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Prima parte
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Esposto il capitolo quinto, inizia il capitolo sesto
sulla moltiplicazione dei numeri interi con quelli rotti |
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| pg.47 | (VI.1.1 ; G: VI.1) E ancora quando vorrai moltiplicare qualunque numero di qualunque posizione [ con un numero qualunque di cifre ] che contiene uno o più rotti per un qualunque numero con uno o più rotti, scrivi il numero maggiore con il suo rotto, o rotti, sotto il numero minore con i suoi pezzetti, cioè numero sotto numero e pezzetti sotto pezzetti. E prendi il numero superiore con i suoi pezzetti. E da lì fai pezzetti uguali a quelli [ che sono ] con lo stesso numero. E similmente farai i suoi pezzetti dal numero inferiore. E moltiplicherai i pezzetti fatti del numero superiore per quelli fatti del numero inferiore. E dividerai il risultato per i pezzetti di entrambi i numeri sotto un’unica linea di frazione, cioè unita insieme, e avrai le moltiplicazioni di qualunque numero per i pezzetti. E perché ciò si mostri più chiaramente con le dimostrazioni numeriche dividiamo questo capitolo in otto parti. |
n m a =
n m +
a mm =
n + a mm
n m a ×
p q b =
(n + m a) × (p + q b)m q |
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(VI.1.2 ; G: VI.3)
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Indice del capitolo |
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Inizia la parte prima sulla moltiplicazione dei numeri interi
con un rotto sotto una linea di frazione. |
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(VI.1.3 ; G: VI.4)
S e vuoi moltiplicare 11 e un mezzo per 22 e un terzo, scrivi il numero maggiore sotto il minore, cioè
[NdT]
va letto da destra a sinistra con '+' sottointeso 1 3 22 sotto 1 2 11 , come qui si mostra: poi calcola i mezzi di 1 2 11 ; poiché il rotto che è con 11 esprime una metà, si fa così: moltiplicherai 11 per il 2 che è sotto la linea di frazione dopo l’11, e sopra addiziona 1, che è sopra la linea di frazione del 2; farà 23 mezzi: oppure raddoppia 1 2 11 , farà 23: scrivi questo 23 sopra 1 2 11 , come si mostra nella figura: con lo stesso metodo moltiplicherai 22 per il suo rotto [NdT] lett: linea di frazione cioè per il 3 che è sotto la linea di frazione dopo il 22; farà 66 terzi, a cui sommi l’1 che è sopra il 3, e saranno 67 terzi, che devi serbare sopra 1 3 22 , e questo è stato come triplicare 1 3 22 : e moltiplicherai i 23 mezzi per i 67 terzi, farà 1541 sesti, che dividerai per i rotti che sono sotto le linee di frazione di entrambi i numeri, cioè per 2 e per 3; questa divisione si fa così: moltiplica 2 per 3, farà 6, per i quali dividi 1541; farà esattamente 5 6 256 per la moltiplicazione richiesta, come si dimostra nella figura sopra descritta. |
⎧⎩ 1 2 + 11⎫⎭⎧⎩ 1 3 + 22⎫⎭ =
23 2 × 67 3 = 1541 6 = 5 6 + 256 |
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pg.48 |
(VI.1.4 ; G: VI.6) I nfatti a chi chiede perché dalla moltiplicazione dei mezzi per i terzi risultano i sesti, rispondi: perché se si prende una sola volta un terzo, moltiplicando 1 per un terzo risultano terzi. Perciò quando si moltiplica la metà di uno per un terzo, cioè quando si prende la metà di un terzo, necessariamente risulta un sesto. E perciò dalla moltiplicazione dei mezzi per i terzi si hanno i sesti. Di nuovo, quando secondo un altro criterio abbiamo moltiplicato il doppio di 1 2 11 , cioè 23 per il triplo di 1 3 22 , cioè per 67, mostrerò che allora si è ottenuto il sestuplo del totale della loro moltiplicazione. E dalla moltiplicazione di 1 3 22 per 1 2 11 risulta senza dubbio il totale richiesto. Pertanto se si moltiplica 1 3 22 per il doppio di 1 2 11 cioè per 23, risulta il doppio del totale richiesto. Quindi se si moltiplica il triplo di 1 3 22 , cioè 67, per 23, cioè per il doppio di 1 2 11 , risulta ovviamente il triplo del doppio, cioè il sestuplo del totale cercato. Per questo la sesta parte del totale della loro moltiplicazione è il totale cercato, cosa che bisognerà dimostrare. |
