progetto fibonacci - traduzione-11-6

pagina iniziale capitolo undicesimo del Liber abaci - sesta differenza<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF, folio 63 recto

sesta differenza
cap XI

	Sesta Differenza dell'undicesimo capitolo.
matematica delle leghe	(XI.6.1 ; G: XI.65) S e qualcuno avrà due monete, delle quali una maggiore e l'altra minore della moneta che vuole fare, egli potrà farla senza aggiunta di rame, o di argento: se avrà posto dalle stesse due monete una quantità da cambiare in base alle differenze che ci sono tra le once d'argento della moneta da fare e le once d'argento delle due monete stesse. Per esempio: abbia una moneta da 2 once e una moneta da 9 once da cui vuole fare moneta da 5 once. Poni così il 2 e il 9 su una stessa linea, e sotto di esse tra l'una e l'altra scrivi il 5, come si vede in margine: poi poni la differenza che c'è fra 2 e 5, cioè 3, sopra il 9; e viceversa metti la differenza che c'è tra il 5 e il 9, cioè 4, sopra il 2; e avrai quanto cercato, cioè che dovrai mettere da parte dalla moneta minore 4 [ libbre ], e dalla maggiore 3. Perché quanto argento avanza nelle tre libbre della moneta maggiore, tanto manca nelle 4 libbre della minore. Per esempio: se avanzano 4 once in ciascuna libbra della moneta maggiore, cioè la differenza che c'è tra 5 e 9; nelle 3 libbre avanza il triplo dell'argento delle 4 once, cioè 12 once; questo 12 proviene dal 3 posto sopra il 9 moltiplicato per il 4 posto sopra il 2. E invece nella libbra della moneta minore mancano 3 once d'argento, cioè la differenza che c'è fra 2 e 5: perciò nelle 4 libbre della moneta minore manca di argento il quadruplo delle tre once, cioè 12 , che anche vengono dal 4, che sta sopra il 2 per il 3 che sta sopra il 9. Quindi tutte le volte che metterai delle 4 libbre della moneta minore tante volte metterai delle 3 libbre della maggiore. Similmente quella parte, o parti che avrai messo delle 4 libbre della moneta minore, la stessa parte, o parti, metterai delle tre libbre della maggiore. Proporzionalmente infatti come il 4 sta al 3, così ciò che si mette della moneta minore starà a ciò che sarà da mettere della maggiore. Perciò se da tale lega vorrai farne in lega solo 12 once, sommerai insieme i numeri della proporzione, cioè il 4 con il 3, farà 7; per il quale dividi la moltiplicazione di 4 per 12, e di 3 per 12, farà 6 7 6 once della moneta inferiore e 1 7 5 della moneta maggiore ^[NdT] *minori* nel testo è un chiaro errore . Ancora se avrai 10 libbre della moneta inferiore, moltiplicale per il 3, che sta sopra il 9, e dividile per il 4, che sta sopra il 2, farà 1 2 7 libbre della moneta maggiore: o se avrai 10 libbre della moneta maggiore moltiplicale per il 4 poste sopra il 2, e dividile per il 3 posto sopra il 9, farà 1 3 13 libbre della moneta inferiore.	a < c < b a x₁ + b x₂ = c (x₁ + x₂) cioè (b - c) x₂ = (c - a) x₁ 2 x₁ + 9 x₂ = 5 (x₁ + x₂) 4 x₂ = 3 x₁ x₁ = 4 x , x₂ = 3 x x₁+ x₂ = 12 x₁ = 10 x₂ = 10
pg.152	(XI.6.2 ; G: XI.70) E se in simile moneta in lega ci saranno frazioni con le once, riportale tutte in interi; e con questi numeri interi lavorerai nello stesso ordine. E se hai moneta da 1 2 4 e da 1 4 6, da cui vuoi fare moneta da 1 8 5; moltiplica tutte queste per 8 in modo da renderle intere, e avrai moneta da 36 e da 50, da cui vuoi fare moneta da 41. Scritto pertanto il problema, come si vede, sottrai il 36 dal 41, resta 5, ponilo sopra il 50; perché tante sono le libbre da porre della moneta maggiore. E nello stesso modo poni sopra il 36 la differenza, che c'è fra 41 fino a 50, cioè 9, perché tante sono le libbre da mettere della minore: sommate queste 9 libbre con le 5 libbre già trovate, risultano 14 libbre come totale di tutta la lega. La prova di ciò è che moltiplichi il 9 per 1 2 4 e il 5 per 1 4 6; e avrai per l'argento che è in quelle 9 libbre, 1 2 40 once; e per quello che è nelle 5 libbre della moneta maggiore, avrai 1 4 31 once: sommate insieme queste once, fa 3 4 71 once per l'argento che è in quelle 14 libbre: perciò se si divide 3 4 71 per 14, saranno 1 8 5 once, com'è necessario.
