondo [ avuti i 5 denari ] ha il settuplo [ di ciò che resta ] al primo, cioè una cosa e 12 denari sono il settuplo di cinque cose meno 12 denari, allora moltiplicate cinque cose meno 12 denari per 7, farà 35 cose meno 7 soldi che sono uguali a una cosa e un soldo: perciò se ad entrambe le parti si sommano 7 soldi, saranno 35 cose uguali ad una cosa, più 8 soldi: perché se si sommano gli uguali agli uguali, i totali saranno uguali. E ancora, togliendo uguali dagli uguali, ciò che resterà sarà uguale: se dalle suddette due parti sottrai una cosa, resteranno 34 cose uguali a 8 soldi: perciò se avrai diviso gli 8 soldi per 34, avrai

2 [ denari ] come totale di ciascuna cosa: quindi il secondo ha

9, avendo una cosa e 7 denari. Similmente se da cinque cose, cioè dalla moltiplicazione di

2 per 5, si tolgono 7 denari, resteranno

7 denari come denari del primo uomo, come abbiamo trovato più sopra: in questo terzo modo puoi risolvere tutti i seguenti problemi su due uomini.

	x₁ + 7 = 5 ( x₂ - 7 )
	x₂ + 5 = 7 ( x₁ - 5 )

x₂ = x + 7
quindi

x₁ + 7 = 5

x + 12 = 7

(

x - 12

)

x + 1 = 35

x - 7

x = 8

Della stessa cosa.

pg.192

(XII.3.57 ; G: XII.201) Ugualmente se si ponga che uno chieda all'altro 6 ; e dica di avere cinque volte tanto più un quarto dell'altro, e l'altro chieda al primo 4 denari, e abbia sette volte tanto più due terzi dell'altro: poiché il primo sostiene di avere cinque volte tanto, più un quarto dell'altro, dunque se egli avrà avuto

5 e l'altro ebbe 1; dunque insieme danno

6: di cui il secondo ne ha una parte: fà quarti da

6, farà

4: similmente fà in quarti 1, sarà 4: quindi al secondo uomo, una volta dati 6 denari al primo, restano

25 di tutti quei denari. Similmente, nello stesso modo, al primo, dati 4 denari al secondo, restano

26: perciò dirai, c'è un albero dal quale, se avrai sottratto

25, resterà 6 e 4, cioè 10. Moltiplica quindi 4 per 26, farà 104; e 3 per 25, farà 75; sommalo con 104, farà 179; sottrailo dalla moltiplicazione di 25 per 26, cioè da 650, restano 471: per la cui regola dividi la moltiplicazione di 104 per 10, e avrai

157

2 denari; e tanto è rimasto al secondo uomo, dati i 6 denari al primo: questi sommati insieme, fanno

157

8; e tanto ebbe il secondo uomo. Ancora moltiplica 10 per 75, e dividi

157

, farà

157

1; a cui sommati i 4 denari che il secondo uomo chiede al primo, sarà

157

5; e tanto ebbe il primo.

	x₁ + 6 = 21 4 ( x₂ - 6 )
	x₂ + 4 = 23 3 ( x₁ - 4 )

Se A = k

B
allora

A + B = (

k + 1

)

B =

k+1

(

A + B

)

A =

k+1

(

A + B

)

Altro modo di due uomini.

(XII.3.58 ; G: XII.204) E ancora il primo, avuti 7 denari dal secondo, abbia il quintuplo del secondo, e in più 1 denaro. E il secondo, avuti 5 denari dal primo, abbia sette volte tanto quanto il primo, e in più 1 denaro: chiamerai maggiore la somma di tutti i denari di entrambi gli uomini; e sottratto da questo totale il denaro che avanza a ciascuno, chiamerai minore il resto: e poiché il primo, avuti i 7 denari del secondo, ha un denaro in più del quintuplo del secondo; tolto pertanto questo denaro da quei 7 denari, e conservatolo da parte, il primo uomo avrà con i 6 denari che restano, il quintuplo del secondo: infatti essi hanno tra l’uno e l’altro, tolto il denaro scritto sopra, la detta somma minore; della quale il primo ha il quintuplo del secondo, avuti i 6 denari scritti sopra, cioè il primo ha cinque parti di quella somma minore, e il secondo ne ha una: dunque il primo ha

6 di quella somma minore meno quei 6 denari, e il secondo ha

6 di quella somma minore, più i 7 denari che da al primo: similmente se opererai con la richiesta del secondo, troverai che il secondo uomo ha

8 della somma minore, meno 4 denari; e il primo ha 5 denari più

8 di quella stessa somma: infatti il primo ha meno denari dei

6 di quella somma minore. Perciò tra l’uno e l’altro hanno

6 della somma minore, meno 6 e 4 denari, cioè meno di 10 denari: hanno anche la somma maggiore;

6 della somma minore, meno 10 denari sono proprio quanto la somma maggiore. Dunque se si sottrae 1 dalle dette parti uguali di cui una è i

6 della somma minore meno 10 denari, e l'altra è la somma maggiore, resteranno

6 meno 11 denari, uguale alla somma minore, essendo la somma minore 1 in meno della maggiore: dunque la somma minore con 11 denari è quanto i

6 della stessa somma. Per questo bisogna trovare la somma dalla quale stessa somma sottratti

6, resti 11: poni che essa sia 24 cui

6, che sono 20 e 21, cioè 41, sottratto il 24, resta 17; volendo che questo 17 sia 11, moltiplicherai

6 di 24, cioè 20, per 11, e dividerai per 17, farà

12 come

6 della somma minore: da cui sottrai il 6 che il primo ha in meno dei

6 della somma minore, resta

6; e tanto ha il primo. Ugualmente moltiplica

8 di 24, cioè 21 per 11, e dividi per 17, e avrai

13 come

8 della somma minore: di questa, sottratto il 4 che il secondo ha in meno dei detti

8, resterà

9; e tanto ebbe il secondo.

	x₁ + 7 = 5 ( x₂ - 7 ) + 1
	x₂ + 5 = 7 ( x₁ - 5 ) + 1

m₁ = x₁ + x₂

m₂ = x₁ + x₂ - 1

x₁ =

m₂ - 6

x₂ =

m₂ - 4

Dello stesso.

pg.193

(XII.3.59 ; G: XII.210) T

roviamo diversamente da sopra, che il primo uomo ha

8 della somma minore, più 5 denari, il secondo ha 7 denari più

6 della stessa: quindi tra l’uno e l’altro hanno

6 della somma minore e in più 12 denari: e hanno anche la somma maggiore, perché

6 della somma minore più 12 denari fanno la somma maggiore: e

6 della somma minore più 11 denari fanno la somma minore. Per cui sottratti

6 della somma minore dalla stessa, resterà 11. Perciò poni che questa somma sia 24; dalla quale sottratti

6 resta 17: e volendo che sia 11, moltiplicherai

8 di 24, cioè 3, per 11, e dividerai per 17, farà

1, come

8 della somma minore: perciò moltiplica quella parte del 24 per 11, e dividerai per 17 troverai, tale parte della somma minore: sommati

1 ai 5 denari che il primo ha più dei detti ottavi, fa

6 come denari del primo, come più sopra abbiamo trovato con un'altra regola. Similmente moltiplicherai 4, cioè

6 di 24, per 11, e dividerai per 17, e sommerai il 7 alla divisione, e avrai

9, cioè i denari del secondo.

x₁ - 5 =

m₂

x₂ - 7 =

m₂

Dello stesso.

(XII.3.60 ; G: XII.212) P

arimenti si ricava in un altro modo ciò che è stato trovato più sopra, quanto al fatto che il primo ha

6 della somma minore, meno 6 denari; o

8 della stessa somma più 5 denari: per cui i

6 della somma minore meno 6 denari sono quanto

8 della stessa somma con 5 denari. Perciò se si sommano a ciascuna parte 6 denari,

6 della somma minore saranno quanto

8 della stessa somma più 11 denari: quindi tolti

8 da

6 della somma minore, resta 11: poni così che questa somma sia 24, dai

6 della quale, cioè da 20, sottrai

8, cioè 3, resta 17: volendo che invece sia 11, o moltiplicherai

6 di 24, cioè 20, per 11, e dividerai per 17, e sottrarrai 6, oppure moltiplicherai

8 di 24 per 11, e dividerai per 17, e aggiungerai 5, e avrai i denari del primo uomo. Similmente poiché il secondo ha

8 della somma minore, meno 4 denari, o 7 denari più

6 della stessa somma; se insieme ad entrambe le porzioni si aggiunge 4, i

8 della somma minore saranno a 11 denari più

6 della stessa somma. Perciò, sottratto

6 da

8 della somma minore resta 11. Poni similmente che questa somma sia 24, dai

8 del quale, cioè da 21, una volta sottratto

6, cioè 4, resta 17: volendo che sia 11, o moltiplica 21 per 11 e dividerai per 17, e sottrarrai da lì 4, che il secondo ha in meno, oppure moltiplicherai il 4, cioè

6 di 24, per 11, e dividerai per 17 e vi aggiungerai 7, e avrai i denari del secondo uomo.

x₁ =

m₂ + 5 =

m₂ - 6

m₂ = 11

x₂ =

m₂ - 4 =

m₂ + 7

pg.194

(XII.3.61 ; G: XII.215) C

on ciò che dicemmo possono dunque essere trovati quelli dei problemi simili che sono solubili, e quelli invece insolubili: secondo le quantità dette prima possono essere risolti quando a ciascuno dei detti uomini sarà avanzato in modo uguale oltre alla sua quantità, da uno dei suddetti denari fino a 11 denari: ma dimostreremo che da 11 denari in poi non si possono risolvere. Come esempio di questo, il primo chieda al secondo 7 denari, e abbia 12 denari più cinque volte tanto di esso. Il secondo similmente chieda al primo 5, e ottenga sette volte tanto quanto il primo più 12 denari. Come dicemmo sopra: l'insieme di tutti i denari è dunque chiamato somma maggiore. Ma con 12 in meno essa è chiamata somma minore; poiché entrambi hanno 12 denari in più. E poiché il primo, avuti 7 dal secondo, ha il quintuplo di esso, e in più 12 denari, è necessario che il primo abbia

6 della somma minore, e in più 12 denari; da questi 12, essendo il 7 proveniente dai denari del secondo, resta la parte del primo uomo di 5 più

6 della somma minore. Similmente troverai che la parte del secondo è di 7 denari più i

8 della somma minore: dunque insieme hanno i

6 della somma minore, e 12 denari: ed essi hanno anche similmente 12 denari più della somma minore: quindi i

6 della somma minore più 12 denari sono quanto la somma maggiore: e poiché quando dagli uguali si tolgono uguali, quello che resta sono uguali, se da entrambe le parti si sottrae 12, resterà

6 della somma minore uguali alla stessa somma minore, cosa che è impossibile: o altrimenti, quando il secondo da 7 al primo e gli resta

6 della somma minore, allora la sua parte è 7 denari in più di

6 della somma minore. Ebbene trovammo prima che la sua parte è 7 denari più

8 della somma minore. Perciò

6 della somma minore più 7 denari è quanto

8 della stessa somma con 7 denari: entrambi i 7 sono uguali, resta dunque

6 della somma minore uguale a

8 della stessa somma, cosa che è di nuovo impossibile. Nella parte del primo uomo invece troverai che

8 della somma minore è uguale a

6 della stessa somma, che non va bene. Similmente si mostra davvero impossibile che a qualcuno di questi possano avanzare più di 12 denari.

	x₁ + 7 = 5 ( x₂ - 7 ) + 12
	x₂ + 5 = 7 ( x₁ - 5 ) + 12

x₁ + x₂ - 12 = m

x₁ =

m + 5

x₂ =

m + 7

x₂ =

m + 7

Terzo modo sul problema dei due uomini.

