pagina iniziale capitolo settimo parte terza del Liber abaci<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF, folio 28 verso
parte terza cap VII
 
Parte Terza

Inizia la parte terza della divisione di numeri interi per interi anche con rotti, e viceversa.
pg.69 (VII.3.1 ; G: VII.52) Quando vorrai dividere un qualche numero intero con un solo rotto, o anche più, o viceversa un numero intero con rotti per un altro numero intero, rendi rotti entrambi i numeri, quello o quelli che sono stati proposti, con un unico numero: poi dividi il totale dei rotti di quel numero per il totale dei rotti dell’altro, e avrai qualunque divisione vorrai. E affinché tu lo colga meglio con lo sguardo, faremo in modo, nelle pagine seguenti, di mostrare le divisioni di qualche numero

Divisione di 83 per
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3
5
(VII.3.2 ; G: VII.53) Se vorrai dividere 83 per
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3
5
, fai i terzi di ciascun numero in questo modo: moltiplicherai 5 per il tre che è sotto la linea, e somma 2, farà 17 terzi: e moltiplica 83 per 3 per farne i terzi da esso, farà 249 terzi: dividi quindi 249 per 17, farà
11
17
14
per la divisione richiesta. Da ciò quindi è manifesto che la divisione di 83 per
2
3
5
è uguale a quella di 249 per 17; e questo è ciò che dichiara Euclide, espertissimo geometra, nel suo libro: cioè che la proporzione che un qualunque numero ha con un qualunque numero è la stessa che c’è tra i loro multipli; e come 17 è multiplo di
2
3
5
, tanto 249 lo è di 83: infatti 17 è il triplo di
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3
5
, e 249 è il triplo di 83. E se al contrario avrai voluto dividere
2
3
5
per 83, dividi 17 per la regola di 249, che è
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0
3
83
, farà
2
5
3
83
per la divisione richiesta.
divisione
maggiore per minore
  17   249  
 
2
3
5 		83
11
17
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divisione
minore per maggiore
  17   249  
 
2
3
5 		83
2
5
3
83

Divisione di 94 per
2
5
6
(VII.3.3 ; G: VII.55) Parimenti, se vorrai dividere 94 per
2
5
6
, se vorrai mantenere il metodo soprascritto secondo l’insegnamento di questa arte, scrivi i numeri come qui si mostra; e moltiplica il 6 per la sua linea, cioè per 5, e aggiungi 2, sarà 32 quinti, ponilo sopra
2
5
6
; e moltiplica 94 per lo stesso 5, farà 470 quinti; ponilo sopra il 94, e dividi 470 per la regola di 32, che è
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0
4
8
, farà
1
5
2
8
14 per la divisione richiesta. E se dividerai 32 per la regola di 470, avrai
2
3
10
47
per la divisione di
2
5
6 per 94, come è mostrato nel riquadro più sopra.
Invero, se vorrai dividere 113 per
1
3
2
8
11
, come qui si vede, scrivi i numeri: scritti i quali, moltiplica 11 per la sua frazione, farà 183 sedicesimi, ponilo sopra
1
3
2
8
11
: poi moltiplica 113 per l’8 e per il 2 che sono sotto la linea, cioè per 16, farà similmente 1808 sedicesimi, ponilo sopra il 113: dividi quindi 1808 per la regola di 183, farà
2
53
3
61
9 per la divisione richiesta; e se dividerai 183 per la regola di 1808, avrai
1
3
11
2
8
113
 per la divisione di
1
3
2
8
11 per 113. E se anche più rotti fossero posti sotto la stessa linea, potresti operare in modo simile.
divisione
maggiore per minore
  32   470  
 
2
5
6 		94
1
5
2
8
 14

divisione
minore per maggiore
  32   470  
 
2
5
6 		94
2
3
10
47

Divisione di 217 per
1
4
2
3
13
(VII.3.4 ; G: VII.59) Se vorrai dividere 217 per
1
4
2
3
13
, scrivi i numeri, e moltiplica 13 per le sue frazioni, farà 167 dodicesimi, ponilo sopra
1
4
2
3
13
: poi moltiplica 217 per i numeri che sono sotto la linea, cioè per 3 e per 4, o in una sola moltiplicazione per 12, farà comunque 2604 [NdT] 2724 nel testo è un chiaro errore. dodicesimi, ponilo sora il 217; e dividi 2604 per 167, farà
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167
15 per la divisione richiesta. E se dividerai 167 per la regola di 2604, farà
1
5
6
1
2
6
7
31
 per la divisone di
1
4
2
3
13 per 217, come si mostra nello stesso riquadro scritto sopra.
  167   2604  
 
1
4
2
3
13 		217
99
167
15

Divisione di 323 per
1
9
5
6
14
pg.70 (VII.3.5 ; G: VII.61) Ugualmente, se vorrai dividere 323 per
1
9
5
6
14
, sebbene tu possa fare questa divisione secondo il metodo mostrato; tuttavia mostriamo come si debba fare semplificando ciò che i rotti hanno in comune: per prima cosa scrivi l’argomento; poi moltiplica 14 per le sue frazioni, semplificando solo così: moltiplicherai 14 per 6 e somma 5, farà 89 sesti, moltiplicali per un terzo di 9 per la regola in comune che il 6 ha col 9. Infatti è il 3 in comune per la loro regola, farà 267 diciottesimi; sopra questo somma la moltiplicazione di 1 che è sopra il 9, per un terzo di 6, che è sotto la linea, cioè per 2, farà 269 diciottesimi: o altrimenti somma
5
6con
1
9
, farà
17
18
[NdT]
1
18 nel testo è un chiaro errore : per questo moltiplica 14 per 18 e somma 17, farà ugualmente 269 diciottesimi, ponili sopra
1
9
5
6
14
; e moltiplica 323 o per 6 e per un terzo di 9, o per 9 e per un terzo di 6 per la regola che hanno in comune: quindi moltiplicherai in una sola moltiplicazione 323 per 18, che è lo stesso, farà 5814 diciottesimi, ponilo sopra il 323: poi dividi 5814 per 269, farà
165
269
21 per la divisione richiesta. In verità se dividerai 269 per la regola di 5814, troverai
1
8
14
0
2
9
17
19
 per la divisione di
1
9
5
6
14 per 323, come si mostra nel riquadro scritto sopra.
 
