pagina iniziale capitolo settimo parte quinta del Liber abaci<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF, folio 31 recto
parte quinta cap VII
 
Parte Quinta

Inizia la parte quinta sull’addizione e sottrazione e divisione delle parti di numeri interi con rotti.
(VII.5.1 ; G: VII.118) Se vorrai sommare
3
4 di
2
5
29 con
5
7 di
2
9
128 [NdT] Leggendo i numeri alla araba cioè
   da destra a sinistra
2
5
29
3
4 si legge
  
3
4 di 29 e
2
5 cioè  3 4 × ⎧⎩29 +  2 5⎫⎭
, scrivi i numeri come qui si mostra; e moltiplica 29 per 5 e aggiungi 2, farà 147; moltiplicalo per 3, che è sopra il 4, farà 441; moltiplicalo per 7 e per 9, che sono sotto la linea dell’altro numero, farà 27783, ponilo sopra
2
5
29
, il cui resto per 11 è 8, che si trova secondo ciò che abbiamo moltiplicato: poi moltiplica 128 per 9, e somma 2; e per il 5, che è sopra il 7, farà 5770; moltiplicalo per 5, e per 4 che sono sotto le linee dell’altro primo numero, farà 115400, ponilo sopra
2
9
128
5
7; ed è il resto per 11 dello stesso 10: somma quindi 27783 con 115400, farà 143183; dividilo per tutti i rotti, cioè per
1
0
0
0
4
5
7
9
, farà
1
2
3
6
2
7
9
10
113 per l’addizione richiesta.
 2 5
29  3 4 =  3 4 × ⎧⎩29 +  2 5⎫⎭

(10)
(8)
  115400
27783
 
2
9
128
5
7 		 
2
5
29
3
4 		 
addizione
 
1
2
3
6
2
7
9
10
113
sottrazione
 
1
2
3
5
2
7
9
10
69

Sottrazione di
2
5
29
3
4 da
2
9
128
5
7
(VII.5.2 ; G: VII.120) E se vuoi sottrarre
2
5
29
3
4 da
2
9
128
5
7
, sottrarrai 27783 da 115400, resta 87617; e similmente dividi per
1
0
0
0
2
7
9
10
, farà
1
2
3
5
2
7
9
10
69 come residuo della sottrazione richiesta.

Divisione di
2
9
128
5
7 per
2
5
29
3
4
pg.76 (VII.5.3 ; G: VII.121) Ancora se vorrai dividere
2
9
128
5
7 per
2
5
29
3
4
, trovati i suddetti numeri, cioè 27783 e 115400, impegnati a trovare la regola di 27783 , che è
1
0
0
0
0
7
7
7
9
9
, e dividi per essa 115400, farà
5
0
3
3
1
7
7
7
9
9
4 come risultato della divisione richiesta.
E ancora se vorrai dividere i
3
4 di
2
5
29 per
5
7 di
2
9
128
, dividerai 27783 per la regola di 115400, farà
1
1
9
138
2
10
10
577
 [NdT] 128 nel testo è un chiaro errore
per la divisione richiesta.
 divisione del maggiore per il minore 
5
0
3
3
1
7
7
7
9
9
4
 divisione del minore per il maggiore 
1
1
9
138
2
10
10
577
pg.72 (VII.5.4 ; G: VII.122) Se poi vorrai sommare
1
5
3
4 di
2
5
7
9
33 con i
1
3
4
7
 di
1
11
5
6
244, scrivi i numeri, come qui è mostrato; e moltiplica 33 per 9, e somma il 5 che è sopra il 9; e poi per 7, e somma 2, farà 2116 sessantatreesimi. Poi moltiplica il 3, che è sopra il 4 per 5, e l’1 che è sopra il 5, per 4. E sommali insieme, farà 19 ventesimi; moltiplicalo per i 2116 sessantatreesimi trovati, farà 40204 milleduecentosessantesimi, il cui resto per 13, comunque abbiamo fatto la moltiplicazione, è trovato in 8; dovendo moltiplicare questo numero, cioè 40204, per tutti i rotti che sono sotto la linea dell’altro lato, cioè per 7 e per 4, che sono sotto la prima linea di quel lato, e per 6 e per 11, tralascia il primo che non moltiplicherai per 7, né per 4 per via del 7 e del 4 che sono sotto la linea del primo lato. E tralascia ancora perché non moltiplicherai per 3, che è nella regola del detto 6 a causa del 3 che è nella regola del 9, il quale 9 è è sotto l’ultima linea del primo lato. Quindi moltiplicherai 40204 per il 2, che rimane dal detto 6, e per 11, cioè in un’unica moltiplicazione per 2, farà 884488 ventisettemilasettecentoventesimi; ponili sopra
2
5
7
9
33
1
5
3
4 e poni ancora sopra il loro resto che è 7. Poi moltiplica 244 per il 6 che è sotto la linea, e somma il 5 che è sopra il 6, farà 1469 sesti; moltiplicalo per 11 e sommaci la moltiplicazione dell’1 che è sopra l’11, per 6, farà 16165 settantunesimi; il cui resto per 13 è similmente 6. Ancora moltiplica il 3 che è sopra il 7, per il 4, e somma l’1, che è sopra il 4 stesso, farà 13 ventottesimi; moltiplicali per 16165 sessantaseiesimi, farà 210145 milleottocento quarantottesimi. Dovendoli moltiplicare per tutti i numeri, che sono sotto la linea del primo lato, lascerai i sovrascritti disposti che non moltiplicherai tra loro, se non per il 3, che rimane dalla regola del 9, e per 5, cioè in un’unica moltiplicazione per 15, sarà similmente 3152175 ventisettemilasettecentoventesimi, quanti furono quelli dell’altro lato. Ponili ancora sopra
1
11
5
6
244
1
3
4
7
, e sopra poni il loro resto che è 0: poi somma 884488 con 3152175, farà 4036663, dividilo per tutti i di rotti uno qualunque dei lati, e per i rotti che si hanno dalla moltiplicazione dall’altro lato. In seguito per 4, e per 5, e per 9, e per 7, che sono nel primo lato, e per il 2 che è nella regola del 6, e per l’11 dell’altro lato, che è stato preso nella moltiplicazione del primo numero, o per 7, e per 4, e per 6, e per 11, che sono nel secondo lato, e per 3, che è nella regola di 9, e per 5, che è nell’altro lato, farà
3
3
4
8
6
4
7
9
10
11
145 per l’addizione richiesta.
(0)
(7)
3152175
884488
1
11
5
6
244
1
3
4
7
 		 
