pagina iniziale capitolo settimo parte seconda del Liber abaci<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF, folio 27 verso
parte seconda cap VII
 
Parte Seconda

Parte seconda della somma e della sottrazione dell’unione di due rotti e della loro divisione.
pg.66 (VII.2.1 ; G: VII.19) Se vorrai sommare
1
4
1
3 con
1
7
1
5
, vedi in quale numero si trovino
1
4
1
3
1
7
1
5
, che si deve vedere in questo modo: moltiplica insieme i numeri che sono sotto le linee, cioè 3 per 4; che per 5; e che per 7, farà 420, che è il minimo multiplo dei numeri prescritti [il minimo comune multiplo], cioè che è il numero minore nel quale si trovano i rotti prescritti; poiché non hanno nessuna regola in comune tra loro. Prendi dunque
1
3 di 420, che è 140, e sommalo con la quarta parte del medesimo 420
(PdA)
Luoghi come adde cum quarta de eisdem 420 anziché cum quarta (scil. parte) eorumdem 420 tradiscono l’influsso del volgare, in cui il genitivo era stato ormai sostituito da complementi preposizionali con de (di in italiano; de in francese, portoghese e spagnolo). [PdA,pag.10]
, cioè per 105, e con la quinta che è 84, e con la settima che è 60, farà 389; dividilo per 420, risulterà
389
420 come somma dei rotti scritti sopra. Ed è la stessa cosa quando si chiede quali parti di un intero siano
1
7
1
5
1
4
1
3
. Possiamo infatti, secondo un altro insegnamento dei numeri, sommare
1
4
1
3 con
1
7
1
5
, cioè si scrivano i rotti secondo ciò che qui si vede; e moltiplica l’1 che è sopra il 3 per 4, e l’1 che è sopra il 4 per 3, farà 7; moltiplicalo per 5, e per 7, e che sono sotto le altre due linee dell’altro lato, farà 245, che è
1
4
1
3 di 420, come troviamo sopra: poni dunque 245 sopra
1
4
1
3 nel riquadro; poi vai a
1
7
1
5
; e moltiplica l’1 che è sopra il 5 per 7, e l’1 che è sopra il 7 per 5, [ la somma ] farà 12; moltiplicalo per 3 e per 4, che sono sotto la linea, farà 144, che è
1
7
1
5 di 420: poni dunque 144 sopra
1
7
1
5
, e somma 144 con 245, farà 389; dividilo per i rotti, cioè per
1
0
0
0
3
4
5
7, e sistema i rotti prescritti, farà
5
1
9
6
7
10, che è uguale a
389
420
.
1
4
1
3
+
1
7
1
5
=
1
4
+
1
3
+
1
7
+
1
5

Riduce le frazioni allo stesso denominatore



 		 144
 		 245
 
1
7
1
5
 
1
4
1
3
 
5
1
9
6
7
10
addizione

389 : 6 = 64
resto		 5
64 : 7 = 9
resto		 1
9: 10 = 0
resto		 9


Sottrazione di
1
7
1
5 da
1
4
1
3
(VII.2.2 ; G: VII.23) Se in verità vorrai sottrarre
1
7
1
5 da
1
4
1
3
, troverai i sopra scritti 245 e 144 nello stesso modo che vorrai dei due modi prescritti, e sottrai 144 da 245, resterà 101; dividilo per
1
0
0
6
7
10 nel modo scritto prima, farà
5
2
2
6
7
10 come residuo della detta sottrazione. E se dividerai
1
4
1
3 per
1
7
1
5
, dividi 245 con la regola di 144, farà
1
2
6
2
8
9 1. E se avrai diviso 144 per la regola di 245 avrai
4
0
4
5
7
7 come ciò che concerne la parte intera dalla divisione di
1
7
1
5 per
1
4
1
3
, come è mostrato nel riquadro.
101 : 6 = 16
resto		 5
16 : 7 = 2
resto		 2
2: 10 = 0
resto		 2


