pagina iniziale capitolo settimo parte prima del Liber abaci<br>Conv. Sopp. C.I. 2616, BNCF, folio 26 verso
parte prima cap VII
 
Parte Prima

L’addizione di una frazione con un’altra e la sottrazione di una frazione da altre, e la divisione di una frazione per un’ altra.
(VII.1.0 ; G: VII.1)
Indice del capitolo
  • (VII.1) D
    ividiamo il settimo capitolo in sei parti. Nella prima di queste mostreremo l’addizione di una frazione con un’altra e la sottrazione di una frazione da altre, e la divisione di una frazione per un’altra.
  • (VII.2) N
    ella seconda la somma e la sottrazione di due frazioni con due, e la loro reciproca divisione.
  • (VII.3) N
    ella terza la divisione di numeri interi per interi e rotti e il loro contrario.
  • (VII.4) N
    ella quarta la divisione la somma e la differenza e la divisione di numeri interi con rotti con interi e rotti.
  • (VII.5) N
    ella quinta insegneremo anche le addizioni, le sottrazioni e le divisioni di parti di numeri con rotti
  • (VII.6) N
    ell’ultima poi, mostreremo la riduzione di più parti in un’unica parte.

L’addizione di
1
3 con
1
4


pg.64 		(VII.1.1 ; G: VII.3) Se vorrai sommare
1
3 con
1
4
, ti insegniamo a farlo in due modi: il primo certamente secondo il modo della gente comune. Trova in quale numero si ritrovino [NdT]
1
3 e
1
4 sono parti di 12
1
3 e
1
4
, numero che si trova così: moltiplica 3 per 4, che sono sotto la linea, farà 12, nel quale si troveranno
1
3
1
4
; e perciò prendi la loro terza parte, che è 4, e la quarta parte che è 3 e sommale tra loro, farà 7; che dividi per 12, farà
7
12
, cioè sette parti di dodici parti di un intero. Ugualmente scrivi
1
4
1
3 in questo modo; e moltiplica l’1 che è sopra il 3 per 4, farà 4; ponilo sopra
1
3
, e l’1 che è sopra il 4, moltiplicalo per 3, farà 3; ponilo sopra
1
4 e sommali insieme, farà 7; dividilo per il 3 e il 4 che sono sotto la linea, cioè per 12, farà ugualmente
7
12 per la loro somma: e sappi che sommare
1
3 con
1
4
, è lo stesso che dire
1
4
1
3 che son parti di un intero: sono infatti
7
12 di un intero; e che tu intenda così di per le addizioni di tutti i rotti.

1
3
+
1
4
=
4
12
+
3
12
=
7
12



1
4
1
3
=
3
+
412



 		 3 4
 
1
4
1
3
 
7
12		 addizione

Sulla sottrazione di
1
4 da
1
3
(VII.1.2 ; G: VII.5) E se vorrai sottrarre
1
4 da
1
3
: sottrai il tre che è [ nel precedente riquadro ] sopra
1
4
, cioè la quarta parte di 12, dal 4 che è sopra
1
3
, cioè la terza parte di 12, resterà 1; dividilo per il 12 trovato, o per 3 e per 4 che sono sotto la linea, si avrà come avanzo della detta sottrazione
1
12
, cioè [NdT] per la definizione di frazione multipla
  graduata vedi V.3
1
0
3
4
. E se vuoi dividere
1
3 per
1
4 dividi il 4 che sta sopra
1
3
per 3 e avrai
1
3
1 per ciò che riguarda la parte di un intero. Per esempio: la proporzione di
1
3 a
1
4 è come la proporzione del dodicesimo di
1
3
al dodicesimo di
1
4
, cioè come 4 sta a 3 così
1
3 sta a
1
4
. Perciò la divisione di
1
3 per
1
4 si presenta come quella di 4 diviso 3: o altrimenti, quando si dice : dividi
1
3 per
1
4
, allora si intende di fissare la quarta parte di [ quattro volte ] un terzo di un intero. Perciò al quadruplo della quarta parte, cioè della parte intera sta in relazione il quadruplo di un terzo, cioè
1
3
1
, come ho detto prima. E se vuoi dividere
1
4 per
1
3 per sapere cosa di lì stia a una parte intera, dividi il 3 posto sopra
1
4 per il 4 posto sopra
1
3
, farà
3
4
: infatti la proporzione di
1
4 a
1
3 è come la proporzione di 3 a 4, o come tre parti di 4 sta a tre terzi cioè la parte intera.
1
3
-
1
4
=
4
12
-
3
12
=
1
12


