La generazione degli alunni della nostra scuola usa gli strumenti di calcolo molto spesso e, a volte, per pigrizia, si eseguono materialmente moltiplicazioni e divisioni anche per 10, 100, 1000, senza pensare ad usare piccoli "trucchi" per evitarlo. Non si usa, e a volte non si conosce, alcuna strategia di calcolo per eseguire i conti più "velocemente" perché la velocità non è, giustamente, contemplata nell'apprendimento, ignorando invece che si tratta di una "capacità " di associare numeri per arrivare ad un risultato con più semplicità. Proprio per questo, spesso noi insegnanti promuoviamo un uso limitato della calcolatrice, o la "concediamo" solo a chi ha disturbi specifici dell'apprendimento, pensando che questo strumento risolva le loro difficoltà. Ci sarebbe molto da dire in merito ma rischierei di parlare di un argomento diverso da quello per cui ho deciso di relazionare, ovvero l'uso consapevole di opportuni strumenti di calcolo attraverso una evoluzione storica.

Gli alunni riferiscono di usare spesso il telefono per fare i conti, lo smartphone, divenuto oggi un "piccolo" PC da cui si accede a tutto il Web, per cui, spesso fonte di distrazione, alcuni non hanno nemmeno una calcolatrice. Essi non hanno consapevolezza del progresso avuto nel calcolo nella storia dell'uomo, così ho deciso di impostare il mio lavoro in classe proprio per arrivare a tale obiettivo. Gli alunni della mia classe 1C ricordano che l'uomo delle prime civiltà per contare usava dei sassolini, nella scuola primaria la loro insegnante aveva raccontato una storia in merito, e da qui comprendono proprio perché da sasso arriva la parola calcolo.

Dai sassi pian piano si fanno i conti con l'abaco: gli alunni hanno usato quello romano e conoscono parte dell'elaborata aritmetica utilizzata sino alla fine del 1200 circa. Hanno manipolato l'abaco di Gerberto d'Aurillac con i gettoni su cui sono disegnati i simboli dai quali derivano quelli che oggi conosciamo. Sanno, inoltre, che con il Liber abaci di Leonardo Pisano Fibonacci è stato possibile fare i conti sulla carta grazie ad un sistema decimale posizionale. E da allora al XX secolo, quando è stata inventata la calcolatrice meccanica, i conti si facevano solo su carta senza alcun ausilio? Certo che no, c'è sempre una graduale evoluzione, c'erano sicuramente degli "antenati" delle calcolatrici, introdotti da John Nepero nel 1617: i bastoncini di Nepero.

Con questa introduzione, i miei alunni hanno compreso che le nostre lezioni sarebbero state orientate ad apprendere l'uso di questo strumento che avrebbero potuto usare tutti in classe per fare i conti. Quindi, si è creata un'atmosfera di curiosità ed entusiasmo mista ad attesa per "facilitare" lo svolgimento dei compiti, soprattutto dopo aver parlato con i compagni di un'altra classe, in cui già sapevano usare gli ossi di Nepero.

Ho realizzato dei bastoncini di Nepero ispirandomi a quelli descritti dal grande matematico nella sua opera Rhabdologiae seu Numerationis per virgulas libri duo consultata da Google libri.

Lo sguardo mostra curiosità e stupore, non capiscono come possano dare dei risultati come può fare una calcolatrice.

"Allora ragazzi, per imparare ad usare questo nuovo strumento per i conti occorre ripassare la moltiplicazione".
Gli alunni affermano di saper svolgere la moltiplicazione, chiamano i fattori ed il prodotto, i termini dell'operazione, dicendo che il ripasso è già stato fatto, per loro sarebbe sufficiente questo!

Voglio trattare meglio la moltiplicazione per somme successive, ponendo maggiore attenzione ad alcuni passaggi che potrebbero porre delle basi solide per l'algebra nel terzo anno della scuola secondaria di primo grado, ma anche perchè vorrei ricordare agli alunni che la moltiplicazione è una iterazione dell'addizione , o che, comunque, è formata da addizioni che si susseguono.