	(XI.6.3 ; G: XI.72) E se vuoi fare soltanto 10 libbre della lega, moltiplicherai il 10 per 9, e il 10 per 5, e dividerai i prodotti per 14, e avrai 3 7 6 libbre della moneta minore e 4 7 3 della moneta maggiore. E se avrai 10 libbre della moneta minore, moltiplicale per 5, e dividile poi per 9, farà 5 9 5 libbre della moneta maggiore. Oppure se avrai avuto 10 libbre della moneta maggiore, moltiplicale per 9 e dividi il prodotto per 5; poiché come il 5 sta al 9, così il 10 sta al risultato cercato, farà 18 libbre, come si mostra nel riquadro. Da questa regola si ricava infatti un certo procedimento valido e spesso utile in questo modo per i coniatori di monete. La moneta infatti, che fanno, a volte risulta un po' abbondante, a volte un po' scarsa, e ciò perché a volte avanza in essa un po' d'argento, a volte manca; questo avviene o per l'incompetenza nel raffreddare la lega, o anche per l'ebollizione eccessiva o scarsa del rame. Perciò prima che sia marchiata, cioè segnata, occorre che a una data quantità dell'una si aggiunga tanto dell'altra per riportarla al modo debito; e perciò proponiamo questo metodo.	x₁ = 9 x , x₂ = 5 x x₁+ x₂ = 10 x₁ = 10 x₂ = 10
	Sul pareggiare la moneta scarsa con quella abbondante.
	(XI.6.4 ; G: XI.74) Q ualcuno ha 30 libbre di moneta in una certa quantità della quale, diciamo in 1 oncia, manca 1 2 1 grano d'argento; e un altro ha una moneta nella cui oncia sovrabbonda 1 4 2 grani d'argento. si chiede quanto da questa sovrabbondante si debba mescolare con quelle 30 libbre della scarsa, per ricondurle al modo debito. Poni 1 2 1 e 1 4 2 su una stessa linea, e sopra l'abbondanza scrivi scarsità e viceversa: perché scarsa è la moneta minore, che si pone in lega e abbondante è la maggiore. Per cui la scarsità, cioè 1 4 2, è la differenza che c'è fra la moneta minore e la moneta che si vuole fare; questa differenza è da porre, come più sopra abbiamo mostrato, sopra la moneta maggiore. E l'abbondanza, cioè 1 2 1, è la differenza che c'è fra la moneta minore e la moneta che si vuole fare: questa differenza è da porre sopra la moneta minore. E allora come 1 2 1 starà a 1 4 2 così la quantità che vorrai della moneta sovrabbondante starà alla quantità della più scarsa e viceversa. Perciò porrai le 30 libbre sotto 1 4 2, cioè scarsità sotto scarsità, come qui si mostra, e moltiplica 30 per 1 2 1, e dividi per 1 4 2, farà 20 libbre; e tanto mischia della moneta abbondante con quelle libbre della scarsa. Se invece le 30 libbre saranno di moneta abbondante, ponile sotto 1 2 1, cioè abbondanza sotto abbondanza; e moltiplica il 30 per 1 4 2 e dividi per 1 2 1, faranno 45 libbre della moneta scarsa.
	Sulla fusione in lega di tre monete fra loro.
