pagina iniziale capitolo undicesimo del Liber abaci - quarta differenza<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF, folio 62 recto
quarta differenza
cap XI

Quarta Differenza.
(XI.4.1 ; G: XI.44) S
e avessi una moneta da 5 once, dalla quale volessi fare 30 libbre di moneta da 2 once solamente aggiungendo rame rosso, e volessi sapere quanto argento metterai della moneta stessa, e quanto di rame rosso, calcolerai quanto argento deve esserci in quelle 30 libbre della moneta da fare: ovviamente 60 once: poiché in ogni libbra ci devono essere 2 once d'argento, e due volte 30 fa 60; queste 60 once d'argento sono in 12 libbre di quella moneta da 5 once che hai; poiché la divisione di 60 per 5 fa 12; e tante libbre metterai della suddetta moneta. Quanto manca poi per arrivare a 30 libbre, cioè 18, lo metterai di rame rosso.


Sullo stesso.
pg.149 (XI.4.2 ; G: XI.45) E se avessi due monete di maggior valore rispetto alla moneta che vuoi fare, delle quali una sia da 7 once, e l'altra da 6 once, con le quali vuoi fare una libbra di moneta, in cui ci siano 4 once d'argento; e volessi sapere quante once di ciascuna metteresti, e anche l'aggiunta di rame. La lega può essere realizzata in tre modi diversi secondo tre sequenze diverse. Il primo prevede senz'altro che si metta la medesima quantità da ciascuna delle monete indicate. Il secondo che vengano considerate quantità diverse. Il terzo in modo proporzionale. Per cui se nella lega scritta sopra, vuoi mettere in modo uguale; da ciascuna delle monete indicate aggiungerai le once d'argento, che sono in entrambe le monete, cioè 7 con 6, farà 13; e moltiplica l'argento di quella moneta che vuoi per le 12 once, cioè per una libbra che vuoi fare in lega, saranno 48 once; dividile per le dette 13, farà
9
13
3 once, e tanto metterai di ciascuna moneta. Quanto manca poi per arrivare fino a 12 once, cioè alla libbra, lo metterai in rame [NdT]
ndt: qui per la parola rame è utilizzata proprio la parola "rame" in luogo del latino classico "es, eris" o "cuprum"
, cioè
8
13
4 once.
x1 libbre da 7 once
fanno x1 × 
7
12 once d'argento



Sullo stesso mettendo in modo diseguale da ciascuna moneta.

(XI.4.3 ; G: XI.47) E se vuoi mettere in misura disuguale [NdT]
"uguale" nel testo è un chiaro errore
da ciascuna moneta nella moneta in lega descritta precedentemente, supponi di avere una libbra di quella moneta, che è da 6 once, e 2 libbre dell'altra [ da 7 once ]; e scriverai nel riquadro l'1 sopra il 6 e il 2 sopra il 7, secondo il modo della seconda differenza; e moltiplicherai l'1 per il 6, farà 6; e il 2 e il 7, farà 14; e porrai il 6 sopra l'1, e il 14 sopra il 2; e sommali insieme, farà 20: poi moltiplica il 4 per il 12, cioè le once d'argento che vuoi porre in una libbra, per l'oncia che vuoi fare in lega, farà 48; moltiplicalo per l'1 che è scritto sopra il 6, farà 48; dividilo per il 20 scritto sopra, farà
2
5
2 once e tanto metterai di quella moneta che è da 6 once. Ugualmente moltiplica 48 per il 2 che sta sopra il 7, e dividi per 20, farà
4
5
4 once; e tanto metterai di quella che è da 7 once: a cui aggiungerai le
2
5
2 once scritte sopra, farà
1
5
7 once, alle quali per arrivare alle 12 once, cioè fino alla libbra che vuoi fare in lega, mancano
4
5
4 once che aggiungerai [ dal rame ].


6 x1 + 7 x2 = 48
x2 = 2 x1





(XI.4.4 ; G: XI.49) E se vuoi fare una lega rispettando una proporzione, cioè così come un certo numero dato sta ad un altro numero dato, così ciò che metterai di una moneta sta a ciò che metterai dell'altra: e così diciamo: come 3 sta a 4, così ciò che metterai della moneta, che è da 6 once, sta a ciò che metterai della moneta che è da 7 once, e poniamo che vuoi di lì fare in lega 23 libbre da 5 once. Poni quindi il 3 sopra il 6, e il 4 sopra il 7, che sono i numeri della proporzione data; e moltiplicherai 3 per 6, farà 18; e 4 per 7, farà 28; porrai il 18 sopra il 3, e il 28 sopra il 4; e li sommerai insieme, farà 46: e moltiplica 5 per 23, farà 115; moltiplicalo per il 3 che è sopra il 6, e dividilo per 46, faranno
1
2
7 libbre di moneta da 6 once: similmente moltiplica 115 per 4, e dividi per 46, faranno 10 libbre di moneta da 7 once; sottratte queste
1
2
7 libbre, e queste 10 libbre, cioè
1
2
17 libbre, dal totale della lega, cioè dalle 23 libbre, restano
1
2
5 libbre per l'aggiunta di rame.