Dimostra la regola per il prodotto di frazioni usando implicitamente
la proprietà associativa e commutativa del prodotto
6 × ⎧⎩ 23 2 × 67 3⎫⎭ =
2 × ⎧⎩3 × ⎧⎩ 23 2 × 67 3⎫⎭⎫⎭ = 3 × ⎧⎩⎧⎩2 × 23 2⎫⎭ × 67 3⎫⎭ = 3 × ⎧⎩23 × 67 3⎫⎭ = 23 × ⎧⎩3 × 67 3⎫⎭ = 23 × 67
dunque
6 × ⎧⎩ 23 2 × 67 3⎫⎭ = 23 × 67 ed, essendo la divisione l’operazione inversa alla moltiplicazione, abbiamo 23 2 × 67 3 = 23×67 2×3 |
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| (VI.1.5 ; G: VI.8) E sappi che per questo abbiamo moltiplicato 2 per 3, quando dobbiamo dividere per 2 e per 3, poiché la loro moltiplicazione non va oltre il numero dieci; e così devi fare di tutti i numeri, che moltiplicati non salgono oltre il dieci. Per esempio, quando dovrai [NdT] lett: avrai dovuto dividere qualche numero per 2 e per 2, lo dividerai per 4; e ciò perché due volte 2 fanno 4: e se dovrai dividere lo stesso numero per 2 e per 4, dividilo per 8; e se per 2 e per 5, dividilo per 10; e se per 3 e per 3, dividilo per 9; e se vorrai dividere un qualche numero per 3 e per 5, dividilo per 10 35 : perché la moltiplicazione di 3 per 5 sale a 15, che è un numero maggiore di 10. Per cui è meglio che tu lo divida per 10 35 che per 15. | ||||||||||||||||||||
Sullo stesso
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| (VI.1.6 ; G: VI.10) ; G: VI.12) Ugualmente se vorrai moltiplicare 1 2 12 per 3 5 23 , scrivi la cosa come qui si mostra, e moltiplica il 12 per il 2 che è sotto la linea di frazione, e aggiungi 1 che è sopra il 2, farà 25 mezzi. Ugualmente moltiplicherai 23 per il 5 che è sotto la linea di frazione e aggiungerai il 3 che è sopra il 5, farà 118 quinti: moltiplicherai dunque 25 mezzi per 118 quinti, saranno mezzi per quinti, cioè 2950 decimi; perciò dividi per 2 e per 5, che sono sotto le linee, cioè per 10, cioè devi dividere 2950 per 10; perché dal doppio di 1 2 12 per il quintuplo di 3 5 23 , cioè di 25 per 118, si ha il decuplo della moltiplicazione di 1 2 12 per 3 5 23 , farà esattamente 295, e nulla di più, come è mostrato sopra . |
⎧⎩ 1 2 + 12⎫⎭⎧⎩ 3 5 + 23⎫⎭ =
25 2 × 118 5 = 2950 10 = 295 |
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| (VI.1.7 ; G: VI.12) E bbene puoi trovare il risultato della detta moltiplicazione in altro modo, cioè prima di moltiplicare 25 per 118, dividi 25 per il 5 sotto la linea di frazione; poiché si può dividere interamente, farà 5, che terrai da parte; e dividi 118 per il 2 che è sotto la linea di frazione; poiché la loro metà è intera, farà 59, che devi moltiplicare per il 5 che era stato tenuto da parte era la quinta parte di 25, risulterà 295, che è il totale della detta moltiplicazione, come si è trovato più sopra: e questa semplificazione [NdT] Lett. “cosa evitata” è molto da considerare, perché con essa si evita la fatica del moltiplicare e del dividere: infatti è più faticoso moltiplicare 25 per 118 che 5 per 59; per la moltiplicazione di questi, cioè di 5 per 59, non c’è bisogno di dividere per alcun rotto. Per cui dovendo moltiplicare un numero qualsiasi per un numero qualsiasi, e dovendo dividere il loro totale per un numero, o numeri qualsiasi, per il quale, o per i quali tu possa interamente dividere uno di quei numeri, cercherai sempre di dividere quelli che potrai dividere interamente, prima di moltiplicarli: poi moltiplicherai a vicenda il resto dei numeri, e dividerai per il rotto, o per i rotti che resteranno da questa semplificazione che avremo cura di mostrare nel seguito. . | Prima di moltiplicare semplifica le frazioni