pg.153	(XI.6.5 ; G: XI.77) S e invece sono proposte tre monete, delle quali due sono minori e l'altra maggiore; oppure due sono maggiori e l'altra minore rispetto alla moneta da fare ^(PdA) Come si è accennato, il gerundivo ricorre nella perifrastica passiva, oltre a essere usato in funzione attributiva. [PdA,pag.4] , fa dalle due monete uguali una sola moneta; e così avrai due monete da fare in lega, delle quali una sarà maggiore e un'altra minore rispetto alla moneta da fare. Infatti delle due monete se ne può fare una in tre modi: cioè mischiandole in parti uguali, o disuguali, o proporzionali, secondo una qualche data proporzione: in che modo sia fatto tutto ciò lo indicheremo in questa messa in lega, in cui si propone che un tale abbia una moneta da 3 once, un'altra da 4, un'altra da 6; da tutte queste vuole fare moneta da 5. Scrivi dunque le tre monete in una sola linea: poi, per fare dalle due minori una sola moneta, somma 3 con il 4, farà 7; e tante once d'argento sono in due libbre della predetta miscela. Per questo dividi 7 per 2, e avrai 1 2 3 once per l'argento, che c'è in una libbra di quella miscela. Perciò dirai: ho una moneta da 1 2 3 [ once ], e una da 6, dalle quali voglio fare moneta da 5. O, degli interi, puoi dire: ho una moneta da 7 e una da 12, dalle quali voglio fare moneta da 10. Perciò la differenza che c'è fra 7 e 10, cioè 3, la metterai sulla moneta maggiore e la differenza che c'è fra 10 e 12, cioè 2, la metterai sulle monete minori; dividi quel 2 in due parti uguali, poiché le hai unite in modo uguale per farne una sola moneta, farà 1 libbra sopra ciascuna di quelle monete; e così in totale farà 5 libbre da fare in lega da quelle tre monete in cui ci sono 25 once d'argento, come bisogna.	3 x₁ + 4 x₂+ 6 x₃ = 5 (x₁ + x₂+ x₃) x₁ = x₂
	(XI.6.6 ; G: XI.80) E se da quelle due monete ne vuoi fare una, mischiandole in modo disuguale, o secondo una qualche data proporzione, diciamo così: come 2 sta a 5 così ciò che è messo della moneta da 3 once sta a ciò che è messo della moneta da 4. Mescola così 2 libbre della moneta da 3 con 5 libbre della moneta da 4 e dividi le once d'argento che sono in esse, cioè 26, per il totale delle libbre stesse, cioè per 7, farà 5 7 3 once; e tanto argento ci sarà in una libbra di quella miscela. Perciò dirai: ho una moneta da 5 7 3, e una da 6; e voglio fare moneta da 5, cioè: ho moneta da 26 e moneta da 42; e voglio fare moneta da 35: e scrivi pertanto 9 sopra il 6, cioè la differenza che c'è da 26 a 35; e la differenza che c'è da 35 al 42, cioè 7, dividila fra le altre due monete secondo la proporzione delle libbre mescolate tra loro, cioè: delle 7 libbre metterai 5 parti della moneta che è da 4; e metterai 2 parti di moneta da 3, cioè 5 7 delle predette 7, vale a dire metterai 5 libbre di moneta che è da 4, e 2 7 delle medesime, cioè 2 libbre, metterai di moneta che è da 3. Perciò scrivi il 5 sopra il 4 e 2 sopra il 3 nel riquadro; e nel totale di questa lega vi saranno 16 libbre da quelle tre monete, in cui vi sono 80 once d'argento; delle quali toccano a ciascuna libbra 5 once, com'è necessario. E se da questa moneta in lega vorrai fare 20 libbre, riporta questo problema al modo della compagnia commerciale, in cui il primo mise 2, il secondo 5 e il terzo 9 e guadagnarono 20 lire. Moltiplicherai dunque 20 per 2, e 20 per 5, e dividerai ogni prodotto per 16; e così troverai che devi mettere 1 2 2 libbre di moneta che è da 3 e 1 4 6 libbre di moneta che è da 4. Il resto che c'è fino a 20, cioè 1 4 11 libbre, lo metterai di moneta che è da 6; che avrai anche, moltiplicando 20 per 9, e dividendo per 16.	3 x₁ + 4 x₂+ 6 x₃ = 5 (x₁ + x₂+ x₃) x₁ : x₂ = 2 : 5
pg.154	(XI.6.7 ; G: XI.83) E se avrai 10 libbre di moneta da 3, e vuoi sapere quanto di altre monete tu debba mescolare con essa, per fare moneta da 5, come dicemmo: moltiplicherai questo 10 per il 5 che è posto sopra il 4, e per il 9, che è posto sopra il 6; e dividerai entrambe le moltiplicazioni per il 2 posto sopra il 3. Oppure, poiché 10 è il quintuplo di 2, prendi il quintuplo delle 5 libbre e delle 9 e avrai 25 libbre di moneta da 4; e 45 libbre di moneta da 6 come si mostra nel riquadro. C'è infatti un altro modo di fare in lega, che nel libro abbiamo già insegnato come metodo più breve, col quale possiamo più efficacemente ridurre qualsiasi somma di lega nella lega di tre o più monete di questa maniera. Così se vorrai fare 20 libbre della predetta lega, fa moneta da 5 da quella da 3; e da quella da 6, faranno 3 libbre, in cui ci sono 2 libbre di moneta da 6 e 1 libbra di moneta da 3. Ugualmente fa un'altra lega da 5 dalla moneta da 4, e da quella da 6, e saranno in totale 2 libbre, cioè 1 libbra di quella da 4; e 1 libbra di quella da 6: quindi per fare 20 libbre, porrai in esse la prima lega una volta, o due, o più volte, finché da questo 20 rimanga un numero che, se possibile, si divida interamente per il totale della seconda lega; e quante volte sarà venuto 1 da questa divisione, tante volte metterai la seconda lega; e avrai quanto proposto. Per esempio: mettiamo due volte la prima lega, con 2 libbre di moneta da 3, e 4 di quella da 6; sottratte queste da 20 ^[NdT] 23 nel testo, errore di scrittura , resta 14; diviso questo per il totale della seconda miscela, cioè per 2, viene 7. Perciò metti la seconda lega sette volte, in cui ci saranno 7 libbre della moneta da 4; e 7 libbre della moneta da 6, e così, delle suddette 20 libbre, ci saranno 2 libbre della moneta da 3 e 7 libbre della moneta da 4 e 11 libbre di moneta da 6; in queste 20 libbre ci sono 100 once d'argento, come è necessario; e questo si chiama modo del fare in lega.	x₁ = 10
	Del fondere in lega tre monete con le frazioni.