2
5
7
9
33
1
5
3
4 		 
la prova per 13 è (7)
3
3
4
8
6
4
7
9
10
11
145

Sottrazione di
1
5
3
4 di [NdT] Manca nel testo per errore
2
5
7
9
33 da
1
11
5
6
244
1
3
4
7
(VII.5.5 ; G: VII.129) E allora se vorrai sottrarre
1
5
3
4 di
2
5
7
9
33 da
1
3
4
7
 di
1
11
5
6
244
, o dividere uno di essi per il restante, otterrai nel modo scritto sopra e in successione, 884488 e 3152175; e opererai con essi secondo ciò che insegnammo più su in questo capitolo sulla sottrazione e la divisione.
 13 4 × 7 × ⎧⎩ 1 11 +  5 6 + 244⎫⎭ -
⎧⎩ 1 5 +  3 4⎫⎭ × ⎧⎩ 37 7 × 9 + 33⎫⎭
 
(VII.5.6 ; G: VII.130) Ugualmente se vorrai sommare di
2
3
5
7
8
9
 di  1 13
 2 11
 3 5
42 con  1 9
 1 8
 5 7
[NdT] Nel testo  3 8 è un errore
  si tratta da  1 8 come scrive più avanti di
2
0
3
3
5
11
331, scrivi i numeri come qui si mostra. E comincia a moltiplicare 42 per le sue linee, che le sono dietro, farà 30644. E prendi
2
3
5
7
8
9
, e moltiplica il 5 che è sopra il 9 per 8, e somma 3; e moltiplica per 7 e somma 2, farà 303: moltiplicalo per 30644, farà 9285132; dovendolo moltiplicare per tutti i numeri, che sono sotto tutte le linee dell’altro lato, cioè per 7, e per 8, e per 9, che sono sotto le tre linee di quel lato, e per l’11, e per il 5, e per il 3 che sono sotto una stessa linea, semplificherai perché non ripeterai, moltiplicando quei numeri che sono anche in questo primo lato: quindi, tralasciati quelli, rimane che non moltiplicherai 9285132 per tutti quelli scritti , ma solo per 3; ; moltiplicazione che sale a 27855369, numero che poni sopra il primo lato; poi per trovare il numero dell’altro lato, moltiplicherai 331 per la sua linea di frazione, che gli è dietro, farà 54662. E troverai il numero delle sue tre linee rimanenti, cioè di  1 9
 1 8
 5 7
, sarà 479; moltiplicali per 54462, farà 26183098: dovendoli moltiplicare per tutti i numeri che sono sotto tutte le linee di frazione del primo lato, cioè per 13, e per 11, e per 5, che sono sotto le tre linee di quel primo lato, e per 7, e per 8, e per 9, che sono sotto l’altra linea, non dovrai moltiplicarli tra tutti i prescritti, se non solo per il 13 in virtù di ciò che hanno in comune tra loro i rotti di entrambi i lati. E così la moltiplicazione di 26183098 per 13 sale a 340380274, ponilo sopra il secondo lato. E sommalo col numero posto sopra il primo lato, cioè con 27855396, farà 368235670, dividilo per tutti i numeri che sono sotto le linee del primo lato, e per il 3 che sta sotto una delle linee del secondo lato, cioè così come moltiplicammo quando abbiamo avuto il numero del primo lato. O dividilo per tutti i rotti che sono sotto le linee del secondo lato. E per il 13 che è sotto una delle linee del primo lato, cioè cioè secondo ciò che moltiplicammo quando abbiamo avuto il numero del secondo lato: quindi lo dividerai per
1
0
0
0
0
0
0
3
5
7
8
9
11
13
, farà, dopo la sistemazione della linea di frazione [ e la divisione per 10 ]
1
3
5
3
0
8
2
6
7
9
11
13
340 per l’addizione richiesta, il cui resto per 17 è 3.