25 2 × 118 5 = 5 1 × 59 1
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| pg.49 |
(VI.1.8 ; G: VI.15) M a in primo luogo voglio mostrare da dove derivi questa semplificazione. Perché dalla moltiplicazione di 25 per 118 risulta il decuplo della moltiplicazione di 1 2 12 per 3 5 23 , come si ha per quella che abbiamo calcolato nella precedente moltiplicazione. Quindi dalla moltiplicazione della quinta parte di 25 per 118 ne viene la quinta parte del decuplo della moltiplicazione di 1 2 12 per 3 5 23 , cioè la divisione della stessa moltiplicazione: perciò si moltiplicherà la quinta parte di 25, cioè 5, per la metà di 118, cioè per 59, risulterà la stessa moltiplicazione di 1 2 12 per 3 5 23 . | |||||||||||||||||||
Sullo stesso
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| (VI.1.9 ; G: VI.16) A ncora, se vorrai moltiplicare 2 3 13 per 5 7 24 , scritti i numeri, come qui si mostra, moltiplica 13 per 3 e aggiungi 2, che è sopra lo stesso 3, farà 41 terzi. Ancora moltiplica 24 per il suo rotto [NdT] nel testo: la sua regola , cioè per 7, e aggiungi 5, farà 173 settimi, che devi moltiplicare con 41, farà 7093 ventunesimi. Che dividi per 3 e per 7, che sono sotto la linea di frazione, posti sotto un’unica linea di frazione così: 10 37 , si avrà interamente 15 37 337 : infatti da questa moltiplicazione non si può semplificare nulla, perché sia 41 che 23 non si possono interamente dividere né per 3 né per 7. |
2 3 13 ×
5 7 24
1 7 × 7093 3 =
= 1 7 × ⎧⎩ 2364 + 1 3 ⎫⎭ = = 2364 7 × 1 7 × 3 = = 337 + 5 7 + 1 7 × 3 7093 7 × 3 = 15 37 337 |
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| (VI.1.10 ; G: VI.17) S e poi con il resto del 9 vorrai sapere se questa moltiplicazione sia stata corretta o no, prendi il resto di 13 dallo stesso 9, che è 4, e moltiplicalo per 3, che è sotto la linea di frazione dopo lo stesso 13: farà 12, e aggiungi il 2, che è sopra lo stesso 3, farà 14, dal quale prendi il resto, che è 5, e conservalo. E guarda se il resto del 41 è 5, come hai così serbato, perché allora saprai che il 41 stesso è giusto se il suo resto sarà 5. Infatti il resto di 41 è 5, come deve essere: perciò serberai il 5 sopra il 41 o dietro ad esso: poi vedrai con lo stesso resto del 9 di 173 se è giusto, cioè moltiplicherai il resto di 24, che è 6, per il 7 che si trova sotto la linea di frazione, e aggiungerai il 5 che è sopra le stesso 7, farà 47, del quale conserva il resto, che è 2. Poiché tale deve essere il resto di 173, e così è: per questo porrai il 2 sopra il 173, e moltiplicherai il resto di 41 per il resto del 173, cioè 5 per 2, farà 10; da cui estrai il resto, rimane 1 , che è il resto del totale della moltiplicazione: conserverai infatti lo stesso 1 sopra il totale della moltiplicazione, cioè sopra 15 37 337 . E moltiplicherai il resto di 337 che è 4 per 7, che è sotto la linea di frazione dopo 337; e aggiungi 5, farà 33, la cui prova che è 6 moltiplicherai per il 3 che è sotto la stessa linea di frazione dopo il 7, e aggiungi 1, che è sopra lo stesso 3, sarà 19, il cui resto è 1, come è stato conservato