PARS SECUNDA: DE QUIBUSDAM OPERACIONIBUS

CAPITULUM I: MAHUMED ALGORISMUS DE ADDITIS  ET DIMINUTIS

Come ha descritto Mahumed Alguarizmi all’inizio di questo libro tutto ciò che è riferito al calcolo della restaurazione e composizione conduce ad uno dei sei capitoli descritti.

Ora ti mostro come moltiplicare le cose per le altre che sono radici, se sono sole, con un numero, se sono diminuite di un numero o sottratte da un numero e come addizionarle fra loro o come sottrarle da altre.

In primis sappi che per ogni numero moltiplicato per un altro numero, è necessario addizionare uno dei due numeri tante volte quante unità l’altro contiene. Se si hanno delle decine alle quali si sono aggiunte delle unità, o alle quali si sono sottratte delle unità, è necessario moltiplicarle quattro volte: le decine per le decine, le decine per le unità, le unità per le decine e le unità per le unità. Se le unità che sono con le decine sono tutte o aggiunte o diminuite, la quarta moltiplicazione va aggiunta. Se invece le une sono aggiunte e le altre sono sottratte allora la quarta moltiplicazione va sottratta.

Similmente, 10 e (più) 1 moltiplicato per 10 e due. Diremo “10 per 10 generano il 100. E 1 per 10 genera il 10 da aggiungere. E 2 per 10 genera 20 da aggiungere. E due per 1 genera due. La somma di tutto questo è 132”. E questo è quanto abbiamo detto quando le quantità sono aggiunte.

(10 + 1)(10 + 2)

E quando si voglia moltiplicare 10 meno 1 per 10 meno uno si dirà “10  per 10 genera 100; uno sottratto per 10 è 10 da sottrarre.  E anche uno sottratto per 10 è 10 da sottrarre. In questo modo avremo 80. Ma uno sottratto per uno sottratto è uno  da aggiungere. Pertanto tale somma totale è 81. E questo è ciò che abbiamo detto per quando le quantità sono in sottrazione.

(10-1)(10-1)

Se anche si vuole moltiplicare 10 e (più) due per 10 meno uno, allora dirai “10 per 10 sono 100, uno sottratto moltiplicato per 10 è 10 da sottrarre;  2 cose aggiunte per 10 genera 20 da aggiungere. Pertanto a 100 si aggiunge 10. Ma il due aggiunto per uno diminuito genera due da sottrarre.

Pertanto la somma totale della moltiplicazione è 108”.

E questo è quanto abbiamo detto in riferimento alle cose aggiunte o sottratte.

(10+2)(10-1)

Ti ho mostrato quanto scoperto su come moltiplicare le cose le une per le altre, se sono aggiunte a numeri o sottratte da un numero o diminuite  di un numero.

Se ti si dice “10 meno una cosa moltiplicata per 10, quanto fa?” Dirai “10 per 10 è 100; e meno una cosa per 10 genera 10 radici da sottrarre”. Pertanto è 100 meno 10 cose.”

(10-x)10

Se ti si dice “10 più una cosa per 10 quanto genera? Allora 10x10 è 100 e una cosa aggiunta per 10 genera 10 cose (radici) aggiuntive”. Pertanto la somma è 100 più 10 cose.”

(10+x)10

Se ti si dice “10 più una cosa per se stesso: moltiplica 10 per 10 e ottieni 100 e 10 per una cosa che genera 10 cose che dovranno essere aggiunte. Ancora 10 per una cosa è 10 cose e una cosa per se stessa genera il quadrato della cosa che va aggiunto. Pertanto la somma totale è 100 più 20 cose più un quadrato della cosa”.

(10+x)(10+x)

Se ti si propone”10 meno una cosa per 10 meno una cosa quanto fa? Allora 10 per 10 è 100 e meno una cosa per 10 è 10 cose da sottrarre. E meno una cosa per 10 similmente è 10 cose da sottrarre e infine meno una cosa per meno una cosa genera il quadrato della cosa da aggiungere.

Quindi avrai in totale 100 più un quadrato della cosa, meno 20 cose.”