x1 : x2 = 3 : 4


6 x1 + 7 x2 = 115
x1 = 3 x
x2 = 4 x

Su tre monete quando si mettano parti uguali di ciascuna.
(XI.4.5 ; G: XI.51) E
se avessi tre monete, delle quali una è da
1
2
3 once, una da
1
3
4 once, un'altra da
3
4
5 once, e volessi mettere parti uguali di ciascuna moneta e fare in lega 10 libbre da
1
5
2 once, somma l'argento che è in ciascuna moneta, farà
7
12
13 once; e moltiplica l'argento di quella stessa moneta che vuoi fare, cioè
1
5
2 once per le 10 libbre, farà 22, dividilo per
7
12
13 libbre, farà
101
163
1 once; e tanto metterai di ciascuna moneta. Il resto poi che c'è per arrivare a 10 libbre, che è
23
163
5 libbre, lo metterai di rame rosso.
7
2 x1 +
13
3 x2 +
23
4 x3 = 22

x1 = x2 = x3


Sullo stesso quando si metta in modo disuguale o proporzionale di ciascuna moneta.





pg.150 		(XI.4.6 ; G: XI.52) D
unque se vuoi impiegare quantità diverse, e proporzionali di ciascuna moneta, in modo da dire: come 2 [non è scritto nel testo] sta a 3, così ciò che metterai della moneta che è da
1
2
3 once sta a ciò che metterai della moneta che è da
1
3
4 once; e come 4 sta a 5, così ciò che metterai di quella da
1
3
4, sta a ciò che metterai di quella da
3
4
5. Troverai pertanto tre numeri, il primo dei quali sta al secondo come 2 a 3; e il secondo al terzo come 4 a 5; il modo di trovarli è porre su una linea il 2 e il 3: scrivi il 4 sopra il 3; e dopo il 3 poni il 5; e moltiplica il 4 per il 2 che gli è di traverso, farà 8 per il primo numero; e moltiplica il 4 per 3, farà 12 come secondo numero; e il 3 per il 5 che gli si oppone in diagonale, farà 15 come terzo numero. O altrimenti poiché 2 di 3, sarà
2
3, e 4 di 5 sono 4/5, guarda in quale numero si trovino
4
5
2
3, cioè in 15, di cui calcoliamo i
4
5, cioè 12, di cui come secondo numero, calcoliamo i
2
3, cioè 8, che consideriamo come primo numero. Infatti l'8 sta al 12 come il 2 sta al 3 e il 12 sta al 15 come il 4 sta al 5: poi porrai l'8 sopra
1
2
3, e il 12 sopra
1
3
4 e il 15 sopra
3
4
5, come si mostra nel riquadro: e vedi se il rotto che è in ciascuna moneta, si trovi nel numero posto [ in corrispondenza ] sopra. Infatti
1
2 si trova nell'8, e
1
3 nel 12, ma
1
4 non si trova nel 15, né in alcuna parte di esso. Dunque affinché tu abbia il meglio di ciò che vuoi, è necessario che si moltiplichino ciascuno dei numeri posti sopra per 4, farà 32, e 48, e 60; e moltiplicherai
1
2
3 per 32, farà 112, che devi scrivere sopra il 32. E
1
3
4 per 48, farà 208, ponilo sopra il 48; poi 5 per 60, farà 345 ponilo sopra il 60, e sommerai 112 con il 208, e con 345, farà 665. E moltiplica le 10 libbre che vuoi fare in lega, per le
1
5
2 once, farà 22, moltiplicalo per 32, e dividerai per 665, farà
4
0
1
5
7
19
1 libbre di moneta, che è da
1
2
3. Ugualmente moltiplicherai il 22 per 48 e dividerai per 665: farà da quella, che è da
1
3
4, 
1
1
11
5
7
19
1. Ugualmente moltiplicherai lo stesso 22 per 60 e dividerai per 665, si considererà di quella moneta che è da
3
4
5, 
5
18
7
19
1 libbra. E il resto poi lo metterai di rame rosso, che è
0
0
7
5
7
19
5 libbre, resto che si trova allo stesso modo in cui si calcola la parte di profitto dell'ultimo socio con le parti già trovate degli altri. Dunque dalle frazioni scritte sopra potrai fare le once e le parti di once secondo ciò che abbiamo mostrato nelle transazioni commerciali.
7
2 x1 +
13
3 x2 +
23
4 x3 = 22

x1 : x2 = 2 : 3
x2 : x3 = 4 : 5





x1 = 8 x
x2 = 12 x
x3 = 15 x



Termina la quarta differenza dell'undicesimo capitolo.