quale resto del totale della moltiplicazione sopra il 337 in questione: quindi la detta moltiplicazione è corretta; infatti la norma della prova è che quando cominci a moltiplicare, devi cominciare a provare. Così in questa moltiplicazione, quando hai avuto 41 dalla moltiplicazione di 13 per 3, aggiunto il 2 sopra, hai dovuto subito sapere con il resto [ rispetto a 9 ], se questo 41 fosse corretto: e ugualmente quando hai avuto 173, hai dovuto conoscere con il resto se fosse corretto. Di nuovo, quando hai moltiplicato 41 per 173, hai dovuto conoscere dal resto se la loro moltiplicazione fosse corretta. E quando hai avuto il totale, cioè 15 37 337 , hai dovuto similmente sapere, secondo quello che abbiamo mostrato sopra, se quella divisione fosse corretta. |
13 × 3 + 2 (mod 9) = 5
41 (mod 9) = 5 24 × 7 + 5 (mod 9) = 2 173 (mod 9)=2 41 × 173 (mod 9) = 2 × 5 (mod 9) = 1 337 × 7 + 5 = 6 (mod 9) 3 × 6 + 1 = 1 (mod 9) |
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Sullo stesso
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| pg.50 |
(VI.1.11 ; G: VI.22) A ncora se tu volessi moltiplicare 1 4 16 per 2 5 27 , scritto l’argomento, moltiplica il 16 per il suo rotto, cioè per 4 e addiziona l’1, farà 65 quarti; verifica tale numero con il resto, così: se vorrai verificarlo attraverso il resto del 7, dividerai 16 per 7, resterà 2, moltiplicalo per il 4 sotto la linea di frazione e addiziona l’1 che è sopra il 4, farà 9, dividilo per 7, resta 2; e tanto deve rimanere da 65, se si divida per 7, e tanto resta. Dunque il resto di 65 è 2, conservalo sopra lo stesso 65: poi moltiplica il 27 per il suo rotto, farà 137 quinti, che devi porre sopra 2 5 27 , e vedi con il resto di 7, se questo 137 è corretto, come hai visto del 65; e troverai che il resto del 137 deve essere 4 e così è: poiché se dividerai 137 per 7, senza dubbio resterà 4. Per questo serberai il 4 sopra il 137 come suo resto: poi moltiplicherai 65 per 137, farà 8905 ventesimi. Se questa moltiplicazione sarà corretta, lo saprai attraverso il medesimo resto del sette: moltiplicherai il resto serbato del 65, cioè 2, per il resto del 137 che è 4, farà 8, dividilo per 7, resta 1: e tanto deve rimanere da 8905 se si divide per 7, e così avviene. Da lì capiamo che quella moltiplicazione è corretta. Poi dividi 8905 per i rotti, che sono sotto la linea di frazione, cioè per il 4 e per il 5 posti sotto una sola linea di frazione. Tuttavia dividi prima per il 5; poiché 8905 si divide interamente per 5; risulterà 01 54 445 come totale della moltiplicazione richiesta. Se questa divisione è corretta, devi verificarlo così: dividi il 445 per il 7, resta 4. Moltiplicalo per il 4 che è sotto la linea di frazione dopo lo stesso 445, e aggiungi 1 che è sopra tale 4, farà 17; dividilo per 7, farà 3; moltiplicalo per il 5 che è sotto la linea di frazione dopo il 4, e addiziona lo zero che è sopra il 5, farà 15; dividilo per 7, resta 1; essendo questo 1 la prova di 8905, sappiamo che la divisione assegnata è corretta. E sappi che il 5 che è sotto la linea di frazione dopo il 4, dal momento che sopra di esso c’è lo 0, non rappresenta nulla. Dunque la moltiplicazione trascritta sopra dà come risultato 1 4 445 . Abbiamo posto infatti lo stesso 5 sotto la linea di frazione per trovare il resto. | Verifica tutti i calcoli con i resti modulo 7