(XII.3.62 ; G: XII.220) D

i nuovo il primo chieda al secondo 7, e abbia un denaro più il quintuplo di quello. Il secondo ne chieda al primo 5, e abbia 2 denari più sette volte il primo. In questo problema si devono considerare tre somme La maggiore di queste è la quantità di tutti i denari dei due uomini, la media è di 1 in meno di essa. E la minore è 2 in meno della somma maggiore o 1 in meno della media. E poiché il primo con i 7 denari del secondo ha cinque volte tanto che il secondo e 1 in più dello stesso; è necessario che il primo abbia

6 della somma mediana meno 6 denari; e il secondo uomo

6 della stessa somma più 7 denari. Similmente poiché il secondo con 5 denari del primo ha sette volte tanto quanto il primo, e 2 in più: sottratto questo 2 dalla somma maggiore, resta la somma minore; della quale il secondo con 3 dei denari del primo ha sette volte tanto il primo, cioè

8 della somma minore, meno 3 denari: perciò il primo ha

8 di quella somma minore, e in più 5 denari più di essa, cioè quelli che dà al secondo: eseguiti tutti questi calcoli, le parti di entrambi si possono ricondurre alle parti di ciascuna delle tre dette somme: allora per primo riduciamo quelle parti in parti della somma minore. Poiché la somma mediana è 1 in più della minore, i

6 della somma mediana sono

6 di un denaro più i

6 della somma minore; quindi i

6 della somma minore con i

6 di un denaro è quanto i

6 della somma mediana; e il primo ha i

6 della somma mediana meno 6 denari: dunque ha i

6 della somma minore meno 6 denari, e in più

6 di un denaro. Perciò sottratti

6 di un denaro da 6, resta

5: quindi il primo ha

6 della somma minore meno

5 denari; di questa il secondo ha, come abbiamo trovato,

8 meno 3 denari,: perciò insieme hanno

6 di questa somma minore, meno

8 denari.

	x₁ + 7 = 5 ( x₂ - 7 ) + 1
	x₂ + 5 = 7 ( x₁ - 5 ) + 2

m₁ = x₁ + x₂

m₂ = x₁ + x₂ - 1

m₃ = x₁ + x₂ - 2

x₁ =

m₂ - 6

x₂ =

m₂ + 7

x₁ =

m₃ + 5

x₂ =

m₃ - 3

m₃

2 =

(

m₃

)

(

m₃

)

(XII.3.63 ; G: XII.224) E questi hanno anche la somma maggiore, cioè 2 più della somma minore. Quindi è chiaro che i

6 della somma minore meno

8 denari, sono quanto la somma minore con 2 denari. Perciò sottratto questo 2 da entrambe le parti, resta la somma minore uguale ai suoi

6 meno

10 denari: perciò bisogna trovare la somma dai

6 della quale avanzano

10 della stessa somma. E così poni che questa somma sia 24 i cui

6, cioè 41, eccedono di 17 quel 24: volendo che quel 17 sia invece

10, moltiplicherai

10 per

6 di 24, cioè per 20 e dividerai per 17, farà

11 come

6 della somma minore: dal quale sottrai

5 che il primo ha in meno di

6 delle somma minore, resterà

6, e tanto ha il primo. Ugualmente moltiplica

10 per i

8 di 24, cioè per 21 e dividi per 17, e dal totale che ne esce sottrai il 3 che il secondo ha in meno dai

8 della somma minore, farà

pg.195

(XII.3.64 ; G: XII.226) U

gualmente se vuoi ridurli in parti della somma mediana, della quale il primo ha

6 meno 6 denari; e il secondo, avendo

8 della somma minore, meno 3 denari, avrà i

8 della somma mediana meno 3 denari, e meno

8 di un denaro; poiché è tra la somma mediana e la minore: essendo la somma minore 1 in meno della mediana, i

8 della minore sono

8 di un denaro meno

8 della mediana: quindi avendo il primo

6 della somma mediana meno 6, e il secondo

8 della stessa meno

3 denari, insieme avranno

6 di quella somma mediana, meno

9: e poiché essi hanno 1 denaro più della somma mediana, cioè i

6 della somma mediana meno

9 denari sono quanto la somma mediana più 1 denaro: sottratto questo denaro da entrambe le partii, resta la somma mediana uguale ai

6 di essa meno

10 denari. Perciò bisogna moltiplicare

10 per 20, e dividere per 17; e dal totale bisogna sottrarre il 6, che ha il primo, meno dei

6 della somma mediana, e avrai come denari del primo

6. Similmente bisogna moltiplicare ancora

10 per 21, e dividere per 17, e sottrarre

3, e avrai

9 denari.

m₂

1 =

m₂

(

m₂

)

(XII.3.65 ; G: XII.229) E in un altro modo ancora ridurrai i loro denari in parti della somma maggiore: poiché il primo ha i

6 della somma mediana, meno 6 denari, avrai senz’altro

6 della somma maggiore meno 6, e meno

6 di quel denaro che avanza dalla somma mediana fino alla maggiore: dunque

6 della somma maggiore sono

6 di un denaro più i

6 della somma mediana. Perciò il primo ha i

6 della somma maggiore meno

6 denari. Similmente, poiché il secondo ha i

8 della somma minore meno 3 denari, avrai senz’altro

8 della somma maggiore meno 3 denari e meno

8 di 2 denari; nei quali la somma maggiore supera la minore: infatti

8 di 2 è

1: quindi il secondo ha

8 della somma maggiore meno 3 denari, più

1, cioè meno

4: infatti il primo, come abbiamo detto, ha i

6 della somma maggiore meno

6: quindi insieme hanno

6 della somma maggiore, meno

6 denari e

4, cioè meno

11: hanno dunque l’uno e l’altro tanto della somma maggiore. Poiché

6 della somma maggiore, sono

11 più di tale somma, moltiplicherai dunque

11 per 20 e per 21 e dividerai entrambe le moltiplicazioni per 17, e dalla prima divisione sottrarrai

6 e dalla seconda sottrarrai

4, e avrai i loro denari.

m₁ =

(

m₁

)

(

m₁

)

(XII.3.66 ; G: XII.233) A

ndammo avanti dunque sopra in tre modi con

6; possiamo di nuovo procedere in tre modi con

6 così. È stato prima trovato che il primo ha

8 della somma minore più 5 denari; e il secondo ha

6 della somma mediana più 7: per cui, in base a ciò, puoi ridurre i loro denari in parti di qualunque delle tre dette somme; e noi li riduciamo dapprima in parti della somma minore, della quale la prima ha

8 più 5 denari: e poiché il secondo ha

6 della somma mediana più 7, avrà similmente

6 della somma minore più 7 denari, e in più

6 di questo denaro che va dalla somma minore fino alla mediana: quindi il secondo ha

7 denari più di

6 della somma minore. Perciò insieme hanno

6 della somma minore più

12 denari: questa quantità, essendo la loro somma totale, cioè la maggiore; e essendo questa somma maggiore 2 denari in più della somma minore, allora

6 della somma minore con

12 denari, è quanto la somma minore più due denari. Perciò sottratto 2 da entrambe le parti, resterà

6 della somma minore più

10 denari come somma minore. Perciò, sottratti

6 dalla somma minore, resta

10: che se avremo supposto che fosse 24, e avremo sottratto di lì

6 , rimarrà 17; volendo che questo 17 fosse

10, moltiplicherai

8 di 24, cioè 3, per

10, e dividerai per 17, farà, come

8 della somma minore,

1: a cui sommato il 5, che il primo ha in più di

8 della somma minore, sarà

6; e tanto è stato più sopra trovato che ne ha il primo. Nello stesso modo moltiplicherai

6 di 24, cioè 4, per

10, e dividerai per 17, e sommerai poi al numero che verrà dalla divisione,

7 che il secondo ha in più di

6 della somma minore; e avrai

9 come denari del secondo, come sopra.

m₃

2 =

m₃

(

m₃

)

pg.196

(XII.3.67 ; G: XII.237) S

e poi avrai saputo ridurre i loro denari in parti della somma mediana, troverai che il primo ha

8 della somma mediana, e in più

4 denari; il secondo, ancora, ha

6 della stessa somma più 7 denari, cioè insieme hanno

6 della somma mediana, e

11 denari. E poiché tra l’uno e l’altro hanno 1 denaro più la somma mediana, cioè la somma maggiore, se da ciascuna parte si sottrae 1, resterà

6 della somma mediana più

10 denari uguali alla somma mediana: opererai secondo ciò che facemmo per la somma minore, e troverai i loro denari. Similmente puoi trovare i loro denari, se li avrai ridotti in parti della somma maggiore; della quale il primo ha

8 più

4 denari; il secondo

6 più

6 denari. Ridotti ancora i loro denari in parti di qualcuna delle dette tre somme, possiamo trovare le loro quantità in altro modo: cioè poiché prima si è trovato che il primo ha

8 della somma minore più 5 denari; ovvero

6 della stessa somma meno

5 denari, quindi

8 della somma minore con 5 denari è quanto

6 della medesima somma meno

5. Perciò se ad entrambi sommeremo

5, allora

8 della somma minore più

10 denari sarà quanto

6 della stessa somma: per cui se da 20, che è

6 di 24, sottrarrai il suo

8, resterà 17. Moltiplicherai

10 per 3 e dividerai per 17, e sommerai 5, che il primo ha in più di

8 della somma minore. O moltiplicherai

10 per 20, e dividerai per 17, e sottrarrai di lì

5, che il primo ha in meno di

6 di questa somma; e così avrai i denari del primo uomo. Similmente avrai considerato se in base a ciò per mezzo delle due parti che il primo ha in qualunque delle due somme, potrai trovare i denari del primo: e lo stesso intendi per i denari del secondo. Ed è da notare che alcuni dei problemi simili sono insolubili: e per capire quali sono, si proponga un problema insolubile.

m₂

1 =

m₂

(

m₂

)

x₁ =

(

m₃

)

6 =

8m₃

Quarto modo in simili problemi di due uomini.

(XII.3.68 ; G: XII.241) V

i siano di nuovo due uomini; e il primo chieda al secondo 7; e abbia similmente il quintuplo di esso e uno in più. Il secondo pure chieda 5 al primo; e abbia sette volte tanto di esso, e 15 in più. In questo problema la somma maggiore è la quantità dei due, e la loro mediana è 1 in meno. La minore è 15 in meno della somma maggiore: e poiché il primo, avuti 7 denari dal secondo, ha il quintuplo del secondo, e 1 in più; è necessario che il secondo uomo abbia

6 della mediana e 7 in più. Similmente, come abbiamo detto sopra, il primo ha

8 della somma minore e 5 in più. E poiché il secondo ha

6 della somma mediana e 7 in più, è necessario che per

6 della mediana abbia

6 della minore, e in più la sesta parte dei 14 denari, nei quali la somma mediana eccede la minore quindi il secondo ha

6 della somma minore: e la sesta parte di 14, cioè

2, e in più 7, cioè

9 più di

6 della somma minore. Avendo il primo

8 più 5 di questa somma, insieme avranno

6 della somma minore, e

14 denari: essi hanno allora la somma minore e 15 denari, cioè la somma maggiore. Se da entrambe le parti si sottraggono

14 denari, resterà la somma minore con

3 di un denaro, uguale a

6 della somma stessa, cosa che è impossibile.

	x₁ + 7 = 5 ( x₂ - 7 ) + 1
	x₂ + 5 = 7 ( x₁ - 5 ) + 15

m₁ = x₁ + x₂

m₂ = x₁ + x₂ - 1

m₃ = x₁ + x₂ - 15

pg.197

(XII.3.69 ; G: XII.237) S

imilmente se avrai ridotto le loro parti in parti della somma mediana, troverai che il primo ha

8 della somma mediana meno l'ottava parte dei 14 denari, che ci sono dalla somma minore fino alla mediana, e più 5 denari; tolto da questo 5

8 di 14, cioè

1, resta

3: dunque il primo ha

8 della somma mediana, e

3 in più, quindi insieme hanno

10 più di

6 della somma mediana: infatti hanno uno in più della somma mediana, cioè la somma maggiore: sottratto questo 1 da entrambe le parti, resta

6 della somma mediana più

9 denari, uguale alla somma mediana stessa. Perciò, in base alle suddette dimostrazioni, per avere i denari del primo, bisogna moltiplicare

8 di 24, cioè 3, per

9, e si deve dividere il prodotto della moltiplicazione per 17; e poi bisogna aggiungere

3 denari che il primo ha in più di

8 della somma mediana; e avrai, come denari del primo

4; il che è impossibile essendo meno di 5, che il secondo chiede al primo uomo: troverai la stessa cosa se avrai ridotto le loro parti in una qualche parte della somma maggiore.