1
3
:
1
4
=
4
:
3
=
1
31

1
3
:
1
4
=
12
3
:
12
4=
4
:
3

1
3
:
1
4
=
4
3
:
4
4

1
4
:
1
3
=
3
4
:
3
3

(VII.1.3 ; G: VII.8) Parimenti se vorrai sommare
2
3 con
4
5
, cerca similmente in quale numero si trovino
4
5
2
3 così: moltiplicherai 3 per il 5 che è sotto la linea, farà 15; e in questo stesso numero si trovano
4
5
2
3
: perciò prendi
2
3 dal 15 che è 10, e
4
5 di 15, che è 12, e addizionali, farà 22; dividilo per 15, farà
7
15
1
 per l’addizione di
2
3 con
4
5
.
Ugualmente scriverai altrimenti
4
5
2
3 come si vede in margine; e moltiplica il 2 che è sopra il 3 per 5, farà 10; ponilo sopra
2
3
, e il 4 che è sopra il 5 per 3, farà 12; ponilo sopra il
4
5 nell’argomento. Somma quindi 10 col 12, sarà 22 come sopra; dividilo per i fratti che sono sotto la linea, cioè per
1
0
3
5
, farà [NdT] per la definizione di frazione multipla
  graduata vedi V.3
1
2
3
5
1
, come si vede nell’argomento, cioè
7
15
1
 come abbiamo trovato in altro modo.
In verità, se avrai voluto sottrarre
2
3 da
4
5
, troverai 10 e 12 trovati sopra in qualunque dei due modi descritti tu voglia: e sottrai 10 da 12, resta 2; dividilo per i fratti, cioè per
1
0
3
5
, farà
2
0
3
5
 cioè
2
15 come resto della sottrazione richiesta. E se vuoi dividere
4
5 per
2
3
, dividi 12 per 10, farà
1
15
1
; e tanto sta ad una parte intera dalla divisione stessa. E se vuoi dividere
2
3 per
4
5
, dividi 10 per 12, farà
5
6
.

22
3
×
5
=
⎧⎩
22
3⎫⎭
×
1
5
=
⎧⎩7
+
1
3⎫⎭
×
1
5
=
7
5
+
1
3
×
5
=
1
+
2
5
+
1
3
×
1
5
=
1
2
3
5
1

 		 12 10
 
4
5
2
3
 
1
2
3
5
1

 

L’addizione di
5
6 con
7
10
(VII.1.4 ; G: VII.11) Ugualmente se vorrai addizionare
5
6 con
7
10
, troverai similmente in quale numero si trovino
5
6 e
7
10
; moltiplicherai quindi 6 per 10, farà 60: si trovano anche in un numero minore di 60. E ciò avviene per la comunità [ il fattore comune ] che ha il 6 con il 10, cioè
1
2
; perché entrambi i numeri si dividono interamente per 2. Per cui dividi 60 per 2, farà 30, nel quale si trovano anche
5
6 e
7
10
: puoi anche trovare questo 30 in altro modo, cioè quando moltiplichi 6 per la metà di 10, cioè per 5, e farà 30; o moltiplica 10 per la metà di 6, cioè per 3, e farà similmente 30; e prendi
5
6 di 30, che sono 25, e aggiungi a
7
10 di 30 che è 21, farà 46; dividilo per 30, farà
16
30 1, cioè
8
15 1.