(10-x)(10-x)

Allo stesso modo “Un dirham più un sesto per un dirham più un sesto quanto è? Un dirham per un dirham è un dirham; un dirham per un sesto genera un sesto. Allo stesso modo un sesto per un dirham genera un sesto e un sesto per un sesto è 1/36 dirham da aggiungere. Pertanto tutta la somma è un dirham con 2/6 (o 1/3) più un sesto di un sesto.”

(1+⅙)(1+⅙)

Allo stesso modo “Un dirham meno un sesto per un dirham meno un sesto quanto è? È la stessa cosa che moltiplicare 5/6 per se stesso”. Quindi è 25 parti di 36 parti di un dirham, che è 2/3 più un sesto di un sesto. Si fa così: moltiplichi un dirham per un dirham e si ha un dirham. Meno un sesto per un dirham vale un sesto da sottrarre. E ancora meno un sesto per un dirham vale un sesto da sottrarre. Rimangono due terzi di un dirham. Meno un sesto per se stesso genera un sesto di un sesto da aggiungere. E dunque 2/3 più un sesto di un sesto.”

(1-⅙)(1-⅙)

Se ti si dice “10 meno una cosa moltiplicato per 10 più una cosa quanto fa?”, rispondi “10 per 10 è 100 e meno una cosa per 10 genera 10 cose da sottrarre; e una cosa per 10 è 10 cose da aggiungere. Infine meno una cosa per una cosa da il quadrato da sottrarre”. Tutto questo pertanto porta a 100 dirham e un quadrato da sottrarre.

(10-x)(10+x)

Se ti si dice “10 meno una cosa moltiplicato per una cosa”, tu rispondi “10 per una cosa è 10 cose e meno una cosa per una cosa è un quadrato da sottrarre. Abbiamo quindi 10 cose meno il quadrato di una cosa.”

(10-x)x

Se ancora ti si dice “10 e una cosa per una cosa meno 10, quanto fa?”. Rispondi “una cosa moltiplicata per 10 genera 10 cose; una cosa per una cosa genera un quadrato da aggiungere. E meno 10 per 10 genera 100 dirham in diminuzione. E meno 10 moltiplicato per una cosa genera 10 cose da sottrarre”. Dico pertanto “Un quadrato meno cento equivalgono a ciò che si oppongono”. Che è manifesto quando si riducono 10 cose da sottrarre con 10 cose da aggiungere. Pertanto permane un quadrato meno 100 dirham”.

(10+x)(x-10)

Se ti si dice “10 dirham e mezza cosa moltiplicato per mezzo dirham meno 5 cose, quanto fa?”, rispondi “Mezzo dirham per 10 dirham genera 5 dirham. E mezzo dirham per mezza cosa genera un quarto di una cosa da aggiungere. E meno 5 cose moltiplicato per 10 dirham genera 50 cose da sottrarre”. Pertanto la somma di tutta questa moltiplicazione è 5 dirham meno 49 cose e tre quarti di una cosa. Poi moltiplica mezzo dirham meno 5 cose per mezza cosa da aggiungere e siano due quadrati e mezzo da sottrarre. La somma di tutta questa moltiplicazione sarà dunque 5 dirham, meno  due quadrati e mezzo, meno 49 cose e tre quarti di una cosa.”

(10+x/2)(½-5x)

Se ti si dice “10 più una cosa moltiplicato per 10 meno una cosa, quanto fa?” E’ come se ti si dicesse “Una cosa più 10 moltiplicata per una cosa meno 10”. Così risponderai “Una cosa moltiplicata per se stessa genera un quadrato. 10 moltiplicato per una cosa è 10 cose da aggiungere. E meno 10 moltiplicato per una cosa genera 10 cose da sottrarre.  Pertanto le cose aggiunte e sottratte si annullano e rimane il quadrato. E 10 moltiplicato con meno 10 genera 100 da sottrarre al quadrato.” La somma di questa moltiplicazione è un quadrato meno 100 dirham. Tutto questo è se una cosa è aggiunta e l’altra sottratta.