	(XI.6.8 ; G: XI.87) Q ualcuno ha moneta da 1 2 2, e da 1 3 6, e da 1 4 7, dalle quali vuole ricavare moneta da 1 5 4; moltiplica dapprima i prescritti quattro numeri per 60; poiché in questo numero si ritrovano le frazioni scritte sopra, e avrai per la prima moneta 150; per la seconda 380; e per la terza 435; e per la moneta da fare 252: poi somma le due monete maggiori ^[NdT] *minores* nel testo è un chiaro errore in una, cioè 380 e 435, farà 815 che dovresti dividere per 2, perché con due monete ne hai fatta una: ma poiché [il risultato di] quella divisione sarebbe fratto, raddoppia il numero della moneta minore e il numero di quella da fare, cioè 150 e 252; e così avrai moneta da 300, e da 815, dalle quali vuoi fare moneta da 504; permuta le differenze ^[NdT] *per unitas* non ha un senso nel testo, pensiamo che sia un errore di trascrizione di *permutas* ; e avrai 311 parti della moneta minore e 204 delle maggiori, cioè 102 parti da ciascuna ; ponile sopra queste monete, come si mostra nel riquadro. E se con questo tipo di lega vuoi fare in lega 16 libbre, e 5 once, e 9 denari di cantare, cioè 9 5 25 12 16 libbre, fai come abbiamo insegnato nelle società commerciali, cioè somma 311 con 102 ,e con 102, farà 515; e moltiplica il 16 per la sua frazione, faranno 4934 denari di peso; che moltiplicherai per 311 e per 102 e dividerai queste moltiplicazioni per 515 e per 1 0 25 12 , dalla moneta che è da 1 2 2, verrà 4 57 4 11 5 103 25 12 9 libbre; e da ciascuna delle altre due 2 22 2 3 5 103 25 12 3 libbre.	L'equazione è omogenea e non cambia moltiplicando per un fattore i due membri.
pg.155	(XI.6.9 ; G: XI.90) P ossiamo anche trovare la parte delle rimanenti per mezzo della parte ricavata della prima moneta, in questo modo: sottrai il 4 che è sopra il 5 dal 5, resta 1; ma essendo questo indivisibile per 2, sottrai 4 dal 5 duplicato, resta 6: la metà, cioè 3, ponila sopra il 5 dell'altra frazione, sotto la quale c'è 5 103 25 12 ; e per il 5 duplicato conserva 2; sommalo col 57, che è sopra il 103, farà 59; sottrailo da 103, resta 44; la metà, cioè 22, ponila sopra il 103 e conserva 1; perché una volta si faccia il 103 dal 59 sommato con il 44, somma questo 1 con il 4, che sta sopra il 25, saranno 5 denari di peso che sottrai dai denari che sono nel totale della detta lega, resta 4; la cui metà, cioè 2, poni sopra il 25; e sottrai l'11, che sta sopra il 12 dal 12, resta 1; sommalo con le 5 once che sono nel totale della lega, farà 6; la cui metà, cioè 3, ponila sopra il 12, e conserva l'1; sommalo con le 9 libbre, che sono fuori dalla linea di frazione, farà 10; sottraile dalle 16 libbre, restano 6 libbre la cui metà, cioè 3 libbre, ponila davanti alla linea di frazione, e avrai similmente 2 22 2 3 5 103 25 12 3. E nota che abbiamo fatto così, quando abbiamo preso la metà della differenza, che c'è fra le 4 57 4 11 5 103 25 12 9 libbre fino al totale della lega, cioè alle 9 5 25 12 16 libbre: secondo il modo scritto sopra puoi anche mettere delle due monete maggiori quantità disuguali, e proporzionali in qualunque proporzione avrai voluto.
