progetto fibonacci altre-fonti: al-Khwaritzmi da Chester-traduzione

In nome di Dio Pio e Misericordioso, ha inizio il libro (Kitab) della Restaurazione (al jabr) e Comparazione (wal muqabala) del numero, scritto da Mahumed figlio di Musā Algaurizmi. Espose Mahumed: lode a Dio il Creatore che ha dato all’uomo la comprensione (capacita di comprendere) dei numeri. Riflettendo su ciò di cui hanno bisogno gli uomini per calcolare, ho trovato che si tratta di numeri e ho trovato che tutti i numeri sono composti dall’unità. L’unità quindi è in ogni cosa che viene detto uno e l’unità si trova in ogni numero. Ho trovato d’altro canto che tutti i numeri che superano l’unità fino al 10 derivano in progressione dall’uno. Poi il 10 viene disposto come si fa con l’uno e viene duplicato e triplicato. Ne risultano il venti e il trenta, e così moltiplicando il dieci si perviene al cento. Poi il cento è duplicato e triplicato allo stesso modo del numero dieci. E così si sviluppa fino al numero mille. Allo stesso modo il numero mille è ripetuto di volta in volta fino alla fine di ciò che è considerato numero.

Ho quindi scoperto che i numeri necessari alla restaurazione e comparazione sono di tre tipi: radici (radicibus), quadrati (Substanciis) e numero (numeris), numero singolo senza alcuna relazione con la radice o il quadrato.

La radice, fra essi, è tutto ciò che è moltiplicato per se stesso, a partire dall’unità, e per i numeri che gli sono superiori e le frazioni che gli sono inferiori. Il quadrato è tutto ciò che risulta dalla radice moltiplicata per sé stessa. Del numero singolo ho già detto.

Tra questi tre tipi alcuni sono equivalenti ad altri, come per esempio quando si dice “i quadrati sono equivalenti alle radici, i quadrati sono equivalenti a un numero, le radici sono equivalenti a un numero”.

Se quadrato e radici sono equivalenti si può dire pertanto che “Un quadrato è equivalente alle sue 5 radici”. Pertanto se la radice del quadrato [è] 5, 25 costituisce il suo quadrato, che come è manifesto è equivalente alle sue 5 radici. E anche si può dire “La terza parte del quadrato è equivalente a 4 radici”. Pertanto le radici sono 12 e 144 rappresenta il loro quadrato. E anche similmente 5 quadrati equivalgono a 10 radici.

Pertanto un quadrato è equivalente a 2 radici, la radice del quadrato è 2 e il numero 4 manifesta il quadrato.

Si farà allo stesso modo per i quadrati che siano in quantità maggiore o minore, riducendoli ad un unico quadrato. E allo stesso modo si procederà per le radici, che sono la stessa cosa.

Nel caso di quadrati equivalenti a numeri si procederà in tal modo: “Quadrato equivalente al numero nove”, se il quadrato è rappresentato dal numero nove, allora il numero tre rappresenta la sua radice. Pertanto allo stesso modo si tratterrà quando avremo più quadrati o parti di un quadrato, riducendo il calcolo ad un quadrato. Ciò vale per due, tre, quattro o più quadrati che saranno riportati ad un quadrato. Se ci fosse una parte del quadrato, cioè una terza, quarta o quinta parte, la radice verrebbe calcolata allo stesso modo.

Se avessimo 5 quadrati equivalenti al numero 80, un quadrato equivarrebbe alla quinta parte di 80, ciò che varrebbe 16.

E allo stesso modo se avessimo la metà di un quadrato equivalente a 18, allora un quadrato equivarrebbe a 36.

In questo modo tutti i quadrati potranno essere ridotti ad un solo quadrato, se fossero minori di un quadrato verranno riportati ad un quadrato (aumentandoli). Si agisce allo stesso modo per ogni esempio simile.