Ancora il quinto modo dei due uomini.

(XII.3.70 ; G: XII.246) P

arimenti il primo chieda al secondo 7, e abbia il quintuplo di quello, e 1 in meno. Il secondo chieda 5 al primo, e abbia sette volte tanto quanto il primo, e 3 in meno. Invero un gran numero di questi problemi sono risolubili e si risolvono in quest'ordine: la quantità dei loro denari si chiama somma minore; uno in più si chiama mediana; due in più della mediana, cioè 3 in più della minore, questi 3 mancano al secondo, si chiama maggiore: e poiché il primo, avuti 7 denari dal secondo, ha 1 in meno del quintuplo del secondo, se questo denaro è sommato ai denari del primo e ai 7 denari che chiede al secondo, il primo avrà i

6 della somma mediana. Perciò la parte del primo uomo è i

6 della somma mediana, meno 7 denari, che gli dà il secondo, e meno 1 denaro che gli si aggiunge, cioè meno 8 denari: il secondo invece è

6 della stessa somma mediana, più i 7 denari detti prima. Similmente troverai dalla richiesta del secondo, che il primo ha

8 della somma maggiore e i 5 denari che dà al secondo. E il secondo ha

8 della stessa somma maggiore, meno gli stessi 5, e meno 3, che gli mancano per avere il settuplo del primo: e così se voi li deste a questi, puoi ridurre le loro parti in parti di qualunque delle tre dette somme; e poi potrai operare in quei tre modi differenti, come facemmo prima. Ma perché ciò sia mostrato più chiaramente, riduciamoli in parti della somma mediana, secondo uno dei tre modi: Infatti il secondo ha

6 della somma mediana più 7 denari: il primo invece ha

8 della somma maggiore, più 5 denari. E poiché la somma maggiore è 2 più la somma mediana,

8 della somma maggiore sarà l’ottava parte di 2 denari, cioè

4 di un denaro più

8 della somma mediana. Perciò

8 della somma mediana con

4 di un denaro è quanto

8 della somma maggiore. E poiché il primo ha

8 della somma maggiore e 5 denari, avrai

8 della somma mediana e

5 denari: dunque insieme hanno

6 della somma mediana, e 7 denari, e 5, e

4, cioè

12: essi hanno anche parti della somma minore: quindi

6 della somma minore con

12 denari sono quanto la somma minore. Perciò se a entrambe le parti si somma 1, sarà

6 della somma mediana con

13 quanto la stessa somma mediana, essendo questa 1 più la minore. Quindi sottratti

6 della somma mediana da questa somma, resta

13: e si chiede la quantità di

6 di tale somma: perciò moltiplicherai

8 di 24, cioè 3, per

13, e dividi il totale per 17, e avrai come

8 della somma mediana

2: sommati a questi

5 denari, fanno come denari del primo uomo

7. Ancora moltiplicherai

6 di 24, cioè 4, per

13, e dividerai per 17, farà come

6 della somma mediana

3: sommato a questi il 7, che il secondo ha in più di

6 della somma mediana, dà come sua parte

10.

	x₁ + 7 = 5 ( x₂ - 7 ) - 1
	x₂ + 5 = 7 ( x₁ - 5 ) - 3

m₁ = x₁ + x₂

m₂ = x₁ + x₂ + 1

m₃ = x₁ + x₂ + 3

pg.198

(XII.3.71 ; G: XII.252) D

a ciò che è stato detto puoi valutare se si proponesse che ad uno di essi avanzi qualcosa oltre il suo prodotto e ad un altro invece manchi: tuttavia, affinché lo si comprenda meglio, si propone un problema simile, nel quale il primo, avuti 7 denari dal secondo, abbia [ 6 ] più del quintuplo di esso; e il secondo, avuti 5 denari dal primo, abbia il settuplo del primo, meno 8 denari. Invece in questo problema la somma minore è 6 in meno della quantità di tutti i loro denari; di questa, se non ti sarai dimenticato le cose dette sopra, troverai che il primo ha

6 meno 1 denaro; il secondo

6 della stessa somma più 7 denari: la somma mediana, pure, è la quantità dei loro denari. La maggiore è 8 più della mediana, della quale [ maggiore ] il primo ha

8, e in più 5 denari; il secondo ha

8 della stessa somma maggiore, meno gli stessi 5 denari detti, e meno ancora gli stessi 8 che gli mancano per avere il settuplo del primo uomo: saputo tutto ciò, riduciamoli in parti della somma mediana; per quanto sia possibile che possano essere ridotti in parti delle altre somme. E facciamolo secondo un modo dei tre modi con i quali ciò può essere fatto. Dal momento che la somma maggiore è di 8 denari in più della mediana, l'ottava parte della somma maggiore sarà

8 di 8 denari, cioè 1 in più dell'ottava parte della somma mediana. Per cui, avendo il primo

8 della somma maggiore e 5 denari, avrai similmente

8 della somma mediana e 6 denari. E ancora poiché la somma minore è di 6 in meno della mediana,

6 della somma minore sarà la sesta parte di 6 denari, cioè 1 in meno di

6 della somma mediana: per cui, avendo il secondo

6 della somma minore più 6 denari, avrà similmente

6 della somma mediana meno 1 denaro più 7 denari, cioè 6 denari in più: quindi tra il secondo e il primo hanno

6 della somma mediana più 12, ed essi hanno anche la stessa somma mediana: perciò

6 della somma mediana più 12 denari è quanto la stessa somma mediana: quindi sottratti

6 della somma mediana da essa resta 12. Per cui affinché tu abbia

8 di questa somma mediana, moltiplicherai

8 di 24, cioè 3, per 12, e dividerai per 17, farà

2: al quale somma il 6 che il primo ha più di

8 della somma mediana, farà

8; e tanto ha il primo. Ancora per avere

6 della somma mediana, moltiplicherai 4 per 12, e dividerai per 17, e sommerai il 6, che il secondo ha in più di

6 della somma mediana, farà

8 come denari del secondo uomo.

	x₁ + 7 = 5 ( x₂ - 7 ) + 6
	x₂ + 5 = 7 ( x₁ - 5 ) - 8

m₁ = x₁ + x₂ - 6

m₂ = x₁ + x₂

m₃ = x₁ + x₂ + 8

(XII.3.72 ; G: XII.258) Q

uesto risultato lo puoi anche trovare con la regola retta, se poni che il secondo ha una cosa più 7 denari, e il primo 5 cose meno 1 denaro: perciò avendo il primo 7 denari dal secondo, resterà al secondo una cosa; e il primo avrà 5 cose, e 6 denari [ meno 7 denari ]. Similmente se il secondo avrà avuto 5 dal primo, resteranno a quel primo 5 cose meno 6 denari; e il secondo avrà una cosa e 12 denari che, con gli 8 denari, sono uguali al settuplo dei denari del primo [ meno 5 denari ] cioè trentacinque cose meno 42 denari: sommati questi 42 denari ad entrambe le parti, saranno 35 cose, che saranno uguali a una cosa più 62 denari: perciò, diminuita da entrambe le parti [ la cosa ], resteranno 34 cose, che saranno uguali a 62 denari, cioè 17 cose sono 31 denari: perciò dividi 31 per 17, farà

1 denari per una cosa. E poiché il secondo ha una cosa con 7 denari, ha dunque

8 denari: similmente poiché il primo ha cinque cose meno 1 denaro, moltiplica

1 per 5, farà

9; da cui togli 1, resteranno

8 denari; e tanto ebbe il primo. In questo modo possiamo dunque risolvere tutti i problemi scritti sopra dei due uomini: ci sono anche infiniti problemi simili che non possono essere risolti; e che conoscerai con il modo scritto sopra.

Problema simile fra tre uomini.

(XII.3.73 ; G: XII.261) A

ncora tre uomini hanno dei denari, uno di questi disse agli altri due: se mi deste 7 dei vostri denari, avrei cinque volte tanto voi; il secondo disse agli altri: se mi deste entrambi 9 dei vostri denari avrei sette volte tanto voi: il terzo chiede 11 denari; e dichiara di avere sette volte tanto loro: si chiede quanto avesse ciascuno: infatti questa regola deve essere svolta svolta secondo la regola del quinto albero, così: vedrai di ciascuno quale parte aveva di tutta la somma dei loro denari, una volta avuti quei denari che ciascuno chiede agli altri: questo si deve vedere così: poiché il primo, ricevuti 7 denari dagli altri sostiene di avere cinque volte tanto di loro; se allora ebbe cinque quantità qualunque e gli altri due avranno una di queste quantità: allora il primo ha

6 di tutti i denari, meno 7 denari, nello stesso modo il secondo ha i

7 di tutta la somma meno i 9 denari che chiede agli altri. Similmente anche il terzo ha i

8 di tutta la loro somma, meno quegli 11 denari che chiede agli altri: quindi tra tutti hanno

6 dell'intera somma meno 7 denari, e 9, e 11; cioè 27 denari: quindi

6 di tutto il denaro supera di 27 denari il loro totale: per cui questo problema è simile a quello dell'albero: quei

6 superano la lunghezza dell'albero di 27 palmi: perciò bisogna trovare il numero nel quale si ritrovino i

6, cioè il 168: di esso prendine

6 che è 140; e

7, che è 144, e i

8, che è 147, e sommali insieme, farà 431: da cui sottrai 168, resterà 263, che si vorrebbe fosse 27: perciò moltiplicherai 140 per 27, e dividi per 263, faranno

263

14 denari; e tanto ebbe il primo uomo, avuti i 7 denari che chiede agli altri: perciò sottrai 7 da

263

14, resterà

263

7, e tanto ebbe il primo. Ancora per avere i denari del secondo, moltiplica 144 per 27 e dividi ancora per 263, farà

206

263

14 da cui sottrai i 9 denari che il secondo chiede agli altri, resteranno

206

263

5 denari, e tanto ebbe il secondo. Di nuovo per avere i denari del terzo uomo, moltiplica 147 per 27 e dividi ancora per 263, farà

263

15, da cui sottrai gli 11 denari che chiede il terzo: resteranno

263

4 denari e tanto ebbe il terzo. E quando invece il terzo li chiede al secondo, il secondo al terzo e il terzo al primo, troverai il modo della soluzione nella quarta parte di questo capitolo e anche nella seconda parte dell'elchatain

	x₁ + 7	= 5 (x₂ + x₃ - 7 )
	x₂ + 9	= 6 (x₃ + x₁ - 9 )
	x₃ + 11	= 7 (x₁ + x₂ - 11 )

Dello stesso in un altro modo.

