Attualità del Liber Abbaci di Leonardo Pisano Fibonacci
L. Catastini - F. Ghione

Crediamo che l’edizione critica del Liber Abbaci, ad opera di Enrico Giusti e Paolo d’Alessandro per l’editore Olschki debba essere presente, insieme agli Elementi di Euclide, nelle biblioteche di tutte le scuole superiori di primo e di secondo grado. In questo breve intervento noi, Catastini e Ghione, matematici, cercheremo di spiegarne il perché.

Tre anni fa, a opera nostra, nacque il Progetto Fibonacci, riunendo un esiguo gruppo di insegnanti di materie scientifiche o letterarie con lo scopo di dare alla luce la prima traduzione integrale in italiano del monumentale Liber Abbaci di Leonardo Pisano detto Fibonacci. Il progetto nacque per contrastare con esperienze dirette il progressivo degrado della nostra scuola pubblica, che, a partire dall’abolizione del Latino nella scuola media, ha via via ridotto i contenuti portanti abbassandone il livello, promuovendo anche chi non lo meriterebbe, disprezzando il valore delle conoscenze e mortificando il ruolo culturale degli insegnanti.

E’ nella scuola media dove il disastro appare più evidente con le conseguenze a catena sugli studi successivi. E’ in quegli anni che si raggiunge la capacità al ragionamento astratto, formando, attraverso lo studio anche ripetitivo, la capacità di calcolo e il pensiero logico. La matematica, rinunciando a questo compito formativo, diventa una delle maggiori responsabili di questa catastrofe. Il passaggio dai “bastoncini ai segmenti” e dall’Aritmetica all’Algebra astratta sono momenti di formazione ineludibili senza i quali vengono meno le basi stesse per qualsiasi insegnamento superiore.

Mentre la Geometria, poggiata sugli Elementi di Euclide, grazie anche all’aiuto di software di geometria dinamica che permettono di disegnare e muovere le figure, sembra resistere all’estinzione, l’Aritmetica, ritenuta noiosa, ripetitiva, meccanica, rischia, sotto i colpi di un pedagogismo miope, di sparire privando le nuove generazioni di quella minima capacità di calcolo essenziale in ogni studio a carattere scientifico.

Il Liber Abbaci che raccoglie gli elementi del calcolo moderno nel momento magico della sua nascita, ribalta tutto questo nel suo opposto, rende l’Aritmetica viva, dinamica, proiettata verso l’Algebra e con l’aiuto di un po’ di informatica, come vedremo meglio più avanti, diventa un sussidio essenziale allo studio elementare della matematica.

Ciò che colpisce gli studenti è che il mondo dell’Aritmetica, così come lo conosciamo oggi non è sempre esistito, l’atto e il luogo di nascita è noto e databile: l’atto è il Liber Abbaci di Leonardo Pisano Fibonacci, il luogo è Pisa, l’anno è 1202. Prima di allora, nel mondo latino i numeri interi positivi, i soli conosciuti, erano scritti con i simboli romani, le operazioni si eseguivano con i sassolini, solo pochi esperti sapevano farle usando l’abaco. Prima di allora nel mondo latino non esisteva il calcolo con le frazioni, le incognite, le equazioni. Prima di allora nel mondo latino gli uomini non potevano fare le divisioni esatte, vi era quasi sempre un resto, la divisione con la virgola non esisteva. Per fare le divisioni esatte bisogna ampliare il mondo dei numeri, pensare numeri nuovi e a come operare con loro. Leonardo Pisano li chiama numeri rotti, (oggi frazioni proprie) ottenuti immaginando di rompere l’unità in tante parti uguali, ognuna identificata da un suo simbolo, quello di frazione, che usiamo ancora oggi. Combinando questi nuovi numeri con quelli vecchi si generano i numeri misti ottenuti come somma di un intero più un rotto, numeri e notazioni utilizzate per secoli e ancora in uso nei paesi anglosassoni. I numeri misti potevano essere totalmente ordinati e nuovi algoritmi, conservando le proprietà strutturali dell’aritmetica (associativa, commutativa, distributiva), permettevano di eseguire le 4 operazioni di base compresa la divisione: 5 diviso 2 è 2

1

2 cioè due e mezzo!

Il nuovo campo numerico, che oggi chiamiamo “campo dei numeri razionali”, permetteva di risolvere, con l’operazione di divisione, una infinità di nuovi problemi prima neppure formulabili: calcolare il modo equo per barattare due merci, a ciò che niuno sia ingannato, come dirà Piero della Francesca nel suo Trattato d’abbaco, dividere i profitti tra consoci, in modo condiviso senza dover più cedere alla legge del più forte, sapere come e in quali quantità fondere le leghe di argento e rame per fare la moneta, calcolare interessi in modo scientifico non subendo più l’arbitrio di uno strozzino. Non solo: la nascita dei numeri razionali e dell’Algebra ampiamente trattata nell’ultimo capitolo del Liber Abbaci, apriva un immenso campo di ricerca matematica teorica che terrà occupati i ricercatori dei secoli a venire fino ai nostri giorni, configurando prima l’Italia e poi l’Europa la culla del nuovo sapere scientifico. La nuova matematica di Leonardo Pisano Fibonacci è stato lo strumento che ha reso possibile il boom economico nella Pisa del ‘200, quel solitario impero, come alcuni lo hanno chiamato, capace di produrre “miracoli” non solo nell’economia, ma anche nelle arti e in architettura. Portare questa rivoluzione nella scuola è il significato del Progetto Fibonacci.