269
5814
 
1
9
5
6
14 		  323  
 
165
26921
divisione del
maggiore
 
1
8
14
0
2
9
17
19
divisione del
minore

Divisione di 1357 per
1
5
1
4
1
3
83
(VII.3.6 ; G: VII.64) Se anche vorrai dividere 1357 per
1
5
1
4
1
3
83
, scrivi i numeri; e moltiplica 83 per le sue frazioni, farà 5027 sessantesimi: poni quindi 5027 sopra
1
5
1
4
1
3
83
, e verificalo secondo ciò che ti abbiamo mostrato nelle moltiplicazioni per un rotto. Infatti il loro resto per 7 è 1, come occorre; poni questo resto sopra 5027: poi moltiplica 1357 per i numeri che sono sotto la linea dopo l’83 [ a sinistra ], cioè per 3, e per 4, e per 5, o con una [sola] moltiplicazione per 60, farà 81420 sessantesimi, ponili sopra il 1357. E sopra essi poni il loro resto per sette, che è 3: poi dividi 81420 per la regola di 5027, che è
1
0
11
457
, farà
9
89
11
457
16 per la divisione richiesta: perciò se [ lo ] moltiplicherai per
1
5
1
4
1
3
83
, farà lo stesso 1357; ed è il resto della stessa divisione per 7 è 3, così come è il resto di 81420: e se dividerai 5027 per la regola di 81420, avrai
5
7
14
3
6
10
23
59
 come divisione di
1
5
1
4
1
3
83 per 1357, il resto per 7 di questa divisione è 1, così come lo è di 5027; e così intenderai per le prove di qualunque divisione simile.
Esegue le divisioni e la prova del 7

(1)
(3)
5027
81420
 
1
5
1
4
1
3
83 		  1357  
 
9
89
11
457
16
(3)
 
5
7
14
3
6
10
23
59
(1)

Divisione di 2456 per
1
10
2
9
5
6
15
pg.71 (VII.3.7 ; G: VII.67) Proponiamo ancora un’altra divisione di questo tipo con tre rotti, che abbiano tra loro una regola in comune: affinché tu capisca meglio il modo per semplificare, ti proponiamo infatti di dividere 2456 per
1
10
2
9
5
6
15
: scrivi l’argomento, e moltiplica 15 per le sue frazioni, semplificando in questo modo: moltiplicherai 15 per 6, e sommerai il 5, farà 95 sesti; moltiplicali per la terza parte del 9, che è sotto la linea; perché per ciò che il 9 ha in comune col 6, non occorre moltiplicare per tutto il 9; farà cosi 285 diciottesimi, moltiplicali per 5, che è la metà di 10, e per il 2, che è la regola comune di 10 e di 6, farà 1425 novantesimi. Poi moltiplica il 2 che è sopra il 9, che è un nono, per 10, farà 20 novantesimi, che non occorre moltiplicare per 6; poiché il 6 è in comune con le regole del 9 e del 10. Infatti la regola del 6 è
1
0
2
3
 e
1
2 di questa regola è della regola del 10, che è
1
0
2
5
. E
1
3
, che resta da 6, è nella regola del 9; poiché essa è
1
0
3
3
: poi moltiplica l’1 che è sopra il 10, per 9, farà 9 novantesimi, che non occorre moltiplicare per 6, per ciò che hanno in comune, come detto prima. Somma quindi i 9 novantesimi trovati con i 20 novantesimi, e con i 1425 novantesimi, farà 1454 novantesimi, il cui resto per 7 è 5: poni quindi 1454 sopra il 15 e sopra i suoi fratti, e poni sopra il 5 come resto. Puoi certo fare altrimenti con i
1
10
2
9
5
6
15 novantesimi: tuttavia è la prima cosa da prendere in considerazione, perché i novantesimi possano essere fatti di lì. Devono infatti essere prodotti dal
1
10
2
9
5
6 che si trovano in 90: ed è il numero minore nel quale si trovano queste frazioni: perciò moltiplica 15 per 90, farà 1350 novantesimi: a questi somma
1
10
2
9
5
6 di 90, che è 104 novantesimi , farà ugualmente 1454 novantesimi: dopo trova i novantesimi di 2456, farà 221040 novantesimi; ponili sopra 2456, e dividi 221040 per la regola di 1454 [NdT] 81454 nel testo è un chiaro errore
, farà
0
16
2
727
152 per la divisione richiesta. E se dividerai 1454 per la regola di 221040, avrai la divisione di
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10
2
9
5
6
15 per 2456. Questa divisione è
6
1
0
2
8
9
10
307
 , come si è mostrato sopra nel riquadro [NdT] Abbiamo adattato il riquadro al testo
.
Riduce le frazioni in novantesimi

(5)
1454
221040
 
1
10
2
9
5
6
15 		 
2456
  

Termina la terza parte del settimo capitolo.