pg.199

(XII.3.74 ; G: XII.266) A

ncora ci sono tre uomini; e il primo, avuti 7 denari dagli altri, abbia cinque volte tanto quelli e uno in più. Il secondo, avutone 9 dagli altri, abbia sette volte tanto quelli e uno in più: il terzo, avuti 11 dagli altri, abbia sette volte tanto rispetto a loro, e similmente uno in più. In questo problema, poi, devono essere considerate due somme, la maggiore delle quali è la quantità di quei tre; la minore è di 1 in meno della maggiore. E poiché il primo con i 7 denari degli altri ha cinque volte tanto degli stessi, e 1 in più, è necessario che lo stesso abbia i

6 della somma minore meno 6 denari: per ciò quindi troverai che il secondo, con i 9 denari degli altri, ha i

7 della somma minore meno 8 denari, avendo egli, con 9 denari, sette volte tanto quanto gli altri, e 1 in più. E ancora, poiché il terzo, avuti 11 denari degli altri, ha sette volte tanto quanto gli stessi, e 1 in più, non si dubiti che egli abbia i

8 della somma minore, meno 10 denari: quindi fra tutti hanno

6 della somma minore, meno 6 denari, e 8, e 10, cioè meno 24 denari: essi hanno anche la somma maggiore: e

6 della somma minore, meno 24 denari, fanno la somma maggiore. Perciò se di lì si sottrae l'1 nel quale la somma maggiore eccede la minore, resteranno

6 della somma minore, meno i 25 denari uguali alla stessa somma minore. Per cui i

6 della somma minore eccedono la stessa somma di 25: perciò, come abbiamo fatto nel precedente problema, moltiplicherai 140 per 25, e dividerai per 263 e avrai per i

6 della somma minore

263

13: da cui sottrai il 6, che il primo ha in meno dai

6 della somma minore, farà

263

7; e tanto ebbe il primo. Ancora moltiplicherai 144 per 25, e dividerai per 263; e per i

7 della somma minore, avrai

181

263

13, da cui sottrai l’8 che il secondo ha in meno dai

7 della somma minore, resterà

181

263

5; e tanto ha il secondo. Ancora moltiplicherai 147 per 25, e dividerai per 263, e avrai per i

8 della somma minore

256

263

13: da cui, sottratto il 10 che il terzo ha in meno dai

8 della somma minore, resterà

256

263

3; e tanto ebbe il terzo.

	x₁ + 7	= 5 (x₂ + x₃ - 7 ) + 1
	x₂ + 9	= 6 (x₃ + x₁ - 9 ) + 1
	x₃ + 11	= 7 (x₁ + x₂ - 11 ) + 1

m₁ = x₁ + x₂ + x₃

m₂ = x₁ + x₂ + x₃ - 1

pg.200

(XII.3.75 ; G: XII.271) A

ncora il primo chieda agli altri 7; e abbia 1 più il loro quintuplo; il secondo ne chieda 9; e abbia 2 più il loro sestuplo. Il terzo chieda agli altri 11, e abbia 3 più il loro settuplo. In questo problema, poi, sono da considerare quattro somme, la prima e la maggiore delle quali, è la quantità dei loro denari. La seconda è 1 in meno. La terza è 2 in meno della prima, o 1 in meno della seconda. La quarta è la minore, è 3 in meno della prima, o 2 in meno della seconda, o 1 in meno della terza. E poiché il primo, avuti 7 denari dagli altri uomini, ha il quintuplo di essi, più 1, è necessario che egli abbia i

6 della seconda somma meno 6; perché gli rimane 1 denaro dei 7 detti prima, senza il quale si fa la seconda somma. Da ciò inoltre potrai comprendere che il secondo ha

7 della terza somma meno 7; per cui gliene avanzano 2, dai 9 che chiede agli altri. E il terzo ne ha 3, sottratti 11, cioè 8 in meno dei

8 della somma minore: e comprese così queste cose, puoi ridurre i denari di ciascuno di loro nella parte di qualunque delle quattro somme dette: si riducono infatti nella somma minore nel modo seguente. Poiché la seconda somma è di 2 in più della minore, allora

6 della seconda somma saranno i

6 di 2 denari, cioè

1 più i

6 della somma minore. Per cui, avendo il primo

6 della seconda somma, meno 6, avrai

6 della minore meno

4: perché sottratto

1 da 6, resta

4. Ancora, poiché la terza somma è di 1 in più della minore, i

7 della terza somma saranno i

7 di quella più i

7 della somma minore. Per cui, avendo il secondo i

7 della terza somma, meno 7, avrai i

7 della minore, meno

6 denari: e il terzo uomo ha i

8 della somma minore meno 8 denari: quindi tra tutti hanno

6 della somma minore, meno

4 denari, più

6 più 8, cioè meno

18: e hanno anche 3 in più della somma minore, cioè la somma maggiore. Perciò sottratti questi 3 ugualmente da entrambe le parti uguali resteranno i

6 della somma minore, meno

21 denari uguali alla somma minore: perciò, secondo ciò che abbiamo detto prima, moltiplicherai i

6 di 168, cioè 140, per

21, e dividi il totale per 263 e sottrai di lì

4 e troverai che il primo

263

7. Di nuovo moltiplicherai

21 per 144, che è i

7 di 168, e dividi il totale per 263; e sottrarrai di lì

6 , e avrai

162

263

5 denari del secondo. Ancora moltiplicherai

21 per 147, che è i

8 di 168, e dividerai per 263, e sottrarrai di lì 8, e avrai come denari del terzo

263

4: da tutto ciò puoi davvero comprendere in modo sufficientemente chiaro se dalle loro moltiplicazioni sarà stato sottratto qualcosa, e anche [ potrai ] riguardo a di più uomini, quando uno di loro chieda a tutti gli altri.

	x₁ + 7	= 5 (x₂ + x₃ - 7 ) + 1
	x₂ + 9	= 6 (x₃ + x₁ - 9 ) + 2
	x₃ + 11	= 7 (x₁ + x₂ - 11 ) + 3

m₁ = x₁ + x₂ + x₃

m₂ = x₁ + x₂ + x₃ - 1

m₃ = x₁ + x₂ + x₃ - 2

m₄ = x₁ + x₂ + x₃ - 3

Altro modo fra tre uomini.

pg.201

(XII.3.76 ; G: XII.277) V

i sono ancora tre uomini, il primo e il secondo dei quali chiedano al terzo uomo 7 denari; e abbiano il suo quintuplo. Il secondo anche, e il terzo chiedano al primo 9 denari e abbiano il suo settuplo. Il terzo e il primo chiedano al secondo 11; e abbiano il suo settuplo. Poiché il primo e il secondo, avuti 7 denari dal terzo, hanno il suo quintuplo, è necessario che il terzo uomo abbia

6 di tutta la somma, e in più 7 denari. Similmente, dalle richieste e dai rapporti degli altri uomini si comprende che il primo ha

7 di tutta la somma, e 9 denari; il secondo

8 della stessa somma e 11 denari: quindi tra tutti hanno

6, e 27 denari. Perciò poni che tutti insieme abbiano 168,

6 dei quali, cioè 28,

7, cioè 24, e

8, cioè 21,sommati insieme fanno 73, dal quale fino a 168 sono 95; volendo che il 95 fosse 27, per avere

6 di tutta la loro somma moltiplicherai 27 per 28, e dividerai per 95, farà

7; al quale somma il 7 che il terzo uomo ha in più a

6 di tutta la somma, farà

14; e tanto ebbe il terzo. E moltiplica 27 per 24, e dividi per 95, e in più somma 9, farà

15; e tanto ebbe il primo. E ancora, moltiplicherai 27 per 21, e dividerai per 95, e sommerai 11, farà

16; e tanto ebbe il secondo; ebbene puoi anche operare con più uomini quando i rimanenti chiedano a uno di loro alla volta qualche numero e lo superino in qualche molteplicità. Anche se non dimenticherai le cose dette sopra, potrai operare con l'aumento o la diminuzione di quelle molteplicità.

	x₁ + x₂ + 7 = 5 (x₃ - 7 )
	x₂ + x₃ + 9 = 6 (x₁ - 9 )
	x₃ + x₁ + 11 = 7 (x₂ - 11 )

Stesso problema insolubile tra quattro uomini.

(XII.3.77 ; G: XII.281) Q

uattro uomini hanno dei denari, il primo e il secondo di essi chiedono agli altri 7 denari; e pongono di avere il triplo di essi. Il secondo e il terzo chiedono agli altri 8, così da averne il quadruplo di essi. Il terzo e il quarto chiedono agli altri 9; e hanno quintuplo di loro. Il quarto e il primo ne chiedono 11, e li superano del sestuplo: si chiede quanto abbia ciascuno di essi. Questo problema è insolubile; e lo si capisce così: poiché il primo e il secondo con i 7 denari degli altri hanno avuto tre volte tanto di essi, allora avranno i

4 dell'intera somma dei loro denari; e al terzo e al quarto uomo resterà

4 di tale somma: quindi tra il terzo e il quarto uomo hanno

4 di tutta somma, e 7 in più, che danno al primo e al secondo uomo. Similmente dalle richieste e dalle affermazioni degli altri, troverai che tra il quarto e il primo uomo hanno

5 della somma totale e 8 denari; e tra il primo e il secondo hanno

6 della detta somma, e 9 denari; e tra il secondo e il terzo hanno

7 di tale somma e in più 11 denari. E poiché tra il primo e il secondo hanno

6 dell'intera somma, e 9 denari; e tra il terzo e il quarto hanno

4 della stessa somma, e in più 7 denari, allora tra tutti e quattro hanno

4 della detta somma, e 16 denari. Perciò la loro somma è il numero da cui sottratti

4, resta 16: con la regola del secondo albero troverai che questo numero è

27. Ancora poiché tra il quarto e il primo hanno

5 di tutta la loro somma, e 8 denari; e tra il secondo e il terzo hanno

7, e 11 denari; quindi la somma di quei quattro uomini sarà

5 della somma stessa con 19 denari. Perciò la loro somma è quel numero dal quale sottratti

5, resta 19: troverai con la regola dell’albero, che questo numero è

82; ciò è impossibile, poiché con la prima ricerca trovammo che la loro somma è un'altra, cioè

27: quindi questo problema è insolubile.

	x₁ + x₂ + 7 = 3 (x₃ + x₄ - 7 )
	x₂ + x₃ + 8 = 4 (x₄ + x₁ - 8 )
	x₃ + x₄ + 9 = 5 (x₁ + x₂ - 9 )
	x₄ + x₁ + 11 = 6 (x₂ + x₃ - 11 )

Il sistema è incompatibile

(XII.3.78 ; G: XII.286) E se invece vogliamo proporne uno solubile, il primo e il secondo chiedano agli altri 100 denari; il secondo e il terzo 106 denari; il terzo e il quarto 145; il quarto e il primo 170; e troverai, con entrambe le ricerche, che la loro somma è 420 di essa tra primo e il secondo ne hanno

6 e 145, cioè 215; tra il secondo e il terzo hanno

7 di 420 e 170, cioè 230; e tra il terzo e il quarto hanno

4di 420 e 100 in più, cioè 205; e tra il quarto e il primo hanno

5di 420 e 106 denari, cioè 190: dividili tra loro a piacere, cioè: poiché il primo e il secondo ne hanno 215, il primo allora ne abbia 100 e il secondo 115: avendone il secondo insieme al terzo uomo 230, sottrai di lì i 115 che ha il secondo, resteranno al terzo 115 denari: avendone questo terzo, insieme al quarto uomo, 205, sottrai di lì 115 , che ha il terzo, resteranno al quarto uomo 90 denari.

	x₁ + x₂ + 100 = 3 (x₃ + x₄ - 100 )
	x₂ + x₃ + 106 = 4 (x₄ + x₁ - 106 )
	x₃ + x₄ + 145 = 5 (x₁ + x₂ - 145 )
	x₄ + x₁ + 170 = 6 (x₂ + x₃ - 170 )