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| (VI.1.12 ; G: VI.26) P uoi trovare in un altro modo più alla svelta questa moltiplicazione con la semplificazione, cioè dividendo il 65 trovato per il 5 che è sotto la linea di frazione, farà 13, moltiplicalo per 137, e dividilo per il 4 dell’altra linea di frazione, farà ugualmente 1 4 445 , come è stato trovato sopra. Infatti sempre quando dobbiamo dividere qualche numero per 4 e per 5, cioè per 10 45 , se tale numero avrà 1 5 [NdT] sarà divisibile per 5 , abituiamoci a dividerlo prima per 5 che per 4, per la divisione senza resto dello stesso, come abbiamo fatto per 8905. E se lo stesso numero si divide interamente per 4, abituiamoci a dividerlo prima per 4 che per 5. E se quel numero non si può dividere interamente né per 4 né per 5, abituiamoci a dividerlo per 10 210 ; dal momento che quattro per cinque fa 20, la cui scomposizione in fattori è 10 210 . E facciamo ciò per un’espressione più bella perché è più bello dire 10 210 invece di 10 45 , sebbene sia lo stesso. In modo simile devi intendere di certi altri numeri, cioè quando dovrai dividere per 3 e per 4, cioè per 10 34 , un qualche numero che non si divide perfettamente per alcuno di essi, dividilo per 10 26 , che è più bello. Parimenti se dovrai dividere per 4 e per 4 cioè per 10 44 , lo dividerai per 10 28 . E se dovrai per 3 e per 6, cioè per 10 36 , dividi per 10 29 , poiché la moltiplicazione di 2 per 9 fa tanto quanto quella di 3 per 6. Parimenti se dovrai dividere per 4 e per 6, cioè per 10 46 , dividi per 10 38 . E se dovrai dividere per 10 56 dividi per 10 310 . E se dovrai dividere per 10 58 , dividi per 10 410 . E qualora dovessi dividere per 10 66 , dividi per 10 49 , perché entrambe le frazioni, cioè 10 66 e 10 49 , sono la regola [NdT] Scomposizione in fattori di 36. Ma noi scegliamo i numeri più estremi, che sono fino a dieci nella composizione dei numeri e perciò è più bello 10 49 che 10 66 . E che tu intenda lo stesso per i casi precedenti. Ma se volessi dividere un qualche numero per qualche altro numero sotto il dieci, eccetto quelli che prima abbiamo insegnato a unire, nel caso non possano essere uniti, dividi lo per essi stessi. Così, se dovrai dividerlo per 5 e per 7, dividi lo stesso per 10 57 , e così devi intendere per gli altri. | Considera più comodo operare con frazioni coi denominatori più piccoli 10 45 = 10 210 ma la seconda è preferibile perché 2 < 4. |
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| pg.51 |
(VI.1.13 ; G: VI.31) E ancora, se vorrai moltiplicare 3 8 18 per 4 9 24, scritto l’argomento, moltiplica 18 per la sua linea di frazione, cioè per 8, e aggiungi il 3, farà 147. Ugualmente moltiplica il 24 per 9 e somma il 4, farà 220. Moltiplicalo per 147 e dividi per i rotti, farà 41 89 449, il cui resto per 11 è 0. Infatti se vorrai sapere quale parte di un intero sia 41 89 , moltiplica l’1 che è sopra il 9 per 8 e somma il 4, farà 12; conserva questo come numero denominante [ numeratore ]: e moltiplica il 9 per l’8, che sono sotto la linea di frazione, risulterà 72 come denominato [ denominatore ]; dividilo per il 12 conservato, farà 6, del quale 6 dici 1 6 ; e tale parte di 72 è 12: similmente 41 89 è 1 6 di uno intero. Dirò questo in modo più elegante; perché dalla moltiplicazione di 8 per 9 si arriva a 72; fai il settantaduesimo di uno intero, sarà 72; da questo prendi un nono e quattro ottavi di un nono, saranno 8 e 4, cioè 12, come si ottiene dalla moltiplicazione dell’1 che è sopra il 9 per l’8, addizionato il 4 che è sopra l’8. Dunque 41 89 è 12 72 . Per questo il rapporto di 41 89 all’uno intero è come di 12 a 72. Ma la proporzione di 12 a 72 è come la proporzione della dodicesima parte di 12 alla dodicesima parte di 72, cioè di 1 a 6: poiché come si trova in Euclide, come l’intero sta all’intero, così la parte sta alla parte: è infatti la sesta parte di 6, che si ha come totale della prescritta moltiplicazione di 1 6 449. |