245
2 × 8 × 9 =
1
2
6
2
8
9 1

144
5 × 7 × 7 =
4
0
4
5
7
7 1

Addizione di
2
7
3
5 con
2
9
3
8
(VII.2.3 ; G: VII.25) Ancora se vorrai sommare
2
7
3
5 con
2
9
3
8
, cercherai il numero nel quale si trovino i rotti, e sarà 2520, che risulta dalla moltiplicazione dei quattro numeri che sono sotto la linea; e non si trovano in un numero più piccolo, ciò perché non hanno nessuna regola comune tra loro: e prendi i
3
5 di 2520, che è 1512, e sommali con i
2
7 di 2520 che fa 720, farà 2232, e serbali. Ancora prendi
2
9
3
8 di 2520, che è 1505, e sommalo con il 2232 serbato, farà 3737; dividilo per la regola di 2520, che è
1
0
0
0
4
7
9
10
, farà
1
3
7
4
4
7
9
10
1
. Poi scrivi i rotti in un altro modo, come si vede più in basso, e comincia da
2
7
3
5 così: moltiplicherai il 3, che è sopra il 5, per il 7 che è sotto la linea, farà 21. Poi moltiplicherai il 2 che è sopra il 7, per 5, farà 10, sommali con 21, farà 31; che moltiplicherai per gli altri rotti, cioè per 8 e per 9, cioè per 72, farà 2232, come si è trovato sopra per
2
7
3
5 di 2520: poni dunque 2232 sopra
2
7
3
5
, e vai a
2
9
3
8
; e moltiplica il 3 che è sopra l’8, per 9, e il 2 che è sopra il 9, per 8, e sommali insieme, farà 43; moltiplicalo per gli altri rotti, cioè per 5 e per 7, farà 1505, come abbiamo trovato sopra per
2
9
3
8 di 2520: poni quindi 1505 sopra
2
9
3
8
: poi somma 1505 con 2232, farà 3737; dividilo per tutti numero che sono sotto le linee, e li sistemerai, farà ancora
1
3
7
4
4
7
9
10
1
.


 		 1505
 		 2232
 
2
9
3
8
 
2
7
3
5
 
1
3
7
4
4
7
9
10
1
addizione

Sottrazione di
2
9
3
8 da
2
7
3
5
(VII.2.4 ; G: VII.29) Se invece vorrai sottrarre
2
9
3
8 da
2
7
3
5
, prenderai i 2232 e 1505 scritti sopra , e sottrarrai 1505 da 2232, resterà 727; dividilo nel modo scritto sopra per
1
0
0
0
4
7
9
10
, farà
3
6
7
2
4
7
9
10
. come si vede in quest’altro riquadro. E se vuoi dividere
2
7
3
5 per
2
9
3
8
, dividi 2232 per la regola di 1505, e se vuoi il contrario fai il contrario; e avrai ciò che hai voluto, come si vede nel riquadro.