Il sistema è compatibile
e ha infinite soluzioni

Simile problema con 5 uomini..

pg.202

(XII.3.79 ; G: XII.288) P

arimenti gli uomini siano cinque; e il primo, il secondo e il terzo chiedano al quarto e al quinto uomo 7 denari e abbiano due volte tanto di essi. Il secondo, e il terzo e il quarto chiedano al quinto e al primo 8 denari; e abbiano tre volte tanto di essi. Il terzo, e il quarto, e il quinto chiedano al primo e al secondo 9 denari; e abbiano il loro quadruplo. Il quarto, e il quinto e il primo chiedano al secondo e al terzo 10 denari; abbiano il loro quintuplo. Il quinto, e il primo, e il secondo chiedano al terzo e al quarto 11 denari; e abbiano il loro sestuplo. Poiché il primo e il secondo, e il terzo con i 7 denari del quarto e del quinto hanno il doppio di questi, è necessario che il primo, e il secondo, e il terzo abbiano i

3 di tutta la somma, meno gli stessi 7; e il quarto e il quinto abbiano

3 di tale somma, e in più 7. Similmente dalle richieste e dalle affermazioni degli altri si capisce che tra il quinto e il primo hanno

4 di tutta la loro somma, più 8 denari. E tra il primo e il secondo hanno

5di tutta la somma, e 9 denari. E tra il secondo e il terzo hanno

6 di tutta la somma, e 10 denari. E tra il terzo e il quarto hanno

7 di tutta la somma, e 11 denari: per cui tra tutti hanno la metà di

3della somma, e la metà di 7 denari, e 8, e 9, e 10, e 11, cioè di 45 denari, poiché ciascuno nelle parti prescritte, e nei numeri è contato due volte. Perciò trova il numero in cui si trovino

3, sarà 420; duplicalo per avere la loro doppia computazione, farà 840: e prendi

3 di 420, e sottrailo da 840, resta 381, che si vorrebbe fosse 45. Perciò moltiplicherai 45 per 420, e dividerai per 381, e avrai come loro somma

127

49: di ciò il quarto più il quinto ne hanno la terza parte, e 7 in più, cioè

127

23. E tra il quinto e il primo ne hanno la quarta parte, e 8 in più, cioè

127

20. E tra il primo e il secondo hanno la quinta parte, più 9, cioè

117

127

18. E tra il secondo e il terzo hanno la sesta parte, e 10 in più, cioè

127

18. E tra il terzo e il quarto hanno la settima parte più 11 di questa somma, cioè

127

18. Quindi per separare i denari dell’uno dai denari dell’altro, somma i denari del primo e del secondo, cioè

117

127

18, con i denari del terzo e del quarto, cioè con

127

18: farà

127

37: il resto, poi, che c'è fino alla somma di tutti loro, cioè a

127

49, lo ha il quinto uomo; questo resto è

127

12: sottratti questi dai denari del quinto e del primo, resteranno al primo

102

127

7; sottratta questa parte ai denari del primo e del secondo, resteranno al secondo

127

11; sottratti questi dai denari del secondo e del terzo resteranno al terzo uomo

127

7; sottratti questi dai denari del terzo e del quarto, al quarto uomo resteranno

119

127

10.

	x₁ + x₂ + x₃ + 7 = 2 (x₄ + x₅ - 7 )
	x₂ + x₃ + x₄ + 8 = 3 (x₅ + x₁ - 8 )
	x₃ + x₄ + x₅ + 9 = 4 (x₁ + x₂ - 9 )
	x₄ + x₅ + x₁ + 10 = 5 (x₂ + x₃ - 10 )
	x₅ + x₁ + x₂ + 11 = 6 (x₃ + x₄ - 11 )

pg.203

(XII.3.80 ; G: XII.294) A

ltrimenti, dal momento che tra il secondo più il terzo, come si è mostrato più sopra, hanno

6 di tutta la somma dei cinque uomini, più 10 denari; e tra il quarto e il quinto hanno

3 di tale somma, più 7 denari; quindi tra tutti e quattro hanno

6 e

3, cioè

2 della somma più 17 denari. Perciò al primo resta

2 della somma stessa, meno quei 17 . Similmente poiché tra il terzo e il quarto hanno

7della somma e 11 denari; e tra il quinto e il primo hanno

4 della somma e 8 denari; allora questi stessi quattro hanno

4, cioè

28 della somma, e 19 denari: perciò al secondo uomo rimane il resto della somma, cioè

28 meno 19. Similmente se sommerai la parte del quarto e del quinto con la parte del primo e del secondo, cioè

3 della somma più 7 denari con

5 [della somma] più 9 denari, farà

15 della somma più 16 denari: sottratti questi dalla somma, restano per il terzo uomo

15 della somma meno gli stessi 16. Ancora, sommata la parte del quinto e del primo con la parte del secondo e del terzo, cioè

4 della somma, e 8 denari con

6 della somma più 10 denari, fanno

12 della somma e 18 denari. Perciò restano al quarto uomo

12 della somma meno quei 18. E ancora, sommata la parte del primo e del secondo con la parte del terzo e del quarto, cioè

5 della somma più 9 con

7 della somma più 11, fanno

35 della somma e 20 denari: perciò restano al quinto uomo

35, meno quei 20. Trovata, poi, la parte di ciascuno in ordine, puoi operare con la prima regola dei tre uomini.

Di un uomo che si diresse a Costantinopoli per vendere tre perle.

(XII.3.81 ; G: XII.298) U

n certo mercante portò a Costantinopoli

^(PdA)

Di uno statuto a sé stante gode il nome della città di Constantinopolis. Accanto al genitivo Constantinopolis l’unica altra forma tramandata unanimemente dalla tradizione manoscritta è Constantinopolim, che assolve la funzione di accusativo con o senza preposizione in dipendenza da verbi di movimento. [PdA,pag.8]

tre perle da vendere

^(PdA)

Spesso ad + acc. del gerundio assume anzi un valore consecutivo, simile a quello che in italiano ha l’infinito preceduto dalla preposizione da. [PdA,pag.12]

. Una delle quali valeva una certa somma. La seconda il doppio della prima. La terza poi il doppio della seconda, meno un terzo di un bizante. E il commercio di Costantinopoli esigeva un decimo delle predette perle come diritto di commercio. Il mercante quindi vendette la prima delle perle, cioè la meno pregiata; e pagò all'esattore la decima di tutte le predette perle; e ciò che gli avanzò fu

8 del prezzo della seconda perla e

21 bizanti. Si chiede il prezzo di ciascuna perla: e così dunque bisogna fare: poniamo un qualche numero come prezzo della prima perla, diciamo 10; per la seconda allora 20; per la terza pure

39, cioè il doppio del prezzo della seconda perla, meno

3 di un bizante: sommati questi, faranno tutti insieme

69: dei quali prendine

10, che è

6; di questi fino a 10, cioè al prezzo della prima perla, ne mancano

3; da questo sottrai

8 di 20 , cioè del prezzo della seconda perla, che è

2, restano

30; che sottrarrai da

21, resta

20, che devi serbare. E poni questo problema, che la prima perla valga qualcosa. La seconda il doppio. La terza valga il quadruplo della prima. E sottratta la tassa di commercio dal prezzo della prima perla, resti

8 del prezzo della seconda, più

20 bizanti. Poi poni a piacere 20 come prezzo della prima perla; e per la seconda 40; e per la terza 80: questi, sommati assieme, fanno 140; di cui

10, cioè 14, sottrailo da 20, cioè dal prezzo della prima perla, resta 6; da cui sottrai

8 del prezzo della seconda perla, cioè da 40, cioè 5, resta 1: che volendo che fosse

20, moltiplica

20 per 20 e dividilo per 1, farà 418; a cui somma i 10 bizanti che ponemmo per la prima perla, faranno 428 bizanti come prezzo della prima perla. Perciò il prezzo della seconda è 856 e quello della terza è

1711.

Dello stesso argomento con la regola retta.

(XII.3.82 ; G: XII.302) P

oni come prezzo della prima perla una cosa. Perciò il prezzo della seconda sarà di due cose; della terza di quattro meno

3 di un bizante; queste messe insieme sono 7 cose, meno

3 di un bizante; sottrai da una cosa

10 di questi, cioè

10 di una cosa meno

30 di bizante, cioè dal prezzo della prima perla, resterà

10 di una cosa e

30 di un bizante, che equivalgono a

8 del prezzo della seconda perla e di

21 bizanti, cioè

4 della prima perla e

21 bizanti. Da entrambe le parti si sottragga

30 di un bizante, resteranno

10 di una cosa, che equivalgono a

4 di una cosa, e

21 bizanti. Ancora da entrambe si sottragga

4 di una cosa, resterà

20 di una cosa uguale a

21 bizanti. Perciò venti volte

20 di una cosa, cioè la cosa, equivarrà al multiplo di

21 bizanti, cioè 428 bizanti, dunque il prezzo della prima perla è 428 come abbiamo detto. C'è invero un altro modo che si chiama regola inversa [letteralmente: rovesciata]; con la quale anche si possono risolvere molti problemi: infatti con la regola retta andiamo dall'inizio alla fine del problema; con l’inversa facciamo il contrario; vogliamo mostrarlo in questo problema: nel quale si propone che oltre a

10 del prezzo delle tre perle sottratto dalla prima perla, sia rimasto

8 del prezzo della seconda più

21 bizanti; cominciamo da ciò: poiché il prezzo della seconda perla è il doppio del prezzo della prima, allora

8 del prezzo della seconda è quanto

4 del prezzo della prima. Quindi dal prezzo della prima perla, che poni sia una cosa, restò

4 di esso e in più

21 bizanti, dopo il pagamento del predetto

10; questo

10, come è stato detto sopra, fu

10 di una cosa, meno

30 di un bizante. Ma poiché dalla cosa si sottrae

4 di essa e

21 bizanti, restano

4 della cosa meno e

21 bizanti, che equivalgono a

10 di una cosa meno

30 di un bizante. Se a entrambe le parti si somma

21 bizanti, saranno

4 di una cosa, che equivalgono a

10della stessa e

21 bizanti. Perciò se a entrambe le parti si sottrae

10 di una cosa, resterà

20 della cosa uguale a

21 bizanti, come abbiamo trovato con la regola diretta.


x - 1 10	7 x - 1 3	= 1 8 2 x + 13 30 + 21

3 10 x = 1 4 x + 2 5 + 21

x -

Tre perle in altro modo.

(XII.3.83 ; G: XII.306) V

alga inoltre la seconda perla un quarto di un bizante più il doppio del prezzo della prima. Anche la terza valga il doppio della seconda meno un terzo di un bizante. Se vuoi trovare la soluzione di questo problema con la regola retta, poni che la prima valga una cosa, Perciò la seconda varrà 2 cose, aggiunto un quarto di bizante. E la terza varrà quattro cose, più un sesto di bizante: che, sommate tutte insieme, saranno sette cose più un quarto, più un sesto di bizante; la decima delle quali, che è

10 di una cosa più

24 bizante, sottratta dalla cosa, cioè dal prezzo della prima perla, resta

10 di una cosa meno

24 di un bizante che equivale a

8 della seconda più

21 bizanti. Ma

8 della seconda equivale a

4 della prima più

32 di bizante; quindi

10 di una cosa meno

24 di bizante equivale a

4 di una cosa più

21. Se a entrambe le parti si somma

24 di bizante, farà

10 di una cosa che equivale a

4 di una cosa e

21 bizanti: se ad entrambe si sottrae

4 di una cosa, resta

20 di una cosa che equivale a

21: completa quindi la tua cosa, cioè moltiplica

21 per 20; questa moltiplicazione di solito si fa così: si moltiplica dapprima 20 per 21, fa 420; poi 20 per

3, fa

6; e 20 per

10, fa 2; e 20 per

24, fa

6; poi 20 per

32, fa

8: questi sommati insieme fanno

430 come prezzo della prima perla. Perciò il prezzo della seconda è

860; della terza

1720: quindi questo problema e quelli simili ad esso, si risolve certamente con il primo modo e anche con la regola inversa.


x - 1 10	x + 2 x + 1 4 + 4 x + 1 6	= 1 8	2 x + 1 4 + 13 30 + 21

3 10 x - 1 24 = 1 4 x + 1 32 + 13 30 + 21

Di tre uomini che sommarono somme diverse.