	Sul modo del mettere in lega quattro monete.
matematica delle leghe	(XI.6.10 ; G: XI.93) U gualmente ho moneta da 2 once, e da 3, e da 6, e da 7, da cui voglio ricavare moneta da 4: secondo il modo precedente fanne una dalle due monete minori, e un'altra dalle due monete maggiori, sommandole in misura uguale o proporzionale; e opera, poi, nell'ordine scritto sopra. E se vuoi fare col modo della fusione in lega, fa una lega da una delle minori e dall'altra delle maggiori, e fanne un'altra dalle due che restano: facciamo quindi una fusione di quella da 2 e di quella da 7; e faranno in totale 5 libbre, cioè 3 libbre di quella da 2 e 2 libbre di quella da 7. Similmente fa un'altra lega delle rimanenti, e saranno nel loro totale 3 libbre, vale a dire 2 libbre di quella da 3; e una di quella da 6, e così si sono messe in lega 8 libbre da 4 once: se vuoi ridurre questo totale in un altro, per dire in 19, moltiplica il 19 per ciascuno dei predetti numeri, e dividi ogni prodotto per 8, farà 1 8 7 libbre di moneta da 2, e 3 4 4 libbre di moneta da 3 e 3 8 2 libbre di moneta da 6 e 3 4 4 libbre di moneta da 7. Ma se vuoi avere lo stesso senza frazioni di libbre, metti la prima lega due volte e la seconda tre; e avrai 6 libbre della moneta da 2; 4 libbre di quella da 7; e 6 libbre di quella da 3; e 3 libbre di quella da 6; e così si saranno messe in lega 19 libbre. E se vuoi realizzare solo 12 libbre senza alcuna frazione; non potendolo fare attraverso queste leghe, cambia le leghe, cioè fa una terza lega fra la moneta da 2 e quella da 6; e faranno in totale 2 libbre, cioè una libbra di ciascuna di esse; e delle restanti due monete fanne una quarta; e il loro totale sarà 4 libbre, cioè 3 libbre di quella da 3; e 1 libbra di quella da 7: quindi nelle 12 libbre scritte prima vanno una volta sola la prima lega, la seconda, e la quarta; cioè ci saranno 3 libbre di moneta da 2; e 5 libbre di moneta da 3; e 1 libbra di quella da 6; e 3 libbre di quella da 7; oppure nelle stesse 12 libbre poni due volte la terza lega, e la quarta; e così ci saranno 16 libbre di moneta da 3 e 2 libbre di ciascuna delle rimanenti; e così in questo modo possiamo mettere in lega diverse somme di libbre senza frazioni.
	Nel caso in cui su quattro monete tre sono minori e l'altra è maggiore della moneta da ricavare.
pg.156	(XI.6.11 ; G: XI.99) E se su quattro monete tre fossero da un'unica parte della lega, cioè tutte maggiori o minori della moneta da fare. tanto per dire: ho una moneta da 3 once, e da 4, e da 5, e da 7; da queste voglio fare moneta da 6: se vuoi procedere nel modo della fusione in lega, fa una lega di ciascuna delle tre monete minori con la maggiore, cioè con quella da 7; e come risultato della prima lega ci saranno 4 libbre, cioè 1 libbra da quella da 3; e 3 libbre da quella da 7. Ugualmente nel risultato della seconda lega ci saranno 3 libbre, cioè 1 libbra da quella da 4; e 2 libbre da quella da 7. Similmente nel risultato della terza lega ci saranno 2 libbre, cioè 1 libbra da quella da 5 e 1 libbra da quella da 7. Somma quindi questi tre totali delle tre leghe: saranno 9 libbre nel totale di tutta la lega; di cui 6 libbre sono dalla moneta da 7; e una libbra è da ciascuna delle restanti tre monete.