Se si vogliono moltiplicare due numeri, sarebbe opportuno scriverli in forma polinomiale, usando la proprietà dissociativa, ovvero

Gli alunni hanno appreso questo procedimento in passato quando hanno imparato a svolgere la moltiplicazione romana con l'abaco..

Nella lezione successiva, abbiamo consultato il sito www.progettofibonacci.it, in particolare, abbiamo cercato il cap.III, par.2 del Liber abaci, in cui Fibonacci parla di un altro modo di svolgere la moltiplicazione, illustrando quella a "scacchiera".

Abbiamo cercato insieme sia l'immagine della scacchiera del testo originale del Liber abaci, presente nella Biblioteca Nazionale di Firenze, sia lo stesso paragrafo scritto in latino, nel testo di Boncompagni, poiché affascinati da una lingua "diversa", che avvolge tutto di una atmosfera "magica", che trasmette semplicemente cultura.

Si procede a spiegare questo modo differente di fare la moltiplicazione, compreso da tutti, e raccontato presto a casa o ai colleghi delle altre materie.

Successivamente, è stata presentata alla classe la seguente immagine, presa da Google libri.

Gli alunni preferiscono questa "evoluzione" di quella a scacchiera poiché i riporti della moltiplicazione sono già scritti e si tengono in mano solo quelli delle somme: giustificazione pratica di una preferenza.

Cominciamo a provare a svolgere operazioni con questa metodologia, abbastanza veloce e pratica, e una delle alunne più volenterose verbalizza sul suo quaderno quanto segue.

A questo punto si potrà spiegare il funzionamento dei bastoncini di Nepero.

I bastoncini hanno la tavola Pitagorica sopra, quindi mi aiutano nelle tabelline.
Questo è il commento di un ragazzo con qualche difficoltà nello svolgere i conti. Una volta compresa la semplice costruzione di ogni singolo bastoncino di Nepero, ho assegnato come compito per casa quello di costruirli.

Meraviglie come queste sono arrivate in classe.

I ragazzi sono rimasti affascinati da questi strumenti decidendo di usare il legno perché più importante della carta; inoltre li hanno realizzati molto grandi, per guardare il risultato delle operazioni senza difficoltà.

Il loro entusiasmo nell'usare le loro creazioni li ha portati ad essere attenti nelle spiegazioni affinché sapessero usare quel nuovo materiale, ma soprattutto per spiegarlo ai loro familiari che si erano adoperati in merito, non sapendo però cosa fosse.

Ovviamente, molto presto mi è stato chiesto come svolgere la moltiplicazione con un fattore formato da più cifre.

Ho chiesto loro di effettuare 19 × 74.

Ricapitolando, in simboli

a_na_n-1...a₃a₂a₁a₀×b_nb_n-1...b₃b₂b₁b₀= a_na_n-1...a₃a₂a₁a₀×(b_n×10ⁿ + ..... + b₂×10² + b₁×10 + b₀ )

a_na_n-1...a₃a₂a₁a₀×b_n×10ⁿ + ..... + a_na_n-1...a₃a₂a₁a₀×b₁×10 + a_na_n-1...a₃a₂a₁a₀×b₀ ,

Sono seguiti, anche in questo caso, molti esercizi che vanno a sviluppare non solo le capacità di calcolo, come potrebbero fare anche le espressioni, che però vengono svolte quasi in maniera meccanica. In tale modo si usano in maniera attiva le proprietà delle operazioni che sviluppano la capacità di rendere un conto più semplice e pratico da fare, oltre a "metabolizzare" quelle "azioni" che diventeranno necessarie nello studio del prodotto di un monomio per un polinomio o tra polinomi nell'algebra.

Gli alunni hanno ben compreso come svolgere la moltiplicazione con i bastoncini di Nepero tanto da scegliere questo argomento nell'esposizione alle famiglie e al territorio in una giornata che il nostro istituto comprensivo dedica alla matematica.