(XII.3.84 ; G: XII.309) T

re uomini trovano dei bizanti dei quali ciascuno di essi ne prese in misura diversa, così che la moltiplicazione dei bizanti del primo per un terzo della somma fa quanto la moltiplicazione dei bizanti del secondo per un quarto della somma; e quanto la moltiplicazione dei bizanti del terzo per un quinto della stessa somma. E queste tre moltiplicazioni uguali tra loro, riunite in una sola fanno la stessa somma di bizanti, che quei tre uomini avevano trovato. Si chiede quale fu quella somma e quanto ciascuno ebbe preso di essa. E così poni che il primo prendesse 3 bizanti; e il secondo 4; e il terzo 5: perché la moltiplicazione di un numero qualunque per la terza parte di tre fa quanto la moltiplicazione di quello stesso numero per la quarta parte di 4 o per la quinta parte di 5; dunque anche la moltiplicazione del terzo di un numero qualunque per 3 fa quanto la moltiplicazione di un quarto dello stesso numero per 4, e quanto la moltiplicazione di un quinto dello stesso numero per 5: somma 3 e 4 e 5, farà 12 come somma dei bizanti trovati: e moltiplica così il 3, cioè i bizanti del primo per un terzo della somma, cioè per 4, farà 12, serbalo; poi moltiplica ancora i bizanti del secondo, cioè 4, per un quarto della somma, cioè per 3, farà similmente 12, serbalo; e moltiplica di nuovo i bizanti del terzo, cioè 5, per un quinto della somma, cioè per

2, farà similmente 12. Somma dunque queste tre moltiplicazioni, farà 36, che si vorrebbe fossero 12: perciò dirai: per il 3, che pongo come quantità di bizanti del primo, fa 36; cosa porrò affinché faccia solo 12: moltiplicherai dunque 3 per 12, e dividerai per 36, farà 1 bizante; e tanto prese il primo uomo dai bizanti trovati. E nello stesso modo moltiplica il 4, cioè i bizanti del secondo, per 12, e dividi per 36, farà

1 bizanti, e tanto prese il secondo uomo di quei bizanti. Ancora nel modo scritto sopra moltiplica i 5 bizanti del terzo uomo per 12, e dividi ancora per 36, farà

1 bizanti come quantità trovata dal terzo uomo.

S = P₁

P₂

P₃

P₁

P₂

P₃

P₁

P₂

P₃

5 = S

P₁

k P₂

k P₃

(XII.3.85 ; G: XII.313) A

ltrimenti per

3 scritti sopra poni 3, e 4, e 5, e sommali insieme, farà 12; che dividi per il numero degli uomini, cioè per 3, farà 4; e tanti bizanti trovarono quelli; il primo dei quali ne a prese i

3, cioè 1 bizante; il secondo

3, cioè

1 bizante. Il terzo prese

3 di un bizante, cioè

1 bizante, come dicemmo prima.

Dello stesso con cinque uomini.

(XII.3.86 ; G: XII.314) A

ncora cinque uomini trovarono dei bizanti, e ciascuno di nuovo ne prese quantità disuguali; così che la moltiplicazione dei bizanti del primo per un terzo della somma fa quanto la moltiplicazione dei bizanti del secondo per un quarto della somma; e quanto la moltiplicazione dei bizanti del terzo per un quinto della stessa somma; e quanto la moltiplicazione dei bizanti del quarto uomo per un sesto della somma. E anche quanto la moltiplicazione dei bizanti del quinto uomo per un settimo della stessa somma: e queste cinque moltiplicazioni, sommate assieme, fanno la stessa somma trovata. E anche potendo questo problema essere risolto per la prima regola, cioè con il modo degli alberi; tuttavia desideriamo mostrare in quale altro modo si possa risolvere. Per i predetti

3 e

4 e

5 e

6 e

7 poni in successione 3 e 4 e 5 e 6 e 7, e sommali insieme, farà 25; e tanti quinti si sono procurati; poiché le moltiplicazioni uguali furono 5, di questi quinti il primo ha preso

5 di un bizante, il secondo

5, il terzo

5, cioè 1 bizante, il quarto

5, cioè

1, il quinto

5, cioè

1 bizanti.

Altro modo con cinque uomini.

(XII.3.87 ; G: XII.316) A

ncora, cinque uomini trovarono dei bizanti, di cui ciascuno di essi ne ottenne in misura diversa così che la moltiplicazione dei bizanti del primo per un terzo della somma, cioè la moltiplicazione di tutta la somma per la terza parte dei bizanti del primo, fa un qualche numero. E la moltiplicazione della quarta parte di tutta la somma per i bizanti del secondo uomo, o il contrario, fa il doppio della suddetta moltiplicazione del primo uomo; e la moltiplicazione dei bizanti del terzo per la quinta parte della somma, o il contrario, fa il triplo della moltiplicazione del secondo uomo, cioè il sestuplo della moltiplicazione del primo. E la moltiplicazione dei bizanti del quarto per la sesta parte della somma, o il contrario, fa il quadruplo della moltiplicazione del terzo uomo, cioè ventiquattro volte la moltiplicazione del primo uomo. Ugualmente anche la moltiplicazione dei bizanti del quinto uomo per la settima parte della somma, o la settima parte dei bizanti di quel quinto uomo per l'intera somma, fa il quintuplo della moltiplicazione del quarto uomo, cioè centoventi volte la moltiplicazione del primo uomo. E queste cinque moltiplicazioni, sommate in una, fanno la stessa somma trovata. Si chiede quale fu quella somma; e quanto ciascuno prese da essa. Poiché si pone che la moltiplicazione di tutta somma per la terza parte dei bizanti del primo faccia un certo numero, bisogna porre che il primo uomo trovò un qualche numero di bizanti che sia divisibile per

3. Si ponga dunque che egli raccogliesse 3 bizanti, la terza parte dei quali è 1; che moltiplicato per la somma di tutti i bizanti fa un qualche numero, cioè la stessa somma. E poiché prima è stato posto che la moltiplicazione della quarta parte dei bizanti del secondo uomo per l'intera somma fa il doppio della moltiplicazione della terza parte dei bizanti del primo per quella stessa somma, si deve porre che il secondo raccogliesse un numero tale di bizanti, la quarta parte dei quali sia il doppio della terza parte dei bizanti del primo; e quel numero sarà 8. La quarta parte del quale è 2, che è il doppio della terza parte dei bizanti del primo, cioè di 1. Ugualmente poiché si è posto prima che la moltiplicazione della quinta parte dei bizanti del terzo uomo per l'intera somma faccia il triplo della moltiplicazione della quarta parte dei bizanti del secondo per la stessa somma; bisogna quindi, che il terzo uomo mettesse insieme tanti bizanti, la quinta parte dei quali sia il triplo della quarta parte dei bizanti del secondo: dunque porrai, che egli raccoglieva 30 bizanti, la quinta parte dei quali, cioè 6 bizanti, è il triplo della quarta parte dei bizanti del secondo, cioè di 2. E ancora poiché si pone che la moltiplicazione della sesta parte dei bizanti del quarto uomo per la somma scritta sopra faccia il quadruplo della moltiplicazione della quinta parte dei bizanti del terzo, per la stessa somma bisogna porre che questo quarto uomo raccoglieva tanti bizanti, la sesta parte dei quali faccia il quadruplo della quinta parte dei bizanti del terzo uomo; saranno 144 bizanti, la sesta parte dei quali sono 24 bizanti, che sono il quadruplo della quinta parte dei bizanti del terzo uomo, cioè di 6. Ancora, poiché si pone che la moltiplicazione della settima parte dei bizanti del quinto uomo per l'intera somma faccia il quintuplo della moltiplicazione della sesta parte dei bizanti del quarto uomo per la stessa somma, bisogna che si ponga che il quinto uomo raccogliesse 840 bizanti. Perché la settima parte di questi è 120 bizanti, che sono il quintuplo di 24 bizanti, cioè della sesta parte dei bizanti del quarto uomo. Fatto ciò, riunirai le prescritte parti di bizanti in una, cioè i 3 bizanti del primo uomo, e gli 8 bizanti del secondo, e i 30 bizanti del terzo, e i 144 bizanti del quarto, e gli 840 bizanti del quinto, saranno 1025 bizanti che è il numero posto per la somma ottenuta.

S = P₁

P₂

P₄

P₃

P₅

P₂

P₁

;

P₃

P₂

;

P₄

P₃

;

P₅

P₄

P₁

P₂

P₃

P₄

P₅

S = S

P₁

P₂

P₃

P₄

144

P₅

840

1025

(XII.3.88 ; G: XII.323) P

oi vedi a quanto ammontano le cinque moltiplicazioni scritte sopra per la somma stessa. Certo la moltiplicazione della terza parte dei bizanti del primo per la somma, cioè 1 per 1025, fa 1025 una volta sola: perciò serberai 1 da parte. Ancora la moltiplicazione della quarta parte dei bizanti del secondo, cioè 2, per tutta la somma, cioè per 1025, fa due volte 1025: perciò serberai 2. E la quinta parte dei bizanti del terzo uomo, cioè 6, moltiplicata per il prescritto 1025 , farà sei volte 1025: perciò serberai di nuovo 6. E di nuovo, la sesta parte del quarto uomo, cioè 24, moltiplicata per 1025, fa 24 volte 1025: perciò serberai 24: infine la settima parte dei bizanti del quinto uomo, cioè 120 bizanti, moltiplicata per la somma prescritta, cioè per 1025, fa centoventi volte 1025: perciò serberai 120; che sommerai con 24, e con 6, e con 2, e con 1 serbati, farà 153: quindi nelle prescritte cinque moltiplicazioni ci saranno centocinquantatre volte 1025: e poiché queste cinque moltiplicazioni non devono fare più di una volta quella stessa somma, dirai: per il 3, che pongo nell’insieme dei bizanti, viene 153 volte quella somma; cosa porrò, perché questa venga sola una volta: moltiplicherai quindi 3 per 1, e dividerai per 153, farà

153 di un bizante; e tanto ha il primo uomo della somma trovata. Similmente se avrai fatto questo con i bizanti posti per gli altri quattro uomini, cioè con gli 8 bizanti del secondo uomo; e con i 30 bizanti del terzo uomo; e con i 144 bizanti del quarto; e con gli 840 bizanti del quinto uomo, troverai che il secondo uomo ha raccolto dalla somma trovata

153 di un bizante; e il terzo uomo ne ha raccolto

153, e il quarto

144

153, e il quinto

840

153, cioè

153

5 bizanti: somma quindi questi cinque insiemi in uno, fa

1025

153, cioè

107

153

6 bizanti; e tanto essi hanno ottenuto.