	(XI.6.12 ; G: XI.101) E se vuoi mettere parti disuguali di ciascuna delle monete minori, metterai la prima lega una volta, la seconda due volte e la terza tre; e avrai nel risultato della lega scritta prima 1 libbra dalla moneta da 3; e 2 libbre dalla moneta da 4; e 3 libbre dalla moneta da 5; e 10 libbre da quella da 7. Di nuovo se vuoi che la moltiplicazione di ciò che metterai di quella da 3, per le once che metterai di quella da 5 sia uguale alla moltiplicazione di quanto metterai di quella da 4 per se stessa, e nel totale di tutta la lega ci sono 20 libbre: poni la prima lega una volta e la seconda due volte, e la terza quattro; e avrai la proporzione di quanto cercato; in questa proporzione ci sono 18 libbre; di queste 11 libbre sono di quella da 7; 4 libbre di quella da 5; 2 libbre di quella da 4; e 1 libbra di quella da 3; e le predette libbre delle tre monete minori sono in proporzione continua; perché come il 4 sta al 2 , così il 2 sta all'1; o come l'1 sta al 2, così il 2 sta al 4. Perciò la moltiplicazione di 1 per 4 è uguale alla moltiplicazione di 2 per se stesso. Infine affinché il totale di questa fusione sia ricondotto a 20 libbre, in questa stessa proporzione moltiplica il 20, nel modo delle società per 1, e per 2, e per 4, e per 1; e dividi ciascuna moltiplicazione per 18, risulteranno 1 9 1 libbre di moneta da 3, 2 9 2 di moneta da 4, 4 9 4 di moneta da 5, e 2 9 12 libbre di moneta da 7.
	Sulla fusione di sette monete.
pg.157	(XI.6.13 ; G: XI.103) E se in una qualche lega si pongono sette monete, delle quali tre sono minori, e quattro maggiori della moneta da fare; come per esempio moneta da 1, da 2, da 3, e moneta da 5, da 6, da 7, e da 8; da tutte queste vuoi fare moneta da 4; e desideri procedere con la fusione in lega. Farai 4 messe in lega essendo quattro le monete maggiori; farai allora tre di queste leghe da tre monete maggiori, e dalle tre minori a piacere, poi farai la quarta lega dalla moneta maggiore che avanza con una qualsiasi delle minori; e riporta i totali delle quattro leghe in uno solo, e avrai il totale di tutta la lega: poi potrai procedere secondo ciò che è stato detto sopra per le monete, che possono essere poste nella lega. Ma per comprendere meglio il primo modo, indicherò come si debba operare secondo lo stesso. Prendi una libbra da ciascuna delle monete minori, e mescolale insieme, saranno 3 libbre; fanne una moneta, cioè dividi le once d'argento che vi sono per 3, farà una moneta da 2 once: conservala. Fa dalle quattro monete maggiori un'altra moneta, mescolandole in modo uguale, come hai fatto con le minori, risulterà moneta da 1 2 6, che proviene dalla somma di 5, e 6, e 7, e 8, divisa per 4, cioè per il numero dell'insieme delle monete maggiori. Dunque dici: ho moneta da 2 e da 1 2 6; e voglio farne moneta da 4; è come dire ho moneta da 4, e da 13; e voglio farne da 8: sottrai per l'appunto 4 da 8, resta 4 e tanto metterai delle monete maggiori; e sottrai l'8 dal 13, resta 5; e tanto metterai delle minori, cioè la terza parte di ciascuna di esse. Ma poiché 5 non si divide esattamente per 3, metterai 5 libbre da ciascuna delle monete minori, cioè il triplo della terza parte di 5; e triplicherai il 4 che doveva essere messo dalle monete maggiori, farà 12. Ne metterai la quarta parte, cioè 3, di ciascuna delle maggiori monete come si mostra nel riquadro; e ci saranno come risultato totale della detta lega 27 libbre. Se da queste libbre vorrai fare in lega alcune monete, farai come sopra negli altri casi secondo la regola che abbiamo mostrato nelle società.
	Altrimenti quando si pongano quantità di monete differenti o proporzionali.