Sullo stesso in altro modo
pg.65 (VII.1.5 ; G: VII.13) Parimenti, scrivi così, in altro modo
7
10
5
6
; e poiché il 6 e il 10, che sono sotto le linee, hanno una regola [ fattore ] comune, cioè il 2, dividi 10 per 2, farà 5; per il quale moltiplica il 5 che è sopra il 6, farà 25, come più sopra è stato trovato per
5
6 di 30. Ancora dividi il 6 per lo stesso 2, farà 3, ponilo sotto il 6; per questo moltiplica il 7 che è sopra il 10, farà 21 come per i
7
10 di 30: addiziona dunque 21 col 25, farà 46; dividilo per la metà di 10, e per 6, cioè per
1
0
5
6
, o per la metà di 6 e per 10, cioè per
1
0
3
10
, farà
1
5
3
10
1, che è tanto quanto
16
30
1, o quanto
8
15
1.
46 : 3 = 15
15 :		 10 = 1
resto 1
resto
5



Sottrazione di
7
10 da
5
6
(VII.1.6 ; G: VII.15) I
nvero se vorrai sottrarre
7
10 da
5
6
, troverai il 21 e il 25 scritti sopra, e sottrai 21 da 25, resta 4; dividilo per 30, o per la loro regola, che è
1
0
3
10
, farà
1
1
3
10
, come avanzo della sottrazione richiesta. E se vuoi dividere
5
6 per
7
10
, dividi 25 per 21, farà
1
1
3
7
1. E se vuoi dividere
7
10 per
5
6
, dividi 21 per 25, farà
1
4
5
5
.
4 : 3 = 1
1 :		 10 = 0
resto 1
resto
1

La somma di
1
6 con
5
9
(VII.1.7 ; G: VII.16) A
ncora, se vorrai sommare
1
6 con
5
9, cerca in quale numero si trovino
1
6 e
5
9, che si trova così: poiché il 3 è la regola comune del 6 e del 9, dividi 6 per 3, farà 2; moltiplicalo per 9, farà 18; oppure dividi 9 per 3, farà 3; moltiplicalo per 6, farà ugualmente 18, nel quale si trovano
5
9
1
6: di lì prendi
1
6 di 18, che è 3, e sommalo con
5
9 di 18, che è 10, farà 13; dividilo per la regola di 18, farà
1
6
2
9
: o altrimenti scrivi i fratti, come qui si mostra; e moltiplica l’1 che è sopra il 6, per la terza parte di 9 per la regola comune degli stessi, farà 3, ponilo sopra
1
6
; e moltiplica il 5 sopra il 9 per un terzo di 6, cioè 2, farà 10, ponilo sopra
5
9 e somma 3 con 10, farà 13; dividilo per un terzo della moltiplicazione di 6 per 9, cioè per 18, farà
1
6
2
9
 per la loro somma, come è mostrato nel riquadro.
1
6
+
5
9
=
3
18
+
10
18


  10 3
 
5
9
1
6
1
6
2
9
addizione

Sottrazione di
1
6 da
5
9 [NdT] 6 nel testo è un chiaro errore
(VII.1.8 ; G: VII.18) I
nvero, se vorrai sottrarre
1
6 da
5
9
, trova il 3 e il 10 scritti prima; e sottrai 3 da 10, resterà 7; che per il metodo scritto sopra dividi per 18, o per la sua regola che è
1
0
2
9
, farà
1
3
2
9
 come resto della detta sottrazione. E se vuoi dividere
5
9 per
1
6 dividi 10 per il 3 che è sopra
1
6
, farà
1
3
3. E se vuoi dividere
1
6 per
5
9
, dividi 3 per il 10, farà
3
10
.
  10 3
 
5
9
1
6
1
3
2
9
sottrazione

Termina la prima parte del settimo capitolo.