Radici sono equivalenti a numeri quando si dice, per esempio, “La radice è equivalente al numero tre”. Pertanto il quadrato che ne deriva è nove. Allo stesso modo quando si dice “4 radici equivalgono al numero 20”, una sola radice equivale al numero cinque. E ancora quando si dice “la metà di una radice equivale a dieci”, allora l’intera radice equivale al numero venti e il quadrato che ne deriva è 400.

Come abbiamo detto distinguiamo quadrati e radici e solo numeri e questi combinandosi tra loro generano tre classi distinte: quadrati e radici equivalenti a numeri, quadrati e numeri equivalenti a radici e, infine, radici e numeri equivalenti a quadrati.

Quadrati più radici equivalgono ad un numero quando, ad esempio, si dice “Un quadrato più 10 radici equivalgono a 39 dirham1”. Dunque “Se a un quadrato si aggiungono 10 sue radici, il tutto tenderà a valere 39”.

Ho trovato che il modo di agire è il seguente: dividi a metà il numero delle radici, e in questo problema sono 10. Ottieni 5 e moltiplicale per se stesse e saranno 25 che aggiunte a 39 daranno 64. Dopo di che determina la sua radice (quadrata) e sarà 8 e sottrai la metà del numero delle radici che è 5 e rimarrà tre.

Pertanto una radice del quadrato è il numero tre. Il numero nove rappresenta il quadrato.

Allo stesso modo se saranno due o tre o più quadrati riduci ad un solo quadrato e di conseguenza anche le radici e i numeri allo stesso modo in cui hai ridotto il quadrato.

Per esempio questo è il modo di operare quando si dice “Due quadrati più 10 radici equivalgono a 48 dirham”. Opera allo stesso modo se si dice ”Quanto vale la radice di due quadrati, se aggiungendo loro 10 radici di uno di loro, si perviene a 48?”. Bisogna ridurre i due quadrati ad un solo. Ma è manifesto che un quadrato nei confronti di due quadrati ne rappresenta la metà. Così riduci ogni cosa in questo problema alla metà.

E così è se si dicesse “un quadrato e 5 radici equivalgono a 24”. E’ come se si dicesse “Quanto vale quel quadrato se, aggiungendo 5 delle sue radici, si perviene a 24?”. Per quanto sopra esposto dividi a metà il numero delle radici e saranno due radici e mezza radice. Moltiplica per se stesse le radici e otterrai 6 radici e 1/4; sommale a 24 e saranno 30 radici e un quarto. In seguito prendi la sua radice quadrata che varrà 5 radici e mezza radice. Sottrai la metà del numero delle radici che vale 2 radici e 1/2 radice, rimarrà 3 che rappresenta una radice del quadrato e il quadrato è nove.”

E se si dicesse “La metà di un quadrato e 5 radici equivalgono a 20 più 8 dirham”. Questo problema è come se si dicesse : “Quanto vale quel quadrato al quale, se si aggiunge alla sua metà 5 volte la sua radice, si ottiene in totale 28 dirham?”. Pertanto dovrai raddoppiare la metà del quadrato intero con le sue radici; sarà un quadrato e 10 radici equivalenti 56 (dirham). Dividi a metà il numero delle radici e saranno 5, poi moltiplicale per se stesse e otterrai 25. Aggiungi ora 56 e saranno 81. Ora calcola la sua radice quadrata e sarà nove e sottrai la metà del numero delle radici che è 5, resteranno 4”.

Dovrai agire allo stesso modo con ogni quadrato, radice o numero che è loro uguale.

Un argomento di questo genere è per esempio quando si dice “Un quadrato e 21 dirham equivalgono a 10 radici”. Pertanto dirai “Qual è il valore di un quadrato al quale aggiungendo 21 dirham darà come somma totale 10 radici del medesimo quadrato?”