	(XI.6.14 ; G: XI.109) U gualmente se vorrai fare la messa in lega delle predette monete in un altro modo senza immettere nessuna quantità uguale, farai così: scrivi il problema come qui si mostra. Poi scrivi a piacere sopra ciascuna moneta i numeri che vorrai diversi tra loro; però scrivi sopra le monete minori numeri che, sommati insieme, diano un numero intero e composto in modo che tu divida più facilmente ciò che dovrai dividere per esso. Poni quindi sopra quel 12 diviso in tre parti disuguali, possibilmente in 3 e 4 e 5, come vedi più sopra nel riquadro posto; poiché il numero 12 di dodici unità è necessario in una lega di monete e si trova intero in una libbra che è formata da 12 once. Perciò quando si divide una qualche quantità di libbre per 12, ciò che rimane sul 12, saranno once. La stessa cosa poi che abbiamo insegnato per le monete minori falla per le maggiori. Poni quindi sopra le predette 4 monete maggiori il 12 diviso in quattro parti disuguali, cioè 1, e 2, e 3, e 6, come sono poste sopra di esse nel riquadro. Poi moltiplica il numero scritto sopra la moneta minore per la stessa minore moneta, cioè 3 per 1, farà 3, conservalo. Ugualmente moltiplica il seguente numero posto per la moneta seguente, cioè 4 per 2, farà 8, conservalo. Ugualmente moltiplica il terzo numero posto per la terza moneta minore, cioè 5 per 3, farà 15; sommalo con l'8, e con il 3 serbato più sopra, faranno 26 once d'argento. Somma quindi i tre numeri posti sopra, cioè 3, e 4, e 5, farà 12; dividi il 26 per questo, farà 1 6 2 once che avrai da una parte della messa in lega. Ugualmente moltiplica il numero posto sopra il numero minore delle monete maggiori, cioè 1 per 5, farà 5, serbalo. Ugualmente moltiplica il seguente numero posto per la seguente moneta, cioè 2 per 6, farà 12, serbalo; Ancora moltiplica il 3 per 7, farà 21, serbalo. E moltiplica l'ultimo numero, cioè il 6 per l'ultima moneta, cioè per 8, farà 48, sommala con il 5, e con il 12 e con il 21, farà 86; dividilo per la somma dei numeri posti sopra le monete maggiori, cioè per 12, farà 1 6 7 once, che avrai dall'altra parte della messa in lega.
pg.158	(XI.6.15 ; G: XI.113) D opo ciò puoi riportare la messa in lega di tutte le sette monete alla lega di due monete, cioè come se dicessi: ho una moneta da 1 6 2 once e una moneta da 1 6 7 once; e voglio farne una moneta da 4 once: pertanto dalla moneta minore fino alla moneta che vuoi fare, cioè da 1 6 2 fino a 4 manca 5 6 1; e tanto metterai delle monete maggiori in modo disuguale, secondo la proporzione dei numeri posti sopra di esse; cioè dalla moneta da 5, metterai una parte di quel 5 6 1; e da quella da 6 metterai 2 parti. E da quella da 7 metterai tre parti; e da quella da 8 metterai 6 parti: quindi sommerai nel modo delle società 1, e 2, e 3, e 6, farà 12. E moltiplicherai 5 6 1 per 1, e dividerai per 12, farà 11 72; ponilo sopra la moneta da 5 once; perché questa porzione di quella moneta sarà da porre in lega. Similmente moltiplicherai uno per uno il 2, e il 3, e il 6 per 5 6 1; e li dividerai uno per uno per 12, farà 22 72, e 33 72, e 66 72, ponili in ordine sopra le tre monete rimanenti come si mostra più sopra nel riquadro. E ancora, prendi la differenza che c'è da 4 fino a 1 6 7, che è 1 6 3; e si ottiene la proporzione da porre delle tre monete minori nella prescritta lega; e dividi questo 1 6 3 in 12 parti dando tre parti per la moneta minore e quattro parti per l'altra e cinque parti per la terza: e per fare questo, moltiplica il 3, che è posto sopra la moneta minore, per 1 6 3; e dividi per 12, farà 57 72, ponili sopra la moneta minore; perché questa porzione della stessa moneta minore sarà da porre in lega. Similmente moltiplica il 4, che è posto sopra la moneta da 2 once, per 1 6 3 e dividi per 12, farà 76 72, ponili sopra la stessa moneta. Ugualmente moltiplica il 5, che è posto sopra la moneta da 3, per 1 6 3, farà 95 72, ponili sopra la stessa moneta come si vede più sopra nel riquadro.
	(XI.6.16 ; G: XI.119) E nota: abbiamo fatto i settantaduesimi delle sette porzioni da porre delle predette 7 monete perché avendo gli stessi rotti, cioè dei settantaduesimi, ci possono essere libbre intere nei numeri; pertanto della moneta minore metti 57 libbre, poiché di essa dobbiamo mettere 57 72, e nello stesso modo della moneta da 2 once, metti 76 libbre; e di quella, che è da 3 once, metti 95 libbre ; e della moneta da 5 once metti 11 libbre; e di quella da 6 once metti 22 libbre; e di quella da 7 once, metti 33 once ; e della moneta maggiore metti 66 libbre; e così avrai ciò che è proposto. E se con questa lega vuoi fare solo 30, libbre somma le prescritte libbre che devi mettere delle prescritte monete, cioè 57, e 76, e 95, e 11, e 22, e 33, e 66, farà 360 libbre per le quali dividi la moltiplicazione del 30, che sono le libbre che vuoi fare in lega, per le suddette 57 libbre, e per 76, e per 95, e per 11, e per 22, e per 33, e per 66; e troverai che della moneta minore devi mettere 4 libbre, e 9 once; e di quella da 2 once, devi mettere 6 libbre, e 4 once; e di quella da 3 once, devi mettere 7 libbre e 11 once, e della moneta da 5 once, devi mettere 11 once; e della moneta da 6 once, devi mettere 1 libbra, e 10 once ; e di quella da 7, due libbre e nove once; e di quella da 8, cinque libbre e sei once.