Con i bastoncini si possono svolgere anche le potenze, essendo queste ultime una moltiplicazione ripetuta. Ho assegnato come compito per casa agli alunni di descrivere il procedimento del calcolo delle potenze con questi strumenti.

Nella lezione successiva, hanno illustrato due modalità.
La prima consiste nell'effettuare la potenza con l'uso esclusivo dei bastoncini di Nepero, associando i fattori due per volta, cioè

La seconda modalità individuata dagli alunni consiste nell'associare i fattori raggruppandoli; loro li hanno associati a coppie, ovviamente lasciandone fuori uno se l'esponente è dispari.
Per cui, tornando all'esempio di prima, 4⁵=16×16×4. Svolgono prima 16×16 dissociando (10+6)×16 ed usando i bastoncini facendo 16×10+16×6 = 160+96 = 256, seguito dall'operazione 256×4, usando i bastoncini del 2, 5 e 6, ottenendo 1024.
Con questo metodo, qualcuno ha preferito fare il prodotto con la moltiplicazione araba anziché applicando la proprietà dissociativa.

Con l’uso dei bastoncini di Nepero, la potenza viene svolta in modo corretto in quanto ho notato che il frequente errore nel fare a×n, anziché a×a×a×…×a n volte viene commesso molto meno.

La divisione con i bastoncini di Nepero

Dopo la moltiplicazione, è stata introdotta la sua operazione inversa, ovvero la divisione.

Se 45×93 = 4185, come impostiamo la divisione, se volessimo fare la prova dell'operazione?

Il prodotto diventa il dividendo, uno dei fattori il divisore ed il quoziente l'altro.

Per cui,    4185 : 93 = 45, con resto zero.
Ho invitato i ragazzi a scrivere diversamente la divisione, cioè   4185 = 93×45+0, dove 0 indica il resto della divisione.
Quindi, se m : n = q con resto r,   m = n×q+r.
Diversi sono stati gli esempi di scrittura della divisione in questo modo, sicuramente utile nel secondo quadrimestre per lo studio del massimo comun divisore con l'algoritmo euclideo delle divisioni successive.

Ovviamente, si possono effettuare anche le divisioni con i numeri decimali, come normalmente viene insegnato ai ragazzi con l'algoritmo della divisione.

Sono stati svolti molti esercizi di questo tipo, come si può vedere da tale quaderno, ed in seguito veniva anche richiesta la prova con la moltiplicazione, a rinforzo di quanto già appreso.

L'uso dei bastoncini di Nepero ha reso più fluido l'uso delle proprietà dell'addizione e della moltiplicazione ed ha rinforzato il procedimento della divisione, rendendolo più concreto perché gli alunni sono supportati nella ricerca dei quozienti parziali.

Ho notato una maggiore prontezza anche nello svolgimento del calcolo mentale in quanto gli alunni dissociano più spesso nelle somme e nei prodotti. Quindi posso concludere che l'uso di questo strumento, di semplice realizzazione ed uso, ha favorito la praticità nel calcolo, ha avvicinato i ragazzi con difficoltà ad effettuare semplici operazioni, ha divertito e reso piacevoli momenti di conti, usualmente giudicati noiosi.

Ma un obiettivo importante è stato anche quello di averli resi consapevoli di come è nato il primo strumento di calcolo, si sono domandati come dai bastoncini si è giunti alla calcolatrice; più di qualcuno ha cercato notizie storiche dal web ed ha compreso che in seguito i bastoncini sono stati scritti su rulli di carta o che, con altri strumenti possono aiutare a calcolare altri numeri che ancora non conoscono (si riferiscono alla radice quadrata). E’ stato un percorso affascinante e stimolante anche per me poiché l’ho svolto in precedenza nella classe seconda ed a volte ho potuto far lavorare insieme le due classi per favorire l’apprendimento tra pari, oltre a confrontare il risultati attesi per migliorare delle azioni didattiche.