Di due uomini che hanno trovato dei bizanti.

pg.207

(XII.3.89 ; G: XII.328) D

ue uomini hanno trovato dei bizanti, e ciascuno ne raccoglie in misura diversa; e quello che raccoglie il primo fu

3 di ciò che raccoglie il secondo; e il primo, lucrando con la sua parte, di 11 bizanti ne fece 12. E l'altro invece da 13 bizanti ne fece 14; e così insieme ebbero 100 bizanti. Si chiede quanto sia la somma trovata; e quanto ciascuno prese di essa. Certo troverai dapprima il numero nel quale si trovino

3, sarà 39; e poni che tanto abbia raccolto il secondo: di questo prendi

3, cioè 16; e poni tanti bizanti come quantità del primo; poiché il primo di 11 ne ha fatti 12, moltiplica i 16 bizanti per 12, e dividi per 11, farà

17, serbalo: poi poiché il secondo di 13 ne fece 14, moltiplica 39 per 14, e dividi per 13, faranno 42 bizanti; sommali con

17, faranno

59 bizanti, che si vorrebbe fossero 100 bizanti: perciò moltiplicherai 16 per 100 e dividerai per

59, farà come parte del primo uomo

109

26 bizanti. Ugualmente, allo stesso modo, moltiplica i 39 bizanti per 100, e dividi per

59, farà come parte del secondo uomo,

109

65 bizanti; sommati questi con i

109

26 bizanti del primo uomo, fanno

109

92 bizanti come intera somma.

p₁ =	1 3 + 1 13	p₂

12 11 p₁ + 14 13 p₂ = 100

Divisione di 11 in due parti.

(XII.3.90 ; G: XII.331) D

ividi 11 in due parti, una delle quali moltiplicata per 9 faccia quanto l'altra moltiplicata per 10: bisogna dapprima capire che la moltiplicazione di una parte qualunque di un numero per il numero dal quale la stessa parte trae origine, fa quanto la moltiplicazione di un’altra parte dello stesso numero per il numero dal quale è tratta la stessa parte. Ad esempio, senza dubbio la moltiplicazione di un terzo di un qualunque numero per 3, trae origine da questo

3, fa quanto la moltiplicazione di un quarto dello stesso numero per il 4 [e] trae origine da questo

4: perciò un nono di un numero, moltiplicato per 9, fa quanto

10 dello stesso numero moltiplicato per 10. Perciò la proporzione che c'è fra un decimo di un numero e un nono dello stesso numero è la stessa che c'è fra una parte di 11 e l'altra. Perciò bisogna trovare il numero nel quale si trovino

9, e sarà 90, i cui

9 e

10 sono 10 e 9: quindi la moltiplicazione di 9, cioè della decima parte di 90, per 10 fa quanto la moltiplicazione di 10, cioè

9 di 90, per 9: per cui somma 9 e 10, farà 19 che si vorrebbe fosse 11: moltiplica quindi 10 per 11, e dividi per 19, farà

195 e tanto sarà una parte; il resto poi che c'è fino all'11, cioè

195, sarà l'altra parte; che è il numero che risultò dalla moltiplicazione di 9 per 11 diviso per 19.

11 = a + b 9 a = 10 b

	1 n A	n =	1 m A	m

(XII.3.91 ; G: XII.334) A

ltrimenti poiché la moltiplicazione della prima parte per 9 è uguale alla moltiplicazione della seconda parte per 10, proporzionalmente come 10 sta a 9 così la prima parte sta alla seconda. Per cui 9 sommato a 10, cioè 19, starà al totale delle parti, cioè a 11, come 10 alla prima parte e 9 alla seconda. Perciò si devono moltiplicare 11 per 10 e per 9 e dividere entrambi le moltiplicazioni per 19.

10 : 9 = a : b

19 : (a + b) = 10 : a = 9 : b

(XII.3.92 ; G: XII.335) S

e invece vuoi procedere con la regola retta, poni come prima parte una cosa, per cui la seconda parte sarà 11 meno la cosa; e moltiplica la cosa, cioè la prima parte, per 9, farà 9 cose. Ugualmente moltiplica 11 meno la cosa, cioè la seconda parte per 10, farà 110 meno 10 cose, che è uguale alle 9 cose: perciò se all'una e all'altra parte si sommano 10 cose, saranno 19 cose che equivalgono a 110: dividi così 110 per 19, sarà come prima parte

195; che sottratto da 11, resteranno per la seconda parte

195, come abbiamo trovato più sopra.

a = x , b = 11 - x

x = 10

(11 - x)

Divisione di 11 in tre parti.

pg.208

(XII.3.93 ; G: XII.336) U

gualmente se avrai voluto dividere 11 in tre parti, la prima delle quali moltiplicata per 4 fa quanto l'altra moltiplicata per 5 e quanto l'altra moltiplicata per 6: poiché la moltiplicazione di un quarto di un numero per 4 fa quanto la moltiplicazione di un quinto di questo numero per 5, e quanto la moltiplicazione di un sesto dello stesso numero per 6, troverai il numero nel quale si trovino per

4, e sarà 60, la cui quarta parte è 15; un quinto è 12; un sesto è 10: somma quindi 15, e 12, e 10, e farà 37, che si vorrebbe fossero 11: perciò moltiplicherai 15, e 12, e 10 uno ad uno per 11, e dividerai ciascuna moltiplicazione per 37; e così avrai come prima parte

4; come seconda

3; come terza

2; e così potremmo dividere 11 e qualsiasi altro numero in più parti.

11 = a + b + c

a = 5

b = 6

Divisione di 11 in due parti secondo un altro metodo

(XII.3.94 ; G: XII.338) A

ncora se sia proposto di dividere 11 in due parti, una delle quali moltiplicata per 9 farà

30 più dell'altra moltiplicata similmente per 9; poiché la parte maggiore moltiplicata per 9 fa

30 più dell'altra moltiplicazione, dividi

30 per 9, farà

3; e in tanto la parte maggiore supera la minore: perché

3 moltiplicato per 9, fa

30; quindi sottrarrai

3 da 11, resterà

7, cioè

7; dividili in due parti uguali, farà

3 per una parte qualunque, e tanto fu la parte minore: il resto poi che c'è fino a 11, cioè

7, fu l'altra parte.

11 = a + b

b = 9

a +

4 + 30

Altro dello stesso.

(XII.3.95 ; G: XII.339) S

e per esempio si proponga di dividere 11 in due parti, la seconda delle quali, moltiplicata per 10, farà

30 più della moltiplicazione della prima parte per 9; sottrai da 11 il numero che quando è moltiplicato per 10, faccia

30: questo numero lo si trova, quando

30 si divide per 10; e quel numero sarà

3: sottratto il quale da 11, resta

7; dividilo in due parti secondo la regola scritta prima; così poiché la moltiplicazione della prima parte per 9 fa quanto l'altra moltiplicata per 10; e la prima parte sarà

3 e trovata sottraila da 11 che si fa col metodo che abbiamo descritto nel decimo capitolo : cioè prendi il 3, che è sopra il 4 e sottrailo dallo stesso 4, e il rimanente ponilo sopra il 4 della linea di frazione tracciata sotto la quale siano in ordine i rotti scritti sopra, cioè

; e per completare il 4, tieni in mano 1; sommalo con il 7 che sta sopra il 10, farà 8 : dal quale fino al 10 manca 2, ponilo sopra il 10; e per completare il dieci tieni l'1 ; che sommi con il 14, che sta sopra il 19, farà 15: dal quale fino al 19 ne manca 4, che poni sopra il 19 della linea di frazione tracciata; e per completare il 19 tieni l'1, sommalo con il 3 che sta davanti alla frazione e sottrailo dall'11, resterà 7, che poni davanti alla linea di frazione; e così avrai come seconda parte

11 = a + b

b = 9

a +

4 + 30

7 +

40 = a + b'

b' = 9

a =

b = 11 - a =

>>>

pg.209

(XII.3.96 ; G: XII.342) U

gualmente se sia proposto di dividere 11 in tre parti, la seconda delle quali moltiplicata per 5, fa 10 in più della moltiplicazione della prima per 4; e la moltiplicazione della terza per 6 faccia 11 in più della moltiplicazione della seconda per 5, cioè 21 in più della moltiplicazione della prima parte per 4. E così poiché l'ultima parte moltiplicata per 6 fa 21 in più della prima parte moltiplicata per 4; allora se da questa ultima parte si sottrae il numero che moltiplicato per 6 fa 21, cioè

3, che viene dalla divisione di 21 per 6, resta da quest'ultima parte il numero che, quando sarà stato moltiplicato per 6, farà quanto la prima parte moltiplicata per 4. Ugualmente poiché la seconda parte moltiplicata per 5 fa 10 in più della prima moltiplicata per 4; se dalla seconda parte si sottrae il numero che moltiplicato per 5 faccia 10, cioè 2, resterà da quella seconda parte il numero che moltiplicato per 5, farà quanto la prima parte moltiplicata per 4: quindi si sottragga 2, e

3 da 11, resterà

5; dividilo secondo la suddetta regola in tre parti, la seconda delle quali, moltiplicata per 5 e la terza moltiplicata per 6 fanno quanto la prima moltiplicata per 4; e la prima parte sarà

2, la seconda

1, la terza

1: somma quindi il 2 con la seconda parte, farà

3: similmente somma

3 con la terza parte, farà

4, e così puoi fare in casi simili.

11 = a + b + c

b = 10 + 4

c = 11 + 5

Di due numeri da trovare con una certa proporzione data

(XII.3.97 ; G: XII.345) C

i sono due numeri, dei quali

5 dell'uno è

7 dell'altro, e la loro moltiplicazione è quanto la loro addizione. Trova dapprima i due numeri dei quali

5 dell'uno è

7 dell'altro; e saranno 5 e 7. Ponili come numeri richiesti, e somma 5 con 7, farà 12. Ma la moltiplicazione di 5 per 7 fa 35; che volendo fosse 12, moltiplica 12 per 5, e 12 per 7, e dividi entrambe le moltiplicazioni per 35; e avrai come primo numero

1; come secondo

2. O altrimenti dividi il 12 scritto sopra per 7, e per 5.

a =

b
a

b = a + b
a

: b = 5 : 7

Altro

(XII.3.98 ; G: XII.346) E se sia proposto che la quinta parte di uno sommata con la settima dell'altro faccia quanto la moltiplicazione dei numeri tra loro; somma la quinta parte di 5, cioè 1, con

7 di 7, sarà 2; moltiplicalo per 5, e per 7, e dividi entrambe le moltiplicazioni per 35; o dividi quel 2 per 7, e per 5; e avrai

7 come primo numero; e

5 come secondo.

a =

a +

b = a

Altro

(XII.3.99 ; G: XII.347) E ancora, se sia proposto che la quinta parte di uno moltiplicata per la settima dell'altro faccia quanto la somma di un numero con l'altro; moltiplicherai la quinta parte di 5 per

7 di 7, cioè 1 per 1, farà 1 e sommi 5 con 7, come sopra, farà 12; che moltiplicherai per 5, e per 7, e dividerai entrambe le moltiplicazioni per 1, che fu il totale della moltiplicazione di 1 per l'1 detto sopra; e avrai come primo numero 60, il cui quinto è 12; come secondo avrai 84, il cui settimo è similmente 12, come è necessario: infatti la moltiplicazione di 12 per 12 fa quanto la somma di 60 con 84.

1 5 a = 1 7 b
	1 5 a			1 7 b		= a + b

Altro modo per trovare i due numeri

(XII.3.100 ; G: XII.348) U

gualmente un quinto di uno dei numeri sia un settimo dell'altro; e la quinta parte dell'uno moltiplicata per la settima dell'altro fa quanto la quinta parte dell'uno sommata con la settima dell'altro: moltiplicherai 1 per 1, come sopra, farà 1; e sommerai insieme questi 1, farà 2: per il quale moltiplicherai il 5 e il 7, e dividerai entrambe le moltiplicazioni per 1, e avrai come primo numero 10; come secondo 14.