340380274
27855396
2
0
3
3
5
11
331
 1 9
 1 8
 5 7
 1 13
 2 11
 3 5
42
2
3
5
7
8
9

2
3
5
7
8
9
  × ⎧⎩ 1 13 +  2 11 +  3 5 + 42⎫⎭ =
=  303 7 × 8 × 9 ×  30644 13 × 11 × 5

⎧⎩ 1 9 +  1 8 +  5 7⎫⎭ × 
2
0
3
3
5
11
331 =
=  479 7 × 8 × 9 ×  54662 3 × 5 × 11



Un’altra sottrazione
(VII.5.7 ; G: VII.135) E se vorrai sottrarre  1 13
 2 11
 3 5
42
2
3
5
7
8
9
 da
2
0
3
3
5
11
331
 1 9
 1 8
 5 7
, prendi nell’ordine scritto sopra i prescritti 27855396 e 340380274, sottrai il più piccolo di essi dal più grande, rimarrà 312524878; dividilo in modo simile alla somma scritta sopra per
1
0
0
0
0
0
0
2
6
7
9
10
11
13
, farà
0
5
1
6
2
1
1
2
6
7
9
10
11
13
289 come residuo della sottrazione richiesta.
(VII.5.8 ; G: VII.135-136) In verità se dividerai 340380274 per la regola di 27855396, avrai la divisione del maggiore numero posto per il minore: e così il contrario rende il contrario. Se vuoi sommare [NdT] Nel testo manca spesse volte
  il cerchietto. Per la definizione di
 frazione multipla con cerchietto vedi V.5 o
3
2
5
9
 con  2 9
, fai terminare la linea stessa in un cerchietto dall’altra parte; e avrai ciò che hai chiesto, cioè
3
2
5
9
 o che renderai parti di un solo numero con la dottrina sopraddetta, farà  16 45
, cioè
1
3
5
9
 . E se vuoi sottrarre o
3
2
5
9
 da  2 9
; se da o
5
2
5
9
 , cioè da  2 9
, avrai sottratto o
3
2
5
9
 , resterà appunto o
2
2
5
9
 , cioè  4 45
: oppure prendi  2 9 da 45, farà 10: dal quale sottrai i suoi  3 5
, resterà 4; dividili per 45, si avrà similmente  4 45 come residuo della detta sottrazione. In modo simile se vuoi sottrarre
3
0
4
6
 da  1 6
, sottrai
3
0
4
6
 da
4
0
4
6
, cioè da  1 6
, resta
1
0
4
6
. Infatti se da qualunque cosa se ne sottraggono i  3 4
, allora è necessario che resti  1 4
della stessa cosa. E se da qualcosa se ne sottraggono i  3 5
, di essa ne rimarranno i  2 5
. Per cui se avrai sottratto o
3
4
5
7
 da  4 7
rimarranno o
2
4
5
7
: e così intenderai di tutti i casi simili. Ugualmente se vuoi sottrarre o
4
5
9
7
 da  5 7
, resterà o
5
5
9
7
 , cioè  25 63
, poiché se si sottraggono  4 9 da qualunque cosa, è necessario che di questa cosa ne restino i  5 9
; poiché con  4 9 e  5 9 si fa un intero.
o
3
2
5
9
 =  6 45


3
2
5
9
 o =  2 9 +  6 45
 a b - o
c
a
d
b
 = o
(d - c)
a
d
b


 4 7 -  2 × 4  5 × 7  =  3 × 4  5 × 7 

Termina la quinta parte del settimo capitolo.