Si procede con la stessa regola. Per prima cosa si dividono per metà le radici e siano esse 5. Si moltiplicano per se stesse ottenendo 25. Si diminuisce ora di 21, quel numero che abbiamo detto essere aggiunto al quadrato, e rimarrà 4. Ora calcola la radice (quadrata) che sarà 2 e sottrai dalla metà delle radici che era 5: rimarrà tre, che rappresenta una radice del quadrato che vuoi e il numero nove completa il quadrato.

Se vuoi puoi aggiungere la radice a metà del numero delle radici otterrai 7. Pertanto 7 è una radice del quadrato che vuoi, e il suo quadrato è 49.

Se incontri un problema di questo tipo verifica la sua esattezza aggiungendo nel modo che è stato riferito. Se non è verificato con la somma, allora prova a diminuirlo. Tutto questo avviene aggiungendo e similmente sottraendo contemporaneamente, cosa che non si fa negli altri 3 tipi in cui si deve dividere a metà il numero delle radici.

Sappi che se dividi a metà il numero delle radici, in questo modo, e se moltiplichi una metà per se stessa in modo che il prodotto sia minore dei dirham che sono aggiunti ai quadrati, il problema diventa impossibile. E se il risultato è uguale agli stessi dirham, la radice del quadrato allora è esattamente uguale alla metà del numero delle radici, senza eccedenze o diminuzioni.

Quello che deriva da due quadrati, o un minore o maggiore numero, convertirlo ad un quadrato come già abbiamo detto nel primo capitolo.

Per esempio si propone in questo capitolo “3 radici e 4 in numero equivalgono a un quadrato”. Si procede con la stessa regola, dividendo per due il numero delle radici, otterrai una radice e mezza; moltiplicala per sé stessa ottenendo 2 radici e un quarto, aggiungi 4 ottenendo 6 radici e un quarto. Prendi la sua radice che vale 2 e mezzo, aggiungila alla metà del numero delle radici che è 1 e mezzo: avrai 4 che è una radice del quadrato, e il quadrato è 16. Tutto ciò che è più o meno di un quadrato, riducilo a un quadrato.

Questi sono i 6 modi dei quali ho ricordato all’inizio del libro, tre dei quali non necessitano della divisione a metà del numero delle radici; negli altri tre casi in cui è necessario dividere il numero delle radici li ho descritti mediante procedimenti.

Dei sei modi abbiamo detto a sufficienza. Ora proveremo la verità di quanto affermato attraverso la geometria.

La nostra prima proposizione è “ Un quadrato e 10 radici equivalgono a 39 dirham”.

La dimostrazione che proponiamo è quella di un quadrato (rumbum), i cui lati sono incogniti. Dunque il quadrato designa ciò che vogliamo conoscere e le sue radici. E’ il quadrato ab; ciascuno dei suoi lati è la sua radice. E’ manifesto che se moltiplichiamo ciascuno dei suoi lati per un numero qualsiasi, i numeri che ottieni sono i numeri delle radici. Ogni radice è uguale alla radice di questa superficie.

Così, quando si dice: ci sono, con il quadrato, dieci radici, noi prendiamo la quarta parte, che è 2e mezzo e aggiungiamo ciascuno di questi quarti con uno dei lati della superficie. Otteniamo così, con la prima superficie, che è la superficie ab, 4 superfici uguali, la lunghezza di ognuno delle quali è uguale alla radice della superficie ab e la larghezza e 2 e mezzo.. Siano le superfici g, d, h, c.

Si è generata così una superficie di lati ugualmente incogniti, diminuita di due e mezzo per due e mezzo in ciascuno dei suoi 4 angoli.

Così per finire di quadrare la superficie, sarà necessario aggiungere due e mezzo per se stesso 4 volte e la somma di tutto questo è 25.

E’ manifesto che la prima superficie, che è la superficie del quadrato e le 4 superfici che lo contornano, sono 39 in numero.