pg.159	(XI.6.17 ; G: XI.123) I n un caso uno aveva 240 [tipologie di] monete, delle quali la prima era da 1 20 di oncia d'argento per libbra; la seconda da 2 20, cioè da 1 10; la terza da 3 20; la quarta da 4 20, cioè da 1 5, e così via anche nelle altre in ordine c'era sempre 1 20 d'oncia in più fino all'ultima moneta che era da 240 20, cioè di 12 once d'argento, cioè tutta la moneta era d'argento; da queste volle fare una moneta da 1 2 2 once: e si chiede quanto deve mettere di ciascuna moneta: sebbene più sopra si è detto che le monete minori devono essere poste da una parte e le maggiori in un'altra, tuttavia indicheremo in che modo e quando è meglio fare altrimenti. Poiché in questa lega sono state poste molte monete, si devono sommare tra loro in ordine a partire dalla minore finché dal loro totale ne esca una moneta che non sia meno di 1 2 2 once ^(PdA) Tra le molte funzioni assunte dalla preposizione de seguita dall’ablativo vi è quella di esprimere il secondo termine di paragone. [PdA,pag.10] . E [ così ] si sommano le prime ottanta monete, nell'ultima delle quali ci sono 80 20 di un'oncia d'argento; si somma l'argento, che c'è in quelle 80 monete in ordine, cioè sommiamo un ventesimo della prima moneta, e 2 ventesimi della seconda, e 3 della terza, e 4, e 5; e così via in ordine fino a 80: la somma di questi ventesimi si trova dalla moltiplicazione di 40 per 81, come si dimostrerà nella prima parte del dodicesimo capitolo: la moltiplicazione infatti dei 40 ventesimi per 81, cioè di 2 once per 81, fa 162 once, e è l'argento che c'è in queste 80 libbre; perciò, se si dividono le 162 once per le 80 monete, ci saranno 1 40 2 once d'argento per ciascuna libbra di quelle 80 monete: poni queste 1 40 2 once da una parte della lega; e vedi quanto argento c'è nelle altre 160 monete: lo vedrai moltiplicando 1 più 240 ventesimi, cioè 241, per la metà di 240, cioè per 120; dalla moltiplicazione sottrai le 162 once trovate, che sono nelle 80 monete minori: la moltiplicazione dei 120 ventesimi, cioè delle 6 once per 241, fa 1446 once; e tante sono le once d'argento nelle 240 monete poste: da queste once sottrai 162, restano 1284 once; e questo è l'argento che c'è nelle 160 libbre maggiori: perciò dividendo 1284 per 160, si hanno 1 40 8 once; e tanto argento c'è nella libbra di ciascuna delle monete maggiori. Perciò scrivi 1 40 8 dall'altra parte della lega; e scrivi 1 2 2 tra 1 40 2 e 1 40 8 come si mostra in margine. E scrivi sopra 1 40 8 la differenza che c'è da 1 40 2 a 1 2 2, cioè 19 40. E sopra 1 40 2 scrivi la differenza che c'è fra 1 40 8 a 1 2 2, cioè 21 40 5; ed essendo 221 quarantesimi, scrivi 221 sopra 1 40 2: quindi delle monete minori ne metterai 221, cioè 221 80 di ciascuna, essendo queste monete 80; e delle monete maggiori ne metterai 19, cioè 19 160 di ciascuna, essendo queste monete 160: poi per sapere ciò che di ciascuna moneta si deve mettere, in un intero, riduci 221 80 e 19 160 nelle stesse parti [cioè con lo stesso denominatore]; pertanto il 221 duplicato fa 442, che posto sopra l'80 duplicato fa 442 160: quindi di ciascuna delle monete minori ne metterai 442 e di ciascuna delle maggiori ne metterai 19.
	Termina la sesta differenza dell'undicesimo capitolo.