Lo strumento per portare questa storia nella scuola è un sito (www.progettofibonacci.it) interamente progettato dal prof. Sandro Moriggi, fisico e informatico, un’opera di volontariato intellettuale e multidisciplinare alla quale collaborano insegnanti di discipline scientifiche o letterarie.

Il sito contiene la traduzione letterale in italiano del Liber Abbaci, compiuta da Laura Catastini (matematica) e rivista da Sabrina Rossi e altri latinisti, sulla base dell’edizione di Baldassarre Boncompagni del 1857 disponibile in rete, ma facendo spesso riferimento all’edizione critica di E. Giusti e P. d’Alessandro. La traduzione viene fatta alla lettera, così che gli studenti possano affrontare il testo integrale insieme all’insegnante di latino. Vediamo ad esempio l’inizio del capitolo quinto, dove vengono introdotte le frazioni.

Cliccando sui numeri dei paragrafi in parentesi appare il testo latino di Boncompagni dove le frazioni

1

2 ,

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7 e le altre sono indicate esattamente come facciamo noi oggi.

Cliccando sull’iconcina a destra “pagina iniziale del capitolo” si accede alla pagina del magnifico manoscritto Conv. Sopp., C I, 2616 (BNCF) risalente al XIV secolo, trascritto da B. Boncompagni nella sua edizione del 1857, dove ancora è possibile notare il modo in cui venivano scritte le frazioni nel Liber Abbaci. Mostrare questa storia agli studenti è fonte, anche nell’insegnante, di grande emozione!

Il sito riporta nella sezione “Fibonacci in classe” alcune attività sviluppate nelle scuole medie e incentrate su Leonardo Pisano. Ne indichiamo a titolo di esempio due. La prima, condotta dalla professoressa Laura Tomassi, tratta la “Disgregazione e le frazioni egizie”. Nella terminologia del Liber, aggregare due o più rotti equivale a ridurre la loro somma a una unica frazione, o, in altri termini, a sommare le frazioni come facciamo oggi. Questa è una operazione nuova alla quale Leonardo dà molta importanza e attenzione didattica, fornendo anche delle tavole nelle quali vengono sommate frazioni con denominatori piccoli. La disgregazione si ha quando una frazione propria viene decomposta come somma di frazioni unitarie. Ad esempio:

relazione questa interessante se si vuole dividere 5 mele tra 6 persone senza dover dividere ogni mela in 6 parti: basterà dividerne 3 in due parti e 2 in tre parti. In questo modo ognuno avrà mezza mela più un terzo di mela cioè 5/6 di mela. Sul sito è riportato un allegro filmino realizzato da studenti in questo caso sceneggiatori, attori, registi e produttori.

L’attività prosegue studiando alcuni dei 7 modi che Leonardo Pisano indica per disgregare una data frazione. In particolare il settimo tipo presenta un procedimento universale, un semplice algoritmo, col quale si può disgregare una qualsiasi frazione propria. Il procedimento consiste nel trovare la più grande frazione unitaria

1

n (quella cioè col denominatore n più piccolo) minore della data frazione

a

b. Eseguendo la sottrazione,

se a è maggiore di 1, si trova una nuova frazione positiva a₁

/

b₁ che ha il numeratore a₁ minore di a. Iterando il procedimento sulla nuova frazione si trovano frazioni con numeratore interi positivi via via più piccoli, e il procedimento si ferma quando tale numeratore è l’unità. L’algoritmo è facile da scrivere in un qualsiasi linguaggio di programmazione. Noi abbiamo usato Python che ci sembra più diretto e semplice e che sul sito è possibile richiamarlo e farlo girare.

L’algoritmo di Leonardo Pisano è stato testato dagli studenti sulla frazione 57/61 e in pochi istante appare la sua disgregazione. Osserva l’insegnante: la loro conclusione è ... che vogliono imparare come si fa a crearlo.

Segnaliamo una ulteriore attività didattica sviluppata dalla professoressa Silvia Cerasaro relativa alle progressioni aritmetiche, materia trattata genialmente da Leonardo Pisano all’inizio del capitolo XII del Liber:

L’immagine sulla destra racconta come calcolare la somma di una progressione aritmetica visivamente. In questo caso si tratta di calcolare

Leonardo Pisano dispone i numeri come mostrato nella figura e, da questo, vede subito che la somma è data da (7+31) × 4 + 19. Gli studenti hanno battezzato questa figura il tetto di Fibonacci e lo hanno utilizzato per calcolare la somma di diverse progressioni aritmetiche. In particolare hanno calcolato la somma dei numeri dispari consecutivi, trovando ogni volta un numero quadrato.

In questa classe (una seconda media) l’insegnante ha discusso con gli studenti un semplice diagramma di flusso per costruire l’algoritmo, e una studentessa, usando il linguaggio Python, ha scritto il codice che poi, messo in funzione ha prodotto in pochi istanti, con grande soddisfazione di tutti, somme anche molto lunghe e molto noiose da calcolare anche usando il tetto di Fibonacci.

In Leonardo Pisano l’algoritmo sostituisce il calcolo algebrico letterale. L'algoritmo parte da un input formato da dati numerici, esegue su quei dati numerici una lista operazioni, e trova altri  numeri che possono eventualmente essere rielaborati ricorsivamente fino a trovare la soluzione finale. Questo è esattamente quello che fa Leonardo Pisano: opera, come il calcolatore, sempre su numeri e non su lettere e indica a parole “la regola” per risolvere il problema, cioè il “listato”, ovvero le operazioni da compiere su quei dati numerici. Cogliamo in questo, nel Liber Abbaci, una grande modernità.