Se dunque aggiungiamo loro 25, che sono i 4 quadrati posti agli angoli, si completa di quadrare la superficie più grande, sia la superficie e c. La somma di tutto questo è 64, la cui radice (quadrata) è otto che rappresenta un suo lato. . Se dunque togliamo da otto la quarta parte dei denari (10), a partire dalle due estremità del lato della superficie più grande, che è la superficie e c, resta tre che è il lato della prima superficie equivalente ad a b. Tre quindi è la radice di questo quadrato, il cui valore è nove.

Noi in effetti abbiamo diviso il numero dei denari (le 10 radici) a metà e abbiamo moltiplicato la metà per se stessa; abbiamo aggiunto questa somma della moltiplicazione (prodotto) al numero, che è 39, completando la superficie più grande e c. È manifesto infatti che se si moltiplica la quarta parte di un numero per se stessa e dopo per 4 si ottiene un prodotto che sarà uguale al prodotto della sua metà per se stessa.

Dopo aver proposto in questa maniera, per le sei equazioni canoniche, gli algoritmi risolutivi, al Khwarizmi cerca “la causa”, ottenuta per via geometrica, che ne dimostri la correttezza (ovviamente l’Autore non considera la radice negativa, per questo motivo nelle parabole vengono considerate solo le soluzioni positive).

È data anche un’altra formula per dimostrare la stessa cosa. Sia ab il quadrato a cui, per similitudine, aggiungiamo 10 sue radici. Dimezziamo le 10 radici e otteniamo 5. Costruiamo ora su due lati del quadrato ab due superfici (che valgono ciascuna 5 radici). Siano queste le aree hd e hg che hanno la stessa lunghezza del lato del quadrato ab. Ora completiamo il quadrato grande aggiungendo il quadrato 5 per 5, il cui lato vale la metà del numero delle radici: sia 25 la sua superficie. È manifesto che la somma del primo quadrato e delle due superfici che valgono 10 radici, varrà 39. Pertanto la superficie totale della figura sarà 64. Ora se dal suo lato ottenuto estraendone la radice togliamo 5 rimane che il valore della radice equivale a 3. E il suo quadrato sarà 9.

Pongo il quadrato come una superficie quadrata di lato sconosciuto, sia esso ad. Esso è costituito da 3 radici e il numero 4 così come abbiamo predetto. È altrettanto manifesto che un lato di ogni superficie quadrata è necessariamente la sua radice.

Togliamo la superficie hd dalla ad ammettendo che un lato gh equivalente a zd valga tre. È anche manifesto che allora l’area hb vale quattro, numero aggiunto alle radici. Ora dividiamo il lato hg che rappresenta le tre radici in due parti uguali: sia e, costruiamo ora il quadrato ec la cui area è il prodotto di metà del numero delle radici per se stesso e che vale due e un quarto. Quindi aggiungiamo la linea tl uguale ad ah, alla linea et. Ora la linea ae è uguale a el cosicché la superficie em sarà un quadrato. Pertanto la linea eg è uguale alla zn.

Pertanto mz è uguale a cl. Allora l’area az è manifesto valere 4 perché aggiunta all’area 3 radici forma il quadrato di origine. Allora la superficie formata da an e cl vale 4.

È allora manifesto che la superficie del quadrato em vale 4 più la superficie ec che vale due e1/4, cioè il quadrato di metà del numero delle radici per se stesso. In tutto sarà il numero sei più un quarto, la cui radice vale due più un mezzo che è il valore del suo lato ae.

Ora aggiungendo eg che vale metà del numero delle radici otteniamo il numero 4 che rappresenta il lato del quadrato ad cioè il valore della sua radice. Il valore del quadrato sarà allora 16.

Pertanto l’aggiunta della figura geometrica, come avevamo detto, viene in aiuto alla nostra capacità di comprendere superando le difficoltà concepite dall’occhio della mente.

1Moneta argentea in uso dal medioevo arabo; pesava 2,97g e il suo nome derivava direttamente dal persiano drahm (ispirata alla greca drakmé)