Osserva che
41 89 = 1 9 + 4 72 = 12 72 = 1 6
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| (VI.1.14 ; G: VI.35) A ltrimenti possiamo trovare questo stesso totale per mezzo della semplificazione: ebbene dovendo moltiplicare 147 per 220, e poi dividere per 8 e per 9, moltiplica solo la terza parte di 147 [NdT] 149 nel testo è un chiaro errore , che è 49, per la quarta parte di 220, cioè per 55, e dividi il totale per la terza parte di 9, cioè per 3, e per la quarta parte di 8, cioè per 2. Dunque dividi il loro prodotto per 6, risulterà 1 6 449 come più sopra è stato trovato. E bada che quando il numeratore condivide con il denominatore, cioè il numero che è sopra la linea di frazione con il numero che è sotto la linea di frazione, allora devono essere sistemati [ cioè “semplificati” ] dividendoli per il numero maggiore comune a entrambi, a partire dal quale essi sono condivisori. |
147 × 220 8 × 9 = 49 × 55 2 × 3 =
= 6 × 449 + 1 6 |
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| (VI.1.15 ; G: VI.36) P er esempio: abbiamo 6 9 : infatti il 6 e il 9 sono condivisori, e il tre è la loro misura comune. Per questo dividi entrambi per 3, e ciò che risulterà dalla divisione del numero superiore, cioè 2, ponilo sopra una linea di frazione, e ciò che uscirà dalla divisione dell’inferiore ponilo sotto la stessa; e avrai 2 3 al posto di 6 9 . Ancora, dati 5 10 la loro misura comune è il 5, cioè il numeratore. Perciò se si dividono entrambi i numeri per 5, cioè il 5 e il 10, per la semplificazione 5 10 risulterà 1 2 , e così intendi in casi simili. C’è dunque un modo di trovare la massima condivisione quando si hanno numeri condivisibili, cioè che tu divida il maggiore per il minore; e se da questa divisione non avanzerà nulla, allora il numero minore sarà la loro massima misura comune, come in 12 72 : e se dalla stessa divisione avanzerà qualcosa, conservalo come primo resto per il quale dividerai il numero minore; se nulla avanzerà da questa divisione, allora il primo resto sarà la misura comune dei numeri come in 10 22 , la cui misura comune è 2: perciò diviso 22 per 10, resterà 2, per il quale il 10 si divide interamente: e se dalla divisione del numero minore per il primo resto avanzasse qualcosa, lo chiamerai secondo resto: se il primo numero si divide interamente in esso, allora il secondo resto sarà la misura comune dei numeri, come in 12 20 , la cui misura comune è 4: perché, diviso 20 [NdT] 10 nel testo è un chiaro errore per 12 , resta 8; diviso 12 per esso, resta 4, per il quale il 12 si divide interamente: e se dalla divisione del numero maggiore avanzerà qualcosa lo chiamerai ancora terzo resto, per esso dividerai il numero minore e farai sempre così finché nel numero maggiore non risulti un qualche resto per il quale il minore si divida perfettamente o finché nel numero minore non risulti un resto per il quale si divida il maggiore; e quel resto sarà la misura comune e massima, come in Euclide viene esposto con chiare dimostrazioni. |
Espone l’algoritmo euclideo del massimo comun divisore
72 = 6 × 12 + 0 6 è il MCD di 72 e 12 22 = 2 × 10 + 2 10 = 5 × 2 + 0 2 è il MCD di 22 e 10 20 = 1 × 12 + 8 12 = 1 × 8 + 4 8 = 2 × 4 + 0 4 è il MCD di 20 e 12 |
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Termina la prima parte del sesto capitolo.
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