1 5 a = 1 7 b
	1 5 a			1 7 b		= 1 5 a + 1 7 b

Altro problema su due numeri

(XII.3.101 ; G: XII.349) A

ncora, se sia proposto che un numero moltiplicato per l'altro faccia un qualche multiplo della loro somma, per dire il doppio: somma allora 5 con 7, farà 12; che raddoppierai, farà 24: moltiplicherai quindi 24 per 5, e 24 per 7; e dividerai entrambe le moltiplicazioni per la moltiplicazione di 5 per 7, cioè per 35, e avrai come primo numero

3; e come secondo numero

4: e nota che in tutti i suddetti problemi e anche nei seguenti, diamo sempre la divisione dal numero che si ottiene dalla moltiplicazione dei due numeri moltiplicati.

a =

b
a

b = 2

(

a + b

)

Altro problema su due numeri

(XII.3.102 ; G: XII.350) A

ncora se si sia proposto che l'addizione dei due numeri faccia un qualche multiplo della loro moltiplicazione, per dire il triplo: moltiplicherai 12, che è la somma di 5 e 7, per quei numeri, farà 60 e 84; dividilo per il detto multiplo della moltiplicazione di 5 per 7, cioè per il triplo di 35, cioè per 105, e avrai come primo numero

7 e come secondo

a =

b
3

b = a + b

Altro secondo un altro problema

pg.210

(XII.3.103 ; G: XII.351) D

i nuovo la moltiplicazione dei numeri per se stessi faccia un qualche multiplo, per esempio il quadruplo dell'addizione della quinta parte di un numero con la settima parte dell'altro: moltiplica per 5 e per 7 il quadruplo di 2, che è la somma della quinta parte di 5 con la settima parte di 7, cioè 8, farà 40 e 56; dividili per la moltiplicazione di 5 per 7, cioè per 35, e avrai come primo numero

1; e come secondo

1.
Ugualmente l'addizione della quinta parte di uno con la settima dell'altro faccia il quintuplo della moltiplicazione di un numero per l'altro: moltiplicherai il 2 scritto sopra per 5, e per 7, faranno 10, e 14; dividili per il quintuplo di 35, cioè per 175, e avrai come primo numero

35; come secondo numero

25.

1 5 a = 1 7 b
a b = 4		1 5 a + 1 7 b

5 a b =		1 5 a + 1 7 b

Un altro problema su due numeri

(XII.3.104 ; G: XII.352) E ancora, supponiamo che la moltiplicazione della quinta parte dell'uno per la settima parte dell'altro sia il sestuplo della somma di quelle due parti: somma

5 di 5 con

7 di 7, farà 21 ; il cui sestuplo, cioè 12, moltiplicalo per 5 e per 7, farà 60, e 84 ; dividilo per la moltiplicazione della quinta parte di 5 per la settima parte di 7, cioè per 1, e avrai come primo numero 60; come secondo 84.

1 5 a = 1 7 b
	1 5 a	1 7 b	= 6	1 5 a + 1 7 b

Sullo stesso in base ad un'altra divisione

(XII.3.105 ; G: XII.353) U

gualmente l'addizione della quinta parte di un numero con la settima parte dell'altro faccia sette volte tanto la moltiplicazione di quelle parti fra loro: moltiplicherai 2 per 5, e per 7, faranno 10, e 14 che dividerai per il settuplo della moltiplicazione della quinta parte di 5 per la settima parte di 7, cioè per 7; e avrai come primo numero

71 e come secondo 2: e possiamo proporre molti altri problemi diversi da quelli scritti sopra; le soluzioni dei quali possono essere trovate convenientemente con le regole scritte sopra.

1 5 a = 1 7 b
1 5 a + 1 7 b = 6	1 5 a	1 7 b

Altra divisione tra due numeri.

(XII.3.106 ; G: XII.354) A

ncora ci sono due numeri, dei quali

3 dell'uno sono

4 dell'altro; e moltiplicati tra loro fanno la loro somma: dapprima troverai i due numeri scritti sopra dei quali

3 dell'uno corrisponde a

4 dell'altro; e saranno 27 e 35; e somma 27 con 35, farà 62: moltiplicalo per 27 e per 35, e dividerai entrambe le moltiplicazioni per la moltiplicazione di 27 per 35; oppure dividi 62 per 35, e per 27, e avrai come primo numero

1, e come secondo

a =

b
a

: b = 27 : 35
a

b = a + b

Sullo stesso argomento.

(XII.3.107 ; G: XII.355) E se fosse stato proposto che la moltiplicazione di uno dei detti numeri per l'altro sia il doppio della loro somma; moltiplica il doppio di 62, cioè 124, per 27, e per 35, e dividi entrambe le moltiplicazioni per il totale della moltiplicazione di 27 per 35; oppure dividi 124 per 35, e per 27, e avrai come primo numero

3, e come secondo

a =

b
a

b = 2

(a + b)

Sullo stesso argomento.

(XII.3.108 ; G: XII.356) S

e l'addizione è il doppio della loro moltiplicazione, dividi la moltiplicazione di 62 per 27 e per 35 per il doppio della moltiplicazione di 27 per 35, o dividi 62 per il doppio di 35 e di 27, e avrai il primo numero

35, e il secondo numero

a =

b
2

b = a + b

Sullo stesso argomento.

pg.211

(XII.3.109 ; G: XII.357) Ugualmente

3 del primo numero sia

4 del secondo; e la moltiplicazione del primo per il secondo faccia quanto la somma di una o più parti del primo con una o più parti del secondo, per esempio la somma di

3 dell’uno con

4 dell'altro sia quanto la moltiplicazione di un numero per l'altro: prendi di

27, che è

15; e sommalo con

4 di 35, cioè con

15, farà

31: moltiplicherai

31 per 27, e

31 per 35; e dividerai entrambe le moltiplicazioni per la moltiplicazione di 27 per 35: o dividerai

31 per 35, e per 27, e avrai come primo numero

10; e come secondo

a =

b
a

b =

a +

Dello stesso.

(XII.3.110 ; G: XII.358) E se la moltiplicazione dei numeri sia il quadruplo della somma di

3 di uno con

4, dell'altro, moltiplica il quadruplo di

31, cioè 126, per 27, e per 35; e dividi entrambe le moltiplicazioni per la moltiplicazione di 27 per 35: o dividi 126 per 35, e per 27, e avrai come primo numero

3, e come secondo

4.
E se la moltiplicazione di

3 del primo numero per

4 del secondo sia quanto la somma del primo numero con il secondo: poiché

3 di 27 e

4 di 35 non fanno un numero intero, poiché fanno

15, bisogna che si moltiplichino 27 e 35 per 4, faranno 108, e 140: e prendi

3 di 108, che è 63, e moltiplicalo per 63, che sono

4 di 140, farà 3969: e somma 108 con 140, farà 248; moltiplicalo per 108, e per 140; e dividi entrambe le moltiplicazioni per la regola di 3969; e semplificherai ciò che potrai semplificare, e avrai come primo numero

6; e come secondo

b = 4

a +

= a + b

Dello stesso.

(XII.3.111 ; G: XII.360) E se la moltiplicazione di

3 del primo per

4 del secondo sia il quintuplo della somma dei numeri; moltiplica il quintuplo di 248, cioè 1240, per 108, e per 140; e dividi entrambe le moltiplicazioni per la regola di 3969; e semplificherai, e avrai come primo numero

33; e come secondo

43.
E ancora

3 del primo numero, come dicemmo, sia

4 del secondo; e la moltiplicazione di

3 del primo con

4 del secondo faccia quanto la somma di

3 del primo con

4 del secondo; somma 63 con 63, cioè

3 di 108 con

4 di 140, farà 126; per il quale moltiplica 108 e 140; e dividi entrambe le moltiplicazioni per 3969; e semplificherai, e avrai come primo numero

3 e come secondo

Dello stesso.

(XII.3.112 ; G: XII.362) E la moltiplicazione di

3 dell'uno per

4 dell'altro sia il sestuplo dell'addizione di

3 di uno con

4 dell’altro; moltiplicherai il sestuplo di 126 per 108, e per 140; e dividerai entrambi le moltiplicazioni per 3969; e semplificherai ciò che potrai, e avrai come primo numero

20, e come secondo

26. E se la somma di

3 di uno con

4 dell'altro è il settuplo della moltiplicazione di

3 di uno con

4 dell’altro, dividi le moltiplicazioni di 126 per 108, e per 140, per il settuplo di 3969; e semplificherai, e avrai come primo numero

; e come secondo

= 6

a +


7			7 12 a			9 20 b			= 7 12 a + 9 20 b

Del trovare due numeri che siano tra loro in una data proporzione

(XII.3.113 ; G: XII.364) P

resi

5 di un numero e lo sottrassi da

3 dell’altro, e moltiplicali per

9 ciò che rimase, ed ebbi 100: e dividi così 100 per

9, farà

10. Perciò si devono trovare due numeri, dei quali

3 dell'uno superi di

5 dell’altro di

10. Poni come primo numero 30 e come secondo 24: sottrai

5 di 30, cioè 11, da

3 di 24, cioè da 14, resta 3: che si vorrebbe fossero

10, moltiplicherai

10 per 30, e per 24, e dividerai entrambe le moltiplicazioni per 3, farà come primo numero

108; come secondo

86: oppure poni come primo numero 30; e ai suoi

5 somma

10, farà

21, che è

3 del secondo numero. Perciò moltiplica 12 per

21, e dividi per 7. E se vuoi, sia 24 il secondo numero, da

3 dei quali sottrai

10, resterà

3, che è

5 del primo numero.


7 12 b - 11 30 a	37 4	= 100

trova una soluzione con

a : b = 5 : 4

pg.212

E se si proponesse che

3 del primo siano

5 del secondo, e che da essi provengano quelli detti sopra. Troverai due numeri dei quali

3 di uno siano

5 dell'altro, saranno 9 e 10: moltiplicali per 30; affinché, cosa che è necessario, si abbiano come numeri interi; e come primo numero sarà 270; e come secondo 300: sottrai quindi

5 di 270, cioè 99, da

3 di 300, cioè da 175, resterà 76; e volendo che fosse

10, moltiplicherai

10 per 270, e per 300, e dividerai ciascuna moltiplicazione per 76, farà come primo numero

38, e come secondo

42.

a =

(XII.3.114 ; G: XII.367) E se vuoi che, moltiplicato per se stesso il resto che c'è tra

5 del primo numero e

3 del secondo, faccia uno di questi due numeri, qualunque tu voglia, diciamo il primo; porrai come primo numero un numero che abbia una radice, tale che i

5 della quale siano interi; e sia 900, e a

5 di questo somma la sua radice, cioè 30, sarà 360: perciò trova il numero i cui

3 sia 360, cioè dividi per 7 la moltiplicazione di 12 per 360: farà come secondo numero

617. E ancora se vuoi che la moltiplicazione del resto detto prima per se stesso faccia il secondo numero: poni che questo secondo numero sia 144; da

3 di questo, cioè da 84, sottrai la sua radice, che è 12, resterà 72. Troverai quindi il numero, i cui

5 siano 72, e sarà

196 come primo numero.



7 12 b - 11 30 a	²	= a

E.GIUSTI -"Liber Abbaci" ed.critica - PAG.317

(XII.3.115 ; G: XII.369) U

gualmente moltiplicai

5 del primo numero per

3 del secondo e quello che risultò fu 100. Trova i due numeri che moltiplicati tra loro fanno 100: sono 5 e 20: perciò come primo numero avrai il numero i cui

5 è 5; e come secondo avrai quel numero i cui

3 fanno 20. Perciò moltiplica 30 per 5 e dividi per 11; e 12 per 20 e dividi per 7, e avrai come primo numero

13; e come secondo

34. Altrimenti poiché da 10, moltiplicato per se stesso, fa 100; trova come primo numero quello i cui

5 siano 10, e sarà

27: e come secondo trova il numero i cui

3 siano 10, e sarà

17: e così possiamo risolvere innumerevoli problemi con la regola degli alberi.


	7 12 b			11 30 a		= 100

Termina la terza parte del dodicesimo capitolo.