(10+x)(x-10)

CAPITULUM II: RADICUM ALGORISMUS

È noto che quando vuoi raddoppiare o triplicare o altro la radice incognita di un quadrato devi agire raddoppiando e triplicando il numero e moltiplicarlo per la radice del quadrato in modo tale che la radice di questo prodotto equivalga al doppio e al triplo della radice di questo quadrato.

Ora, se vuoi raddoppiare la radice di un quadrato, moltiplica due per due e il prodotto moltiplicalo per la stessa radice del quadrato. La radice di questo prodotto sarà uguale a due volte la radice di questo quadrato.

Se vuoi triplicare la radice di un quadrato, allora moltiplica tre per tre e poi per il quadrato, così da ottenere la radice del prodotto uguale al triplo della radice di questo quadrato.

Se ancora vuoi la metà della radice di un quadrato, devi moltiplicare la metà per la metà e poi moltiplicarlo per il quadrato. La radice del prodotto è uguale alla metà della radice di questo quadrato. Allo stesso modo devi agire sia se consideri numeri in aumento sia in diminuzione. Pertanto così agirai  per il suo terzo, il quarto o meno di questo.

Allo stesso modo di quanto detto, se vuoi raddoppiare la radice di nove. Se vuoi raddoppiare la radice del numero nove dirai “Due per due genera 4, che moltiplicato per nove porterà a 36”.  Ora prendi la sua radice che è sei e rappresenta il doppio della radice di nove che equivale al numero tre.

Se vuoi triplicare la radice, moltiplica tre per tre che vale 9 che moltiplicato per se stesso è 81. Quindi una radice equivale a nove. È il triplo della radice di nove.

 

Se vuoi moltiplicare per metà la radice, moltiplica un mezzo per se stesso e sia un quarto.  Questo moltiplicato per 9 da due più un quarto. Ora prendi la sua radice che vale uno e mezzo ed è la metà della radice di nove che corrisponde a tre.

Allo stesso modo devi agire se vuoi integrare o diminuire una radice.

Se ancora vuoi dividere la radice del numero nove per la radice del numero quattro, dividi 9 per 4, e siano due e un quarto.

La  radice di questo è uno e mezzo.

Se invece vuoi dividere l’inverso, cioè la radice del numero 4 diviso la radice del numero 9, dividi 4 per 9 e siano 4 noni.

Una sua radice vale due terzi.

Se vuoi dividere (2) radici del numero nove per la radice del numero quattro e allo stesso modo un quadrato diviso un altro (non dividatur?), raddoppia la radice del numero nove come è stato fatto in casi simili. Allo stesso modo poi il risultato dividilo per 4 o per altro numero di radici per cui volevi dividere.

Agisci allo stesso modo se vuoi dividere tre radici del numero nove, o più o meno, o una mezza radice. Operando secondo quanto abbiamo detto, arriverai alla soluzione se dio lo vorrà.

Se vuoi moltiplicare la radice del numero nove per la radice del numero quattro, moltiplica 9 per 4 e sia 36, la cui radice è 6. E questo è la radice del numero nove moltiplicata per la radice del numero quattro.

Allo stesso modo se vuoi moltiplicare la radice del numero cinque per la radice di dieci, moltiplica 5 per 10 e sia 50, la cui radice è la cosa che cercavi.

Se vuoi moltiplicare la radice di un terzo per la radice di un mezzo, moltiplica un terzo per 1/2, e sia 1/6. La radice di un sesto è la radice di un terzo moltiplicata per un mezzo.

Allo stesso modo se vuoi moltiplicare due radici del numero nove per 3 radici del numero quattro, estrai due radici del numero nove come abbiamo detto, in modo da sapere  di quale quadrato completo ne sono la radice. Allo stesso modo agisci con le tre radici del numero quattro fino a sapere di quale quadrato sono radici. Moltiplica poi i due quadrati un con l’altro. La radice di questo è ciò che rappresenta il prodotto delle due radici del numero nove per le tre radici del numero quattro.

Allo stesso modo agisci per più radici o meno; potrai sempre procedere in questo modo.

Lode a dio.