 		 1505

 differenza 		 2232
 
2
9
3
8
 
2
7
3
5
 
3
6
7
2
4
7
9
10

Somma di
1
4
1
3 con
1
6
1
5
pg.67 (VII.2.5 ; G: VII.30) Ugualmente se vorrai sommare
1
4
1
3 con
1
6
1
5
, troverai il numero nel quale si trovino i rotti scritti prima. E sarà 60 , numero che si trova dalla moltiplicazione di 3 per 4 e per 5; e non occorre che il 60 sia moltiplicato per 6 per la regola in comune che hanno il 6 col 3 e col 4: infatti il 3 è interamente comune allo stesso 6: per cui non occorre che il 60 sia moltiplicato se non per un terzo di 6, che è 2, e non occorre moltiplicare il 60 neanche per 2 perché il 2 è nella regola di 4: e per dirlo in modo più agevole: la regola del 6 è
1
0
2
3
. Quindi nella moltiplicazione non ripetiamo il 3 né il 2, che sono la regola del 6 per 3 e per 4 , e abbiamo moltiplicato il 4 quando avemmo 60. Infatti in ogni numero nel quale si trovano
1
4
1
3
, si troverà anche
1
6
: prendi dunque
1
6
1
5
1
4
1
3
di 60 e sommali insieme, farà 57; dividilo per 60, farà
57
60
: ma poiché il 57 ha in comune la regola col 60, cioè
1
3
, possiamo dire questo
57
60 in modo più bello, cioè se dividi 57 per 3 farà 19: similmente dividi 60 per lo stesso 3, farà 20; per il quale dividi 19, farà
19
20 che è uno intero meno un ventesimo. Ancora scrivi in altro modo i rotti come qui si mostra; e comincia da
1
4
1
3
, e moltiplicherai l’1, che è sopra il 3, per 4, e l’1, che è sopra il 4, per 3, farà 7; moltiplicalo per il 5 che è sotto la linea, farà 35, che dovresti moltiplicare per 6, se non lo lasciassi per ciò che il 6 ha in comune con
1
4
1
3
: poni dunque 35 sopra
1
4
1
3
, che è
1
4
1
3 di 60, poi moltiplica l’1 che è sopra il 5, per 6, e l’1 che è sopra il 6, per 5, farà 11, che dovresti moltiplicare per 3 e per 4: ma tralascerai ciò: non moltiplicherai per 3; perché è nella regola del 6, né per 2, che è nella regola del 4; essendo similmente nella regola del 6: quindi moltiplicherai l’11 scritto sopra per il 2 che resta dal 4, farà 22, che è
1
6
1
5 di 60: poni quindi il 22 sopra
1
6
1
5 e sommerai 22 con 35, farà 57, come abbiamo trovato sopra: e dividilo per
1
0
0
3
4
5
; poiché non devi dividerlo per 6, perché perché lo abbiamo tralasciato dalla moltiplicazione da entrambi i lati, e sistemerai i rotti, scritti sopra, farà
1
9
2
10
, cioè
19
20
, come si mostra nel riquadro.

Calcola il minimo comune multiplo di 3,4,5,6.

 		 22
 		 35
 
1
6
1
5
 
1
4
1
3
 
  5   2  
1
9
2
10
addizione
(VII.2.6 ; G: VII.35) Dirò in un altro modo e più chiaro come trovare il 35 e il 22 scritti sopra. Moltiplica 3 per 4, che sono sotto la linea da una parte, farà 12: serbalo nella mano destra; e moltiplica 5 per il 6 che sono sotto le altre due linee dall’altro lato, farà 30, serbalo nella mano sinistra; e dividi entrambi i numeri serbati in mano per la loro massima misura comune , che è 6, farà 2 nella mano destra e 5 nella sinistra: porrai il 2 sotto
1
4
1
3
, e 5 sotto
1
6
1
5
; e moltiplicherai il 7 trovato per il 5 posto sotto
1
6
1
5
, e l’11 per il 2 posto
1
4
1
3 e avrai 35 e 22; la cui somma, cioè 57, dividila per i numeri che sono sotto la linea di un lato, e per il numero posto sotto le altre, cioè per 5 e per 6 e per 2, o per 3 e per 4 e per 5, cioè per la regola del 60.
Il minimo multiplo comume si ottiene dal prodotto diviso il massimo comun divisore.


Sottrazione di
1
6
1
5 da
1
4
1
3
(VII.2.7 ; G: VII.37) Se invece vorrai sottrarre
1
6
1
5 da
1
4
1
3
, prenderai il prescritti 35 e 22, e sottrarrai 22 da 35, resterà 13, che dividi nel modo sovrascritto per
1
0
6
10
, farà
1
2
6
10
 come resto della detta sottrazione.

 		 22
 		 35
 
1
6
1
5
 
1
4
1
3
 
1
2
6
10
sottrazione

Addizione di
1
7
2
3 con
1
9
3
5
(VII.2.8 ; G: VII.38) Ancora, se vorrai sommare
1
7
2
3 con
1
9
3
5
, trova un numero nel quale si trovino i numeri scritti sopra, e sarà 315; questo numero viene dalla moltiplicazione dei rotti, evitato di lì tuttavia il 3, che è la regola comune del 9 e del 3; che non occorre ripetere nella moltiplicazione, poiché
1
3 e
1
9 si trovano nel 9: per cui ogni numero che ha
1
9
, ha similmente anche
1
3
: prendi quindi
2
3
di 315, che sono 210, e sommalo con
1
7
dello stesso, che è 45, farà 255, serbalo: e prendi
1
9
3
5 dallo stesso 315, che fa 224 [NdT]
234 è un chiaro errore
, e sommalo con 255, farà 489; dividi per la regola del 315, che è
1
0
0
5
7
9
, farà
4
4
4
5
7
9
 1
.
pg.68 (VII.2.9 ; G: VII.40) Altrimenti secondo l’abilità scrivi i rotti come qui si mostra, e comincia da
1
7
2
3
: moltiplica il 2 che è sopra il 3 per 7, e l’1 che è sopra il 7 per 3, e sommali insieme, farà 17; moltiplicalo per 5, farà 85; moltiplicalo per la terza parte di 9, cioè per 3, per la comunanza della regola che ha il 3, che è sotto la linea, con il 9; e quella moltiplicazione farà 255, che è
1
7
2
3
di 315, come abbiamo trovato più sopra. Porrai dunque 255 sopra
1
7
2
3
, e aggiungi
1
9
3
5 moltiplicando 3 che è sopra il 5 per 9 e 1 che è sopra il 9 per 5 farà 32; moltiplicalo per 7, farà 224, come è stato trovato più sopra per
1
9
3
5 di 315: non occorre moltiplicare questo 224 per il 3, che è sotto la linea per l’essere in comune detto prima, che il 3 ha con il 9: poni quindi 224 sopra
1
9
3
5 e somma 224 con 255, farà 479; dividilo per
1
0
0
5
7
9
, che è sotto la linea, e lascia il 3 che non dividerai per esso; ciò nella moltiplicazione di entrambe le parti tralasciasti di moltiplicare per 3, perché non moltiplicasti per il 3: per cui non devi dividere per 3 il totale delle addizioni di quelle stesse parti; ma lo devi dividere per gli altri rotti in quanto
(PdA)
Il cum temporale con l’indicativo è talora sostituito al cum narrativo con il congiuntivo. [PdA,pag.11]
moltiplicasti per gli stessi, farà
4
4
4
5
7
9
 1
, come più sopra.
addizione
224 255
1
9
3
5
1
7
2
3

Sottrazione di
1
9
3
5 da
1
7
2
3
(VII.2.10 ; G: VII.43) Se inoltre vorrai sottrarre
1
9
3
5 da
1
7
2
3
, trova i suddetti 255 e 234 [NdT]
Il testo riporta il valore sbagliato di 234, anziché 224 e il resto è conseguentemente sbagliato.
Il risultato della sottrazione é
31
315 =
1
6
0
5
7
9
 .
: sottrai 234 da 255, resterà 21, dividilo nel modo sovrascritto solo per
1
0
0
5
7
9
 e dividi prima per 7 e per 9, che per 5: perché 21 è diviso interamente per 7 e per il 3, che è nella regola dello stesso 9, farà
3
0
9
5
 come residuo della detta sottrazione, cioè
1
0
3
5
: per la loro divisione a vicenda poi fai come sopra.
 sottrazione 
 
1
9
3
5
1
7
2
3 

Addizione di
1
5
3
4 con
1
10
2
9
(VII.2.11 ; G: VII.44) Parimenti vorrai sommare
1
5
3
4 con
1
10
2
9
, moltiplica i numeri che sono sotto la linea, cioè 4 per 5, farà 20; e per 9, farà 180; e non occorre moltiplicare 180 per 10 poiché in 180 si trova
1
10
. Perciò prenderai
1
5
3
4 di 180, cioè 171, e li sommerai con
1
10
2
9 di 180, cioè con 58, farà 229 che dividi per 180, farà
1
6
2
2
9
10
 1
.
(VII.2.12 ; G: VII.45) Altrimenti scrivi i rotti, e moltiplica il 3, che è sopra il 4, per 5 e [ aggiungi ] l’1 che è sopra 5 per 4, farà 19, che moltiplica per 9, farà 171, che ometti di moltiplicare per 10 per ciò che ha in comune col 5 e col 4: poni quindi 171 sopra
1
5
3
4 poiché essi sono
1
5
3
4 di 180: poi moltiplica il 2 che è sopra il 9, per 10 e [ aggiungi ] l’1, che è sopra 10 per 9, farà 29; moltiplicalo per 2, e lascia ciò che 10 ha in comune con 4 e con 5, farà 58, che è
1
10
2
9 di 180: somma quindi 58 con 171, farà 229: dividilo per i rotti, che sono in uno stesso lato e per il rotto dell’altro lato, che è moltiplicato nella moltiplicazione, cioè, o per 4 e per 5 che sono in uno stesso lato; e per 9 che è nell’altro lato, per il quale moltiplichiamo più sopra il 19: o dividi per 9 e per 10, che sono dall’altro lato, e per 2 che abbiamo assunto dall’altro lato nella moltiplicazione, per il quale cioè moltiplicammo il 29, infatti
1
0
0
4
5
9
 o
1
0
0
2
9
10
 è lo stesso, e una qualunque di quelle frazioni è la regola di 180, farà
1
6
2
2
9
10
 1
.
addizione
58
 171
1
10
2
9
1
5
3
4
1
6
2
2
9
10
 1
(VII.2.13 ; G: VII.48) Infatti se vorrai sottrarre
1
10
2
9 da
1
5
3
4
, troverai il 171 e il 58 scritti sopra, e sottrarrai 58 da 171, resterà 113; dividilo nel modo scritto sopra per
1
0
0
2
9
10
, farà
1
2
6
2
9
10
 come residuo della detta sottrazione. E se vuoi dividerli fra loro fai come sopra.
sottrazione
58
 171
1
10
2
9
1
5
3
4
1
2
6
2
9
10
(VII.2.14 ; G: VII.49) Voglio mostrare il modo di trovare la minima misura comune di qualunque dei dati numeri: così se vuoi trovare il numero nel quale si trovino
1
10
1
9
1
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
, moltiplica il numero maggiore che sta sotto la linea di frazione per il seguente; poiché non hanno nulla in comune, cioè 10 per 9, farà 90. Moltiplicalo per ciò che ha in comune con l’8, cioè per la sua metà essendo il 2 la loro misura comune, sarà 360; moltiplicalo per 7; poiché non nulla da semplificare tra loro, farà 2520, che non occorre moltiplicare per 6; poiché la sua regola è
1
0
2
3
; parti che sono delle parti dei numeri moltiplicati; infatti
1
2 viene dalla regola del 10, regola che è
1
0
2
5
 e
1
3 viene dalla regola del 9: né è da moltiplicare anche 2520 per 5; essendo il 5 nella regola del 10, né anche per 4, o per 2; essendo nella regola dell’8. Ugualmente non occorre moltiplicare 2520 per 3; essendo dalla regola del 9: quindi in 2520 si trovano tutti i rotti scritti sopra; ed è la minima misura comune di tutti i numeri, che sono sotto la prescritta linea
Come trovare il minimo comune multiplo di 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Termina la seconda